数据分析素养视域下中美初中教材例习题的比较研究

苏美娜

【摘 要】 本研究选取中国人教版和美国GM版初中数学教材，从习题数量、习题类型和习题难度三方面展开论述，对“概率”一章的习题进行比较，并依据鲍建生教授建立的习题综合难度模型将习题进行难度比较分析.研究发现，两国版本的习题设置方式相同，在习题难度上均是由简至难的层次;美国GM版教材习题数量远远超于人教版，但难度整体上易于人教版;在“概率”一章的习题编写上，美国GM版本更注重夯实基础知识，人教版偏向知识的外延;GM版教材注重计算能力，相对于人教版弱化了学生的推理能力，人教版更多的转向探究和分析的能力.对于我国需要借鉴的是习题背景多样化、优化开放探究习题、从习题的多种功能中培养批判意识.

【关键词】 习题比较;核心素养;概率

1 研究背景

教材是课程标准的目标与教学内容的直接体现，是培养学生解决问题能力的载体，在新课程改革中有着举足轻重的地位.越来越多的关注点在教科书对于数学知识的教和学的作用上，教材的难度影响着教学的方式与学生的接收度.以数学核心问题与核心概念为生长点的数学素养的培养和发展离不开对数学习题的解决[1].而习题的难度在一定程度上反映了教材的难度，是教材难度比较中不可或缺的一部分.因此，编写例习题对于学生的思维发展具有重要的意義.

“统计与概率”注重发展学生的数据分析观念.十大核心词是数学课程目标的具体体现，亦理解为要求学生学习数学所具备的核心素养，即学生未来发展所需的思维品质和关键能力[2].《美国州际核心数学课程标准》（简称“CCSSM”）也对“在重复的推理中，探求并表达规律”作为八大数学实践标准之一[3].可见概率素养是培养学生数学学科素养不可或缺的部分.

在小中高三个学段均设有概率的学习内容，可见概率无论是对学生数学思维的培养还是对生活中问题的解决，都是至关重要的.既而对概率的习题难度对比与分析的研究是必不可少的.因此，本文选取“概率”一章对两国版本教材进行定量与定性的比较和分析.

2 研究过程

2.1 研究对象

本研究选取人教版《义务教育教科书·数学》（九年级上）第二十五章“概率初步”与美国McGraw-Hill出版社2013出版的初中数学教材Glencoe MathMatters1的Chapter10“Probability”作为研究对象.此两套教材都是中美在新时期极具代表性和典型性的主流教材，都符合新标准的理念与要求，能够反映出两国最新的数学课程改革的方向和趋势.

2.2 研究方法

本研究在数据分析观念的视角下采用从习题数量、习题类型、习题综合难度三个维度将中美两版教材的习题进行分析.采用统计分析法将习题数量和习题类型做定性分析;借鉴鲍建生教授的综合难度模型对习题综合难度做定量分析.

本研究选取鲍建生教授创建的数学题综合难度模型，此模型具有代表性和一定的创新性.模型随后进行了简单的修改，将“背景、数学认知、运算、推理、知识含量”五个难度因素确定为主要影响因素，主要针对数学教科书习题的难度，以数学题的难度来衡量数学课程的难度，对每一个因素划分成了不同的难度水平划分，并用五边形直观模型来刻画数学题综合难度.五个难度因素的按照由低到高的水平划分如表1所示[4].

该模型具体应用过程如下.

首先，分别计算并统计各难度因素中每一个水平层次的题目数量及百分比，对各个难度因素逐一比较分析.其次，对每一道题目在每种难度因素下进行划分、归类，并按照划分等级进行赋值，将其作为权重.随后，根据等级权重，利用公式计算并统计每个难度因素下的加权平均值.最后，根据上面得到的五个难度因素的权重平均值画出五边形雷达图，通过雷达图就可以鲜明地显示出两个版本教材的习题难度状况.这种方法通过教材习题的对比，可以探索每个版本的编写特点和侧重，对教材的进一步优化提供了有力的参考.

2.3 编码及编码结果

（1）习题数量编码

为使统计分析更为科学合理，采用统一计数方式，若一个题干下有若干个小题，则将中国教材中的（1）、（2）、（3）……的每一个小题按照1、2、3……重新标号，采用美国GM版的习题计数方式.统计两部教材例习题数量结果如表2.

