基于二阶差分的频域滤波反锐化增强算法

贺明 李成柱 宋文爱

摘  要： 针对图像处理中存在噪声放大、过度增强高频分量的问题，提出了一种基于二阶差分的频域滤波反锐化增强算法。首先在频率域内利用同态滤波器和高斯低通滤波器对图像进行对比度增强和平滑处理，并将二者进行减运算得到图像细节;然后利用二阶差分曲率控制细节成分对输出图像的贡献;最终通过反锐化掩膜法进行增强处理。实验结果表明，增强后的图像有效地抑制了噪声，突出了图像细节信息，具有较好的视觉效果。

关键词： 图像增强; 同态滤波; 低通滤波; 反锐化掩膜; 二阶差分

中图分类号：TP391          文献标识码：A     文章编号：1006-8228（2021）01-16-05

Image unsharp masking algorithm in frequency domain based on second-order difference

He Ming1， Li Chengzhu1， Song Wenai2

（1. Army Special Operations College， Guangxi， Guilin 541002， China; 2. College of Software， North University of China）

Abstract： Aiming at the problems of noise amplification and excessive enhancement of high-frequency components in image processing， an image unsharp masking algorithm based on second-order difference in frequency domain filtering is proposed. Firstly， in the frequency domain， homomorphic filtering and Gaussian low-pass filtering are used to enhance and smooth the contrast of the image， and subtract the two to obtain image details; Then use the second-order differential curvature to control the contribution of the detail component to the output image; Finally， the unsharp masking method is used for enhancement processing. The experimental results show that the enhanced image effectively suppresses the noise， highlights the image details， and has a better visual effect.

Key words： image enhancement; homomorphic filtering; low-pass filtering; unsharp masking; second order difference

0 引言

近年来，图像处理技术的使用越来越广泛，已覆盖军事、航空航天、通信工程、生物医学工程、农业等领域。一般数字化的图像存在噪声和对比度差的缺陷，给进一步检测和识别带来很大不便。图像增强是图像预处理中的关键环节之一，其目的是为了突出图像某些特点和信息，改善视觉效果，为下一步识别和检测提供前提和基础。

目前，图像增强方法有很多种，如直方图均衡化法、频域滤波法、反锐化掩膜法、图像锐化法等。直方图均衡化法[1-2]虽然可以有效地调节图像对比度，但细节信息增强效果不明显。尽管形态学方法[3]扩展了传统的对比度增强方法，但其存在不必要的过增强以及对细节缺乏自适应的缺陷;频域滤波方法[4-7]处理后图像存在对比度不够，前景和背景反差较小的缺点。反锐化掩膜法[8-9]是圖像处理中经常用到的一种方法，该方法简单可行，但对噪声敏感，影响图像的后续处理。

对于以上图像增强处理中存在噪声放大、过度增强以及细节缺乏自适应等问题，提出一种基于二阶差分的频域滤波反锐化掩膜方法。该方法在抑制噪声方法和防止边缘过冲的同时，能够有效地增强图像的对比度和细节成分。

1 频域处理

1.1 同态滤波

同态滤波是在频域范围内调整图像亮度和增强对比度的一种方法。图像的高频分量对应反射分量，低频分量对应照射分量，因此可以通过抑制低频分量，增强高频分量的来实现图像增强。

假设一幅图像[f（x，y）]由照射分量[fi（x，y）]与反射分量[fr（x，y）]构成，其数学表达式为：

[fx，y=fi（x，y）×fr（x，y）]   ⑴

其中，照射分量[fi（x，y）]在空间中变化缓慢，反射分量[fr（x，y）]在物体交界处变化剧烈。所以图像在傅里叶变换中低频部分对应照明分量，高频部分对应反射分量。

因此，可设计一个对低频和高频分量影响不同的滤波函数[H（u，v）]来调整图像的动态范围和对比度。如图1所示为[H（u，v）]函数的截面图，将其沿垂直方向旋转一周，可得到完整的二维[H（u，v）]。

