电压控制型Boost变换器的PID补偿器分析与设计

沈方健，冉华军，余 益，张展鹏

（1.湖北省微电网工程技术研究中心（三峡大学），湖北宜昌 443000；2.国网湖北省电力有限公司检修公司，武汉 430050）

引言

随着电力电子技术的日益发展，DC-DC变换器已经运用在了民用、军用等领域。在许多实际运用中，需要有稳定的输出电压。这也给开关电源提出了更高的要求，以Boost变换器为主的开关电源已逐渐为大众所熟知，Boost变换器电路拓扑成为人们研究稳压的首要选择，任何一个电路都离不开电源，因此研究Boost变换器的闭环控制设计具有十分深远的意义和参考价值[1-3]。

开关变换器是带有闭环控制的时变系统，需要小信号建模和设计良好的控制器以达到稳压要求[4,5]。近几十年来，开关变换器的建模和控制，一直是国内外学者研究的重点。基于Boost变换器在生活中的广泛应用，设计Boost变换器的控制环路的补偿网络，以提高系统的稳定性和动态响应已成为迫切需要。不同的补偿网络使开关电源具有不同的性能，常见的补偿器有PD补偿器、PI补偿器、PID补偿器等。PID补偿器结合了PD补偿器和PI补偿器的优点，已成为人们的普遍选择，所以要对PID补偿器进行深入探讨。PID补偿器因其结构简单，在低频时具有高的环路增益，能够精确稳定输出电压的低频部分；在高频时，又能够很好地提高相位裕度，这成为了变换器控制部分补偿网络的主要运用方法。

1 变换器特性分析及建模

图1为Boost变换器的开环拓扑，设输入电压Uin=75 V，输出电压UO＝100 V，电感L＝100 μH，电容C＝500 μF，电阻R＝10 Ω，开关频率fs=100 kHz，D=0.25。如图1，根据开关状态，变换器可分为两种基本工作状态，下面分别列出这两种工作状态的状态方程。

图1 Boost变换器开环设计

当开关管导通时，二极管截止，由电容向负载供电，状态方程为：

当开关管截止，二极管导通时，由电源和电感向负载供电且为电容充电：

由变换器在一个周期的两个工作状态，电感电流iL(t)在开关周期平均后显然满足式：

由（1）（2）（3）可得变换器一个开关周期的平均值表达式为：

变换器等效的平均变量中含有小信号扰动，所以变换器的小信号扰动的状态方程为：

根据小信号近似，略去直流分量和高阶分量，可列变换器小信号扰动的线性等效方程：

由式（6）建立Boost变换器连续导通模式下的平均小信号交流模型如图2。

图2 Boost变换器小信号模型

通过小信号模型，可得控制对输出传递函数[6,7]：

将图1中设定参数值代入式（7）得控制对输出传递函数值为：

2 补偿网络分析与设计

2.1 确定补偿网络传递函数

建立负反馈的期望是为了形成一个自动调节占空比的电路，无论uin，iload和元件参数变化，都能获得所需的高精度输出电压[8,9]。图3为变换器闭环小信号模型框图。

图3 变换器闭环小信号模型框图

开环增益传递函数为：

式中，H(s)为电压采样的比例系数，Gc(s)为电压环补偿器传递函数，1/VM是PWM调制器的比例系数，Gud(s)是控制到输出的传递函数。

假设当工作在连续导通模式，Boost变换器是一个单位补偿系统[10-13]。各项参数可设定为：VM=5，Gc(s)=1，H(s)=0.05，将式（8）代入式（9）计算得：

可得未加补偿参数环路增益幅频特性和相频特性的波特图，如图4所示。

分析图4可知，该系统在补偿前存在以下几个方面问题[14]：

图4 未加补偿参数的环路增益波特图

（1）未加补偿的系统为0型系统，其直流及低频增益不高（约为2.8 dB），因此，若要求补偿后的单位阶跃响应和低频响应无静态误差（提高稳态控制精度），需要增加PI补偿网络以提高系统环路增益。