对中美两版习题的统计如表1表明，无论是例题还是习题数量，GM版教材的数量远高于人教版的数量，两者相差5倍之多.但从例题所占的百分比所得，人教版在例题上的比重略高于GM版.由此可知，人教版教材在编写上更注重课堂中的例题引导与及时反馈，GM版教材更注重课后大量的练习与巩固.

虽然数量上有明显的差异，但人教版和GM版在习题的设置上几乎一致：在每一小节的开始部分均设置“探究与合作”（Work with partner）的生活问题;同时也均设有例题（Example）、习题（Exercise）、章节复习题（Review and Practice Your Skill），且习题均按照自上而下的难度梯度，结构紧凑，层次清晰.

（2）习题类型编码

习题类型一般分为客观题和主观题两部分.客观题包括选择题、是非题（判断题）、填空题;主观题包括解答题、证明题、作图题等.纵观两版教材发现“概率”一章的题均没有选择题，故将习题类型分为是非/填空题、解答题、计算题、分析探究题四部分.基于两版教材的“概率”一章习题统计的数据如下表3所示.

统计表明，人教版、GM版客观题类型的例习题分别占17.34%、2.39%;主观题类型的例习题分别占82.56%、97.61%，其中解答题分别占68.37%、83.56%;计算题分别占3.06%、9.08%;分析探究题分别占11.22%、4.97%.

（3）习题难度编码

根据鲍建生教授的习题难度模型，将中美两版教材中概率部分的所有例题、习题进行收集、整理、量化，然后根据公式在各维度的差异进行比较分析.

3 中美数学教材“概率”例习题综合难度的比较与分析

3.1 背景因素的水平比较

统计表明，人教版、GM版例习题在背景难度因素中，“无背景”水平的例习题分别占5.10%、22.09%;“个人生活”水平的例习题分别占56.12%、56.34%;“公共常识”水平的例习题分别占36.73%、16.95%;“科学情境”水平的例习题分别占2.04%、4.62%.

3.2 认知水平因素的水平比较

统计表明，人教版、GM版例习题在认知水平难度因素中，“操作性记忆”水平的例习题分别占4.08%、4.11%;“概念性记忆”水平的例习题分别占54.08%、70.03%;“领会—说明”水平的例习题分别占35.71%、23.97%;“分析—探究”水平的例习题分别占6.12%、1.88%.

3.3 运算因素的水平比较

统计表明，人教版、GM版例习题在运算水平难度因素中，“无运算”水平的例习题分别占25.51%、12.67%;“数值运算”的例习题分别占74.49%、86.64%;“简单符号运算”水平的例习题分别占0.00%、0.68%;“复杂符号运算”水平的例习题分别占0.00%、0.00%.

3.4 推理因素的水平比较

统计表明，人教版、GM版例习题在运算水平难度因素中，“无推理”水平的例习题分别占61.22%、73.80%;“简单推理”的例习题分别占36.73%、26.20%;“复杂推理”水平的例习题分别占2.04%、0.00%.

3.5 知识点含量因素的水平比較

统计表明，人教版、GM版例习题在运算水平难度因素中，“1个知识点”水平的例习题分别占69.39%、77.57%;“2个知识点”的例习题分别占26.53%、21.92%;“3个及以上知识点”水平的例习题分别占4.08%、0.5%.

针对以上5个难度因素的比较与分析，根据习题综合难度模型公式，将所得结果整理汇总成图6，在因素分析的基础上进行综合难度的计算.

由雷达图可以看出，两版教材在概率内容的例习题当中，综合难度整体上除“运算”层次人教版低于GM版外，在其他难度因素层次上均高于GM版，说明人教版习题在“背景”、“数学认知”、“推理”、“知识含量”水平上的编写要求更高一些.即人教版在背景习题的设置上更贴近生活，在习题数学认知水平的分配上，更加关注学生思维水平的发展，转向知识的理解和应用方向;而GM版更重视学生的运算能力尤其是数值运算的练习;在推理和知识含量层次的难度上，两国版本的教材相差不大，在习题难度的设置上均具有一定的层次性.

4 进一步结论

本研究除对中美两版教材的习题数量、类型及习题难度的对比外，将美国GM版教材的习题设计特点做进一步总结.