同态滤波传递函数为：

[H（u，v）=（γH-γL）1-e-cD（u，v）D02n+γL]  ⑵

其中，[γH]与[γL]分别表示高频增益和低频增益，文中设置为[γH]=1.9，[ γL]=0.7;常量[c]用于调节同态滤波函数的斜面锐化程度。

[D（u，v）=（u-u0）2+（v-v0）2]为点[（u，v）]到傅里叶变换中心[（u0，v0）]的欧式距离;[D0]为截止频域，其值越大，保留低频成分少，图像越亮;反之越暗。经反复试验将截止频域设置为[D0]=50。如图2（b）为同态滤波后的图像。

1.2 高斯低通滤波

低通滤波也称平滑滤波，经過低通滤波器处理可以滤除图像中的高频分量，剔除尖峰和边缘跳变信息。为了在反锐化掩膜法中更好地提取图像的细节成分以及减少图像增强时的振铃现象。文中采用高斯低通滤波器对原始图像作平滑处理。

高斯低通滤波传递函数为：

[H（u，v）=e-D2（u，v）2D20]    ⑶

其中，[D（u，v）]为距离频率中心的距离，[D0]为截止频率，经过反复试验设置为[D0]=55，如图3（a）为经过高斯低通平滑处理后的图像。图3（b）为同态滤波处理后的图像与高斯低通处理后的图像作减运算所得的结果。

2 基于差分的反锐化掩膜法

2.1 反锐化掩膜法

本文在传统反锐化掩膜法的基础上，将算法改进如下：

[g（x，y）=f（x，y）+λ（ft（x，y）-fdx，y ]   ⑷

其中，[f（x，y）]为原始图像，[ft（x，y）]为同态滤波后图像，[fd（x，y）]为低通滤波后图像，[g（x，y）]为增强后的图像，[λ]为增强控制因子：

[λ=α×exp（Kβ）]       ⑸

其中，[α]与[β]为常数，0<[α]<1，60<[β]<120。

通过利用原始图像的差分信息计算增强程度因子[λ]，进而通过[λ]控制高频细节成分对输出图像的贡献。其中，差分曲率[K]的取值是图像锐化的关键。

2.2 差分公式

一般地，二阶导数能够有效地区分一维信号的边缘区域和平缓区域[10]。将其拓展到数字图像而言，提出了一种利用图像的二阶导数来区分的图像的边缘和平缓区域的方法。该公式表达如下：

[K=?2f?n2-?2f?s2]    ⑹

其中，[K]表示能区分边缘区域和平缓区域的二阶差分曲率值，[?2f?n2]表示沿梯度方向的二阶导数，[?2f?s2]表示垂直于梯度方向的二阶导数。[?2f?n2]与[?2f?s2]推导如下：

对于一幅图像[f（x，y）]对变量[x]，[ y]的导数为函数的梯度，记作[?f]：

[?f=（fx，fy）]   ⑺

梯度的模为：

[?f=f2x+f2y]    ⑻

任一点的梯度方向为：

[n=（fx，fy）?f=?f?f]   ⑼

则梯度的方向导数为：

[?f?n=?f?f?f=?f≥0]    ⑽

根据上式：

[?2f?n2=??f?n=??f?n ]   ⑾

又由于：[?f=f2x+f2y]，因此：

[??f=?f2x+f2y]

[=（fxxfx+fxyfyf2x+f2y，fxyfx+fyyfyf2x+f2y）]

[=（fxxfx+fxyfy?f，fxyfx+fyyfy?f）]        ⑿

[?2f?n2=（fxxfx+fxyfy?f，fxyfx+fyyfy?f）?fx，fy?f]

