静水压力下功能梯度圆柱壳振动响应研究

杨 萌，李 戎，梁 斌

(河南科技大学 土木工程学院,河南 洛阳 471023)

0 引言

由于壳周围存在流体，圆柱壳在静水压力下的自由振动响应研究与在真空中相比，相对困难。文献[1]认为当圆柱壳受到静水压力作用后，静压对壳体振动的影响不能忽略，可通过在其运动方程的理论微分算子上增加一些特定力来反映。文献[2]在壳体振动方程中考虑静水压力作为预应力，分析了圆柱壳的结构响应在流场中受到的影响，同时将其与空气中的响应情况进行了比较。文献[3]利用Flügge方程，分析了空气中和流场中无限长圆柱壳的扩散特性。文献[4]应用水下圆柱壳波动法以及Flügge壳体理论得到了自然频率理论表达式，这是目前工程中估算水下圆柱壳固有频率最为便利的方法。文献[5]采用Flügge壳体运动方程和Helmholtz声学方程，建立了静水压力作用下耦合系统频散方程，利用muller三点迭代法对该超越方程进行求解，得到波的频散曲线。文献[6]在壳体方程中以预应力形式考虑静水压力的影响，研究其对流场中充液圆柱壳和非充液圆柱壳自由振动的影响。随着科技进步，陆续有学者开始关注水下功能梯度材料(functionally graded material, FGM)圆柱壳的动力特性[7-10]，但相关文献很少。

与均匀材料圆柱壳相比，FGM圆柱壳在物理、力学和几何等分析方面要复杂得多。文献[11]分析FGM圆柱壳相关性质时，利用了现有的均匀材料圆柱壳理论进行研究，说明在理论分析时，两种使用方法可以一致。文献[12]在理论分析中，将功能梯度板复杂边值问题中微分求解，直接转化成相应的均匀材料系数计算问题。文献[13]在对含裂纹FGM圆柱壳进行分析时，发现其与相应均匀材料圆柱壳的许多力学性质和功能梯度体积分数幂指数有比例关系，且这种关系与裂纹大小无关，体积分数幂指数越大，比例关系越明显。由上述相关文献可以看出：功能梯度材料和均匀材料是能够从数学和物理角度在理论上找到一定规律的关系，那么就可以利用均匀材料的成熟理论去解决功能梯度材料的实际问题。

从文献[14-16]中的研究结论可以看出：功能梯度材料与相对应的均匀材料圆柱壳之间，在外界给定条件相同情况下，无论在空气中还是在水下获得的振动固有频率存在必然联系。文献[17]也指出这种规律存在一定的必然性。综合以上文献，目前功能梯度材料研究需解决复杂的偏微分方程和复杂边界条件，计算工作量大，效率低，不利于工程广泛推广应用。本文基于静水压力下FGM圆柱壳与均匀材料圆柱壳力学和数学模型之间相似关系，采用经典壳体Flügge理论，利用成熟的波动法来求解静水压力下FGM圆柱壳自由振动固有频率问题。其实质是将功能梯度材料处理成均匀材料求解，可以避免一些复杂微分、积分以及迭代问题，使工程应用更加便捷，从理论上揭示功能梯度材料力学行为的规律性。

1 基本方程

图1为FGM圆柱壳几何模型，壳体内外表面分别为陶瓷和金属材料。图1中：壳体长度为L，m；壁厚为h，m；中面半径为R，m；内、外半径分别为Ri和Ro，m；材料密度为ρ，kg/m3；杨氏模量为E，N/m2；泊松比采用μ；流体密度设为ρf，kg/m3；声传播速度为CF，m/s，由理想流体组成静止流场。选取基础坐标系x(某一与母线正交的基准面到所考虑点水平距离),θ(某一基准母线到该点角度),r(某一基准母线到该点竖向距离)，并设圆柱壳中面相对应位移u(轴向方向),v(周向方向),w(径向方向)。

图1 FGM圆柱壳几何模型

为使公式表达简洁方便，用“′”和“*”分别表示对无量纲坐标x/R和θ的导数：

(1)

1.1 均匀化转换计算理论的基本模型

功能梯度材料特性由组成材料的体积分数控制，是体积分数的函数。文献[18]给出FGM圆柱壳体积分数表达式。FGM圆柱壳壳体一般由两种性质不同的材料混合而成，两种材料参数设为弹性模量Eo、Ei，泊松比μo、μi和质量密度ρo、ρi，则E、μ和ρ(FGM圆柱壳沿壳体厚度方向等效参数)可表示为：