（2）该系统的相位裕量PM=-2°，系统不稳定，需要增加PD补偿网络提高系统相位裕量。为了保证一定的相位裕量，一般选择补偿后的系统相位裕量为PM≥45°，因此，选择PD补偿网络的相角θ=76°，使补偿后的相位裕量PM≥45°，确保系统的稳定性。

（3）该系统的穿越频率fc≈0.82 kHz偏低，系统响应速度较慢。因此，要提高系统穿越频率，但同时要考虑高频开关频率及其谐波噪声，不能将穿越频率设置过高。一般将补偿后的环路增益穿越频率设置在开关频率的1/20～1/5处，同时设置自然振荡频率（fo≈534 Hz）的3倍以上，选择补偿后的增益穿越频率fc=5 kHz。

综上所述，选择PID补偿器作为变换器的补偿网络部分，PID补偿网络传递函数常用形式为[15,16]：

（1）确定PD补偿网络的零极点频率。

PD补偿网络用于提高补偿后系统的相位裕量，根据以下公式可求解得：

补偿后的穿越频率fc=5 kHz在fZ2与fp1之间，满足要求。

（2）确定PI补偿网络的零极点频率。

PID补偿网络传递函数的ωZ1处的零点与位于原点的极点组成PI补偿网络。一般可将该零点设在原系统自然振荡频率的1/5～1/2处，因此，将第一个零点频率设为:

（3）确定PID补偿网络的增益K。

将式（12）、（13）、（14）代入PID补偿网络传递函数式（11）中，并假设PID补偿网络的增益K=1得：

在K=1时，由式（10），（15）求补偿后的系统环路增益为：

可得在K=1补偿时系统环路增益波特图如图5所示。

图5 K=1补偿时的环路增益波特图

从图5中的K=1补偿时的环路增益波特图知，当f=5 kHz时，环路增益对应的相角为226°；故当设定一个所需K值时，其补偿后的环路增益相位裕量为PM=46°（穿越频率fc=5 kHz），满足相位裕量≥45°要求。当f=5 kHz时，PID补偿网络环路增益的幅值为-76.3dB。要使设定所需K值补偿后的环路增益穿越频率为5kHz，则K的值需满足：

将K值代入式（11），（15）得补偿器传递函数为：

由式（10），（18）得最终PID补偿器补偿后所得到的环路增益波特图，如图6所示。由图6中的PID补偿后的环路增益波特图知，补偿后的环路穿越频率为5 kHz，相位裕量为46°，满足要求。

图6 PID补偿器补偿后环路增益波特图

2.2 PID补偿网络的设计

通过以上分析，可采用如图7所示的零－极点补偿网络，来确定相关参数：

图7 PID补偿网络原理图

3 仿真验证

仿真参数设定正常输入电压为Uin=75 V，且输入加入扰动正弦波Uin=10sin(100t)V，或者输入电压从60 V跳变到100 V时，输出电压需稳定在Uo=100 V。图8为输入加入扰动时，输出电压的波形，图9为输入电压变化阶跃跳变时，输出电压波形图。

图8 输入电压正弦扰动时输出电压的波形

图9 输入电压从60 V跳变至100 V时输出电压波形

由图8可知，当正常输入电压75 V，且输入电压加入正弦扰动时，通过引入PID补偿器的闭环控制后，输出电压波形在100 V附近波动，且电压纹波约为5.1 V，电压纹波波动较小（注意到加入PID补偿后的系统相位裕量PM=46°，相位裕度较小，输出波形不是特别稳定）。当输入电压从60 V跳变到100 V变化时，加入PID补偿器闭环调节后，变换器输出电压大致稳定在100 V附近，输出电压纹波小于输出电压的5%，满足设计要求。因此仿真结果证明了设计PID补偿器闭环控制的稳压可靠性。

4 结论

以应用广泛的Boost变换器为基础，建立了变换器在连续工作模式下的小信号模型，通过分析控制系统的相频特性和幅频特性，考虑穿越频率和相位裕度，设计了所需的PID补偿器的控制网络，优化了变换器在输入电压变化时的系统动态响应和稳定性，并通过仿真验证了该方法的可靠性。