[=fxxf2x+2fxyfxfy+fyyf2xf2x+f2y]           ⒀

同理可得，在[s=（-fy，fx）?f]方向上，有：

[?2f?s2=fxxf2y-2fxyfxfy+fyyf2xf2x+f2y]   ⒁

下面对[fx，fy，fxx，fyy，fxy]的求解方法作如下推导：

假定图像[f（x，y）]为连续且可导的二元函数，该函数在平行于x轴的某一领域内，（例如[（x-δ，x+δ）]，[?δ>0）]），它只随x坐标的变化而变化，则邻近点[（i，j）]处，函数[f]可展开成泰勒级数：

[f=fi，j+fxi，jx-xi，j+12！fxxi，jx-xi，j2+]

[       13！fxxxi，jx-xi，j3+…]   ⒂

在像素点[（i-1，j）]和[（i+1，j）]处，[x]分别等于[xi，j-1]和[xi，j+1]，所以[x-xi，j]分别等于-1和1，代入上式可得：

[fi-1，j=fi，j-fxi，j+12！fxxi，j-13！fxxxi，j+…] ⒃

[fi+1，j=fi，j+fxi，j+12！fxxi，j+13！fxxxi，j+…] ⒄

由于三次幂及以上各项的值很小可忽略不计，以上两式可简化为：

[fi-1，j=fi，j-（fx）i，j+12！（fxx）i，j]     ⒅

[fi+1，j=fi，j+（fx）i，j+12！（fxx）i，j]  ⒆

联立式⒅、⒆，解得沿[x]轴方向的差分公式为：

[（fx）i，j=fi+1，j-fi-1，j2]    ⒇

[（fxx）i，j=fi+1，j-2fi-1，j+fi-1，j]          （21）

同理可得，沿[y]軸方向的差分公式为：

[（fy）i，j=fi，j+1-fi，j-12]  （22）

[（fyy）i，j=fi，j+1-2fi，j+fi，j-1]           （23）

根据式⒇、（22），推得二阶混合偏导数差分公式为：

[（fxy）i，j= [ fyx]i，j=12[  fyi+1，j-  fyi-1，j]]

[=14fi+1，j+1-fi+1，j-1-fi-1，j+1+fi-1，j-1] （24）

将上式推导结果代入式⑹，从而得到图像的二阶差分曲率[K]。下面对利用二阶差分曲率值如何判断图像的边缘区域和平缓区域进行说明。

⑴ 对于边缘区域，图像梯度和梯度的变化率都较大，因此计算出的[?2f?n2]值较大，而梯度方向垂直的[?2f?s2]较小，所以二阶差分曲率[K]也较大。

⑵ 而对于平缓区域，图像梯度和梯度的变化率较小，因此[?2f?n2]与[?2f?s2]的值较小，所以二阶差分曲率[K]也较小。

综上，文中的编程实现步骤如下：

⑴ 分别用同态滤波器和高斯低通滤波器对图像进行增强和平滑处理，得：[ftx，y， fd（x，y）];

⑵ 提取图像细节成分：[ft（x，y）-fd（x，y）];

⑶ 计算出[fx，fy，fxx，fyy，fxy]，然后代入式⒀，⒁求出[?2f?n2]与[?2f?s2]，进而求出二阶曲率值：[K];

⑷ 根据式⑸，计算增强控制因子：[λ];

⑸ 最终根据式⑷，计算增强后图像：[g（x，y）]。

3 实验结果及分析

实验环境为：Intel（R） Core（TM） i5-7200 CPU @ 2.50GHz，8GB的内存，windows 7操作系统。利用MATLAB （R2014a）进行仿真实验。

3.1 主观评价

为了验证本文算法的处理效果，本文采用lena图像作为实验对象。将本文算法与直方图均衡化算法、反锐化掩膜法、各向同性增强算法对比，如图4所示，图中（a）为原始图像;（b）为多尺度直方图均衡化（MHE）算法;（c）为基于亮度维持的动态直方图均衡化（BPDH）算法;（d）为多尺度非线性反锐化掩膜法;（e）为拉普拉斯各项同性增强算法;（f）为本文提出的算法，在参数设定为[α]=0.15，[β]=105后的处理结果。