(2)

其中：p=0和p=∞时，FGM圆柱壳分别退化成均匀材料圆柱壳(物理力学参数分别为Eo、μo、ρo和Ei、μi、ρi)。文献[19]指出：FGM圆柱壳组成的两种材料，在泊松比μ相差不太大的情况下，可将μ取为相同值，以简化计算。FGM圆柱壳力学参数：D=Eh/(1-μ2)(抗拉刚度)，K=Eh3/[12(1-μ2)]=Dh2/12(抗弯刚度)，φ1和φ2(无量纲系数)，α=Eo/Ei-1。

(3)

对式(3)积分后得到：

φ1=1+α/(p+1)，φ2=1+3α(p2+p+2)/[(p+1)(p+2)(p+3)]，

(4)

当p=∞时，φ1=1；当p=0，φ1=φ2=Eo/Ei。

1.2 几何物理方程

根据文献[1]经典的薄壳理论假设，圆柱壳的内力与变形表达式为：

(5)

1.3 运动平衡方程式

根据文献[1]经典薄壳理论，在静水压力条件下的运动平衡方程式为：

(6)

其中：P0为壳体所受静水压力，N；ψ为作用在壳体外壁，正方向为指向圆心的流体声载荷，N。

(7)

圆柱壳振动位移函数根据波动法可以表示为：

(8)

其中：Um、Vm、Wm为波幅(分别代表x，θ，z方向)；ω为固有角频率，θ方向波数为n，x方向波数为m。文献[4]中对波动法的结论指出：一定边界条件下的圆柱壳振动分析中，km(圆柱壳轴向波数)可以用m表达的函数(梁弯曲振动波数)来替代，如表1所示。

表1 边界条件不同时的km值

1.4 耦合声振方程

浸入水下的圆柱壳满足声波方程，理想流体在柱坐标系下的Helmholtz波动方程为：

(9)

其中：t为时间，s;c为流体声速,m/s;r的坐标是沿壳体径向选取。

在水下压力场中，满足波动方程Helmholtz的流体声压解可表达为：

(10)

其中:Hn(2)()为第2类n阶Hankel函数。径向波数kr和轴向波数km满足关系式：

(krR)2=Ω2(CL/CF)2-(kmR)2,

(11)

其中：Ω为无量纲参数(振动固有频率)；圆柱壳壳体的声速为CL，m/s；壳体外部流体声速是CF,m/s。因流体与壳体外壁两者接触的界面上径向位移是相等的，耦合条件为：

(12)

其中：ρf为流体的密度，kg/m3；Hn(2)′(krR)上的撇号表示对变量krR的导数。

2 均匀化转换

把式(5)、式(7)和式(8)代入式(6)中，结合方程(10)，运动方程耦合系统的矩阵表达形式为：

(13)

其中：Lij(i，j=1, 2, 3)为参数，是带入波动法u、v、w表达式项后求解得到的，其中考虑了流体声场作用FL(作为产生的流体荷载项)。Lij具体表达式为：

(14)

(15)

根据不同的边界情况，代入具体参数，求解式(15)，得到：

P1(ω)-P2(ω)FL=0，

(16)

其中：P1(ω)、P2(ω)是未知数ω的多项式函数。

FGM圆柱壳静水压力下的固有频率可通过牛顿迭代法得到。不考虑流体影响(FL=0，P0=0)，此刻还原为FGM圆柱壳真空中的固有频率计算。综上所述，FGM圆柱壳静水压力下固有频率解的均匀化转化计算完成，将其非均匀、复杂的特性进行了有效简化。

3 数值计算及分析

3.1 正确性和有效性验证

采用钢与氮化硅复合的FGM圆柱壳为例。当体积分数p=0时，FGM圆柱壳还原为纯钢圆柱壳，通过计算比较可检验推导公式是否正确。纯钢圆柱壳壳体计算参数见表2。

表2 纯钢圆柱壳壳体计算参数

表3为两端简支时静水压力下纯钢圆柱壳固有频率的对比分析。由表3可知：本文方法与文献[16]和文献[20]分析结果进行对比，误差很小，验证了本文经过退化后关于各向同性纯钢圆柱壳在静水压力下固有频率计算方法的正确性。