4.1 注重新旧知识的承接与联系

美国GM版的特别一处是，在每一章内容学习之的开始，都设有单独的一课课前准备复习题（Are you ready？Refresh Your Math Sills for Chapter 10），为接下来的学习内容作好所需要的知识与技能准备，达到了“温故而知新”的效果.此外，在每一节的最后也会出现5—6道与概率内容无关的已学习到的习题，由此可看出美国GM版本教材更注重旧知识的铺垫，从而保证了程序运算的流畅[5]，对新知识的公式和概念的理解更加透彻.

4.2 习题背景丰富且关联度强

虽然GM版教材也体现出美国教材“宽一英里，深一英尺”的普遍现象，但对习题背景的设计理念恰恰将内容标准与实践标准并行，使得CCSSM强调的数学理解成为学习数学的纽带.由图1的数据已知，美国GM教材在有习题背景上的比重很高，而且在习题背景的设计上类型广泛，涉及到遗传基因、群众选举、工厂生产、古代文学、电视比赛等方面的背景，会具体到将背景类型一一在习题前标出.同时在“科学情境”的习题背景中，GM版教材大多选用孟德尔遗传实验为背景，加强了与其他学科的关联性和生活中的应用性.

4.3 习题目标明确，注重活动化探究

GM版教材中，每一节的标题下面都有这节课的课程目标，在题前说明习题的练习主题，即习题具有针对性，引导学生的价值倾向，建立自己的理解.在开放探究的习题中，GM版教材还设计了辩证性思考（critical thinking）习题，落实了CCSSM中“调查或然性过程，并发展、运用和评估概率模型”的目标，加强了学生经历探究和解决问题的数学思维过程.

5 启示

5.1 丰富习题背景，加强学科关联度

“概率”是我们在社会生活常见到的，因此概率的内容是最贴近生活的知识，更具有应用性.在各种情境中运用和应用数学意味着给学生提供动态的数学知识，是发展数据分析观念的一个重要渠道.增加习题的多样性，并与其他学科内容结合，不仅凸显出概率在生活中的重要性，还能渗透了其他学科知识.譬如PISA和TIMSS测试的习题强调真实问题，其情境和题目旨在考查学生的数学素养，PISA和TIMSS的习题设计理念可为我国教材习题背景的选取提供了有力的参考.

5.2 重视习题推理过程的呈现，优化开放探究习题

2014年，教育部研制印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》对提升学生作为社会公民所具备的数学素养做了具体的说明，其中包括：“逐步学会用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养.”从习题上的落实，就是要学生从习题中自主去探索.虽然人教版在开放探究题的权重高于GM版教材，但GM版教材的习题更有层次性，更有利于锻炼学生的分析问题能力.我国需要以“问题—探究”为导向组织不同层次与功能的习题，让习题有效地引导学生去主动探究，让概率素养的培养更有所体现[6].

5.3 开发习题多种功能，培养批判意识

澳大利亚学者Jane Watson将概率素养的培养由浅至深分成了三个层次：理解基本术语—在社会问题背景中理解术语—能够对没有恰当说理的统计论断提出质疑.这三个层次在美国GM版教材中均有体现，尤其是辩证性思考（critical thinking）的设置是一大亮点，意图通过引导学生对问题的反思来发展他们的批判意识，形成正确的数据分析观念，而这种习题在我国人教版中未曾出现.毋庸置疑，我国的数学教学学情中，缺少质疑的声音，因此我国在习题的设置上可借鉴美版教材，从习题中增强学生的批判能力.

参考文献

[1]范连众，孔凡哲.从关注学科知识转向关注核心素养的教科书的习题设计——基于对我国九个新版本初中数学教科书的调查[J].中小学教师培训，2017（10）：61-65.

[2]刘祖希.我国数学核心素养研究进展——从数学素养到数学核心词再到数学核心素养[J].中小学教材教学，2016（7）：35-40

[3]廖运章.美国《州共同核心数学标准》的内容与特色[J].数学教育学报，2012，21（4）：68-72.

[4]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.

[5] 陈雪梅，姜辉.基于概率素养的数学教材设计特征的分析与启示——以美国CPMP教科书为例[J].外国中小学教育，2019（03）：76-80

[6] 吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究[J].课程·教材·教法，2014，34（02）：112-117.