从图4中可以看到，多尺度直方图均衡法处理后，图像细节不够清晰;基于亮度维持的直方图均衡法处理后，图像对比度不够强;多尺度反锐化掩膜法处理后，细节存在过度增强的现象;拉普拉斯算法处理后，存在噪声放大和过度增强高频分量的问题。本文处理后算法，有效地提高图像的对比度，增强了图像细节信息，抑制了噪声，具有较好的视觉效果。

3.2 客观对比

为了客观评价图像增强的效果，需要对处理后的图像作定量表述，本文选用常用指标信息熵（Entropy）、均方误差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）来检测增强后的效果。其定义分别如下：

⑴ 信息熵（Entropy）

[H（x）=-x∈Lqxlnq（x）]         （25）

其中，[qx]为增强后图像的灰度分布密度。

信息熵，是衡量图像质量的重要指标，对于图像而言，熵值越大，图像越细腻。

⑵ 均方误差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）

[MSE=1MNi=1Mj=1Ngx，y-f（x，y）2 ] （26）

[PSNE=10lg2552×M×Ni=1Mj=1Ngx，y-f（x，y）2]        （27）

式（26）、式（27）中， [f]和[g]分别表示原图像和增强后的图像，[M×N]表示图像的大小。

均方误差主要反映去除噪声效果的好坏，其值越小，表明有较好的抑制噪声。峰值信噪比主要反映两幅图的差异，其值越大，表示图像质量越高。

4 结束语

本文针对图像增强中存在噪声放大和过度增强高频分量的问题，提出了一种基于二阶差分的频域滤波反锐化图像增强方法。利用同态滤波处理结果和高斯低通滤波处理结果作减运算，提取图像细节，并利用二阶差分来控制细节成分对输出图像的贡献，最终通过反锐化方法进行增强处理。通过实验主观对比和客观分析，处理后的图像较好地抑制了噪声，提高了峰值信噪比，图像细节更加清晰。但在增强过程中，对于灰度变化适中的区域，图像细节提取不明显，因此，这是算法下一步改进的方向。

参考文献（References）：

[1] Menotti D， Najman L， Facon J. Multi histogram

equalization methods for contrast enhancement and brightness preserving[J].IEEE Transactions on Consumer Electronics，2007.53（3）： 1186-1194

[2] Ibrahim H，Kong N S P. Brightness preserving dynamic

histogram equalization for image contrast enhancement[J].IEEE Transactions on Consumer Electronics，2007.53（4）：1752-1758

[3] Susanta M， Bhabatosh C. A multiscale morphological

approach to local contrast enhancement[J].Signal Processing，2006.80（1）：685-696

[4] 杨捷，冯兵，吴素萍.频域图像增强混合滤波算法及在作物缺素中的应用[J].计算机工程与设计，2014.35 （9）：3156-3162

[5] 王焱，王亚恒，杨威.低照度下依据频域划分尺度的Retinex增强算法[J].计算机工程与应用，2017.53 （10）：171-176

[6] 林曦，余文明，陈新等.同态滤波技术在膜蛋白颗粒图像增强中的应用[J].中国医学物理学杂志，2015.32 （2）：187-192

[7] 关雪梅.基于频域的图像增强技术研究[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2012.12（2）：27-28，32

[8] 刘艳莉，桂志国.多尺度形态学的图像非线性锐化算法[J].计算机应用与软件，2014.31（2）：210-213

[9] 王婷，上官宏，刘祎，桂志国.基于顶帽变换的反锐化掩膜算法[J].计算机工程与设计，2014.35（1）：198-202

[10] 李恩玉，杨平先.基于图像边缘增强组合算法的研究[J].红外技术，2009.31（2）：95-98

收稿日期：2020-08-21

基金项目：国家重点研发计划（No.2017YFB1400803）

作者簡介：贺明（1991-），男，山西忻州人，研究生/硕士，助教，主要研究方向：数字图像处理。