表3 两端简支时静水压力下纯钢圆柱壳固有频率的对比分析

考虑由不锈钢(外侧)和镍(内侧)复合的FGM圆柱壳，计算时取P0=0 kPa，ρf=0 kg/m3，CF=0 m/s，其他壳体几何及物理参数见表4。

表4 FGM圆柱壳壳体计算参数

表5为两端简支边界条件下FGM圆柱壳固有频率的对比分析。由表5可知：本文方法与文献[18]的数据结果进行对比分析，验证了FGM壳体在不考虑静水压力下固有频率的计算是有效和正确的。

表5 两端简支边界条件下FGM圆柱壳固有频率的对比分析 Hz

文献[18]采用复杂的偏微分方程求解过程，边界条件每次改变都需重新求解，计算效率不高。本文方法的应用，使方程求解准确、便捷和高效，利用已知经典均匀材料圆柱壳理论来解决功能梯度圆柱壳问题，使复杂问题简单化，推广应用价值较高。

3.2 FGM圆柱壳在相同边界的静水压力条件下主要参数对其固有频率的影响

在计算和分析结构振动时必须考虑圆柱壳的临界压力。若静水压力大于临界压力，则从理论上认为它已经失去了基本的功能特性，而固有频率的计算是没有意义的(FGM圆柱壳临界载荷的弹性理论解为其固有频率为0 Hz时对应的静水压力值)。因此，在分析水下FGM圆柱壳的振动特性时，应将静水压力控制在临界压力以下。

基本参数为km=mπ/L，ρf= 1 000 kg/m3，CF= 1 500 m/s，p=1，材料为不锈钢和镍，其他参数见表6。本文通过具体算例考察了在连续变化的静水压力下，边界条件设为两边简支，改变m、n、p、h/R、L/R和不同材质等参数时，对FGM圆柱壳固有频率影响的变化规律，并形成分析曲线和数据表格(见图2～图5及表7～表8)。

表6 简支边界条件下FGM圆柱壳壳体计算参数

图2给出了不同h/R时，连续静水压力下的FGM圆柱壳固有频率变化规律图。由图2可以看出：h/R对FGM圆柱壳连续静水压力下的固有频率影响很大。随着P0的逐渐增大，FGM圆柱壳固有频率逐渐减小，当h/R=0.002时，固有频率下降速率最快。FGM圆柱壳固有频率随h/R增大而增大，且固有频率下降速率随h/R增大而迅速变缓。P0不变，h/R增大，固有频率变大，表明h/R越大，承载能力越强；h/R不变，P0增大，固有频率减少，直至为零，达到临界压力值。图3显示L/R比值变化后在连续静水压力条件下FGM圆柱壳固有频率的变化情况。由图3可知：P0不变，L/R减少，固有频率增大，L/R越大，固有频率迅速减小，更快达到临界压力值。L/R不变，P0增大，固有频率变化很小，说明静水压力在L/R不变条件下对FGM圆柱壳固有频率影响很小。L/R=20时，固有频率接近为零，说明FGM圆柱壳在此几何参数下已接近承载极限。

图2和图3为FGM圆柱壳主要几何参数改变后静水压力下的固有频率变化规律，从图2和图3中能直观看出主要几何参数对FGM圆柱壳的固有频率有很大影响。在实际工程应用中，可通过改变FGM圆柱壳主要几何参数来增强其承载力和调整固有频率，避免发生共振现象。

图2 简支边界不同h/R固有频率规律曲线

图3 简支边界不同L/R固有频率规律曲线

表7给出了不同轴向波数m时，连续静水压力条件下FGM圆柱壳固有频率变化规律数据。从表7中能看出：不同m值对FGM圆柱壳固有频率有较大影响，随m增大，FGM圆柱壳固有频率增大，但增幅逐渐减少，有收敛趋势；m=1时，固有频率随P0增大而大幅减少，逐渐趋于零；而m≥2时，固有频率随P0增大很小，可忽略不计，说明此时P0对FGM圆柱壳固有频率影响很小。轴向波数m=1时为FGM圆柱壳最不利模态，作为本文研究的基本模态参数之一是合理的。

表7 FGM圆柱壳两边简支边界条件连续静水压力下不同m的固有频率 Hz

表8为不同环向波数n时，连续静水压力条件下FGM圆柱壳固有频率。从表8中能看出：随着n增大，FGM圆柱壳固有频率数据变化趋势基本吻合，都是先减少到基频，然后逐渐增大，说明P0对FGM圆柱壳固有频率影响很小，粗略情况下可忽略不计。环向波数n=2时为此条件下FGM圆柱壳最不利模态，作为本文研究的基本模态参数之一也是合理的。

表8 FGM圆柱壳两边简支边界条件连续静水压力下不同n的固有频率 Hz

表7和表8中数据与已有均匀材料圆柱壳文献研究结果的规律相同，说明FGM圆柱壳与均匀材料圆柱壳在基本属性上所表现出的规律是一致的，可以利用已知均匀材料固有属性规律，来推测某些未知功能梯度材料固有属性规律。此结论对功能梯度材料以后复杂条件下应用的适应性初判有重要意义。

图4显示了体积分数幂指数p变化时，连续静水压力条件下FGM圆柱壳固有频率变化规律曲线。由图4可知：p不变，FGM圆柱壳固有频率随P0增大变化趋势相同，都是逐渐减少，但数值变化幅度并不大；P0不变，p越大，FGM圆柱壳固有频率数值越大，说明p增大能获得更大承载能力。综合考虑FGM圆柱壳制作工艺以及性能要求，p要在合理范围内取值时，才能获得最佳状态。表9给出一些常见FGM圆柱壳组分材料的物理力学属性，图5为不同材质组合的FGM圆柱壳在连续静水压力条件下固有频率变化规律曲线。从图5中可以看出：随着P0增大，钢-镍和钢-氧化锆组合材料固有频率值逐渐减少，而其他4组材质组合的固有频率先减少后增大；P0(<50 kPa)不变，FGM圆柱壳固有频率随材质总值E增大而变大；P0(>50 kPa)时，部分FGM圆柱壳材质组合进入弹塑性阶段，但仍具有承载能力，超出本文研究范围，无对比意义。

图4 简支边界不同p固有频率规律曲线

图5 简支边界不同材质固有频率规律曲线

表9 功能梯度材料各组分材料的特性

图4和图5为静水压力下均匀材料圆柱壳不具有的属性规律，FGM圆柱壳体积分数幂指数p和组合材料的构成都对固有频率有不同程度影响，其规律特征也是FGM圆柱壳所独有的，对功能梯度材料开展深入研究有借鉴意义。

3.3 FGM圆柱壳在不同边界静水压力条件下固有频率变化规律

设静水压力下10种不同边界条件，基本参数为ρf=1 000 kg/m3，CF=1 500 m/s，p=1，FGM圆柱壳组分材料为不锈钢和镍，其他参数见表10。

表10 不同边界条件下FGM圆柱壳壳体计算参数

表11为不同边界条件下，当P0变化时FGM圆柱壳固有频率的规律数值。从表11中可以看出：不同边界条件下FGM圆柱壳固有频率随P0增大变化趋势相同，都是逐渐减少，但在接近临界压力时会快速衰减为0 Hz；P0不变条件下，FGM圆柱壳固有频率数值都满足F-F(C-C)边界条件下最大，C-F(S-SS)边界条件下最小，说明两端固定(两端自由)边界条件能获得更大承载能力，而一端固定一端自由(一端滑移一端简支)为最不利承载边界条件。

表11 不同边界条件静水压力下FGM圆柱壳固有频率 Hz

本文中静水压力下对不同边界条件的转换采用km(见表1)参数来进行表达和运算，使FGM圆柱壳固有频率计算得到很大简化，效率提高，为复杂条件下的工程应用计算创造便利条件。

4 结论

(1)在静水压力简支边界条件下，固有频率随m、n和p参数改变而呈现的变化规律可忽略静水压力P0影响，m=1和n=2为FGM圆柱壳固有频率最不利模态，可通过适当调整p值来取得更大承载能力；几何尺寸h/R、L/R改变对固有频率影响较大。

(2)在静水压力简支边界条件下，随静水压力P0增长，各组分FGM圆柱壳在弹性范围内，固有频率减少直至零，达到临界压力后进入弹塑性阶段仍具有承载能力。

(3)在不同边界条件下，P0不变，两端自由(F-F)或两端刚固(C-C)边界条件能获得更大承载能力，服从ωF-F(C-C)>ωF-SS(C-SS)>ωSS-SS(S-S)>ωF-S(C-S)>ωC-F(S-SS)的规律。