反思直线与圆位置关系的初高中的教学差异

邢燕

[摘  要] 文章從与学生对话的教学片段入手，分析问题所在，比较初高中的差异，对学习目标、教学对象、教学内容三方面反思教学，总结高中教学应在初中已学知识的基础上，建构新知识，突出高中解析几何的特点，强调高中数学课程标准对数学运算核心素养的要求.

[关键词] 直线与圆;初高中差异;数学运算;教学反思

引言

高一下学期人教A版必修2第四章第二节“直线与圆的位置关系”在高一是重要章节，在高考中也是一个重要考点.这是学生初中接触过的内容，因此在高一的教学中会出现教师与学生认知上的一些偏差，值得我们进行教学反思.

教学完“直线与圆的位置关系”，一个平时说话比较大胆的学生跑过来说道：“老师，我都会的你就讲得很详细，我不是很会的你就轻描淡写地过了.这样很浪费时间.”笔者一听，有点懵了，脸上也有点挂不住，笔者可是按照教材、教参、考纲认真备课的.

师：“好，回办公室仔细和我说.”

生：“老师，其实你前面讲的直线与圆的位置关系的概念我们初中都学过，用d与r的关系的判断方法也学过.不熟悉的就是运算.”

师：“哪些运算？”

生：“只要是运算都不熟悉.”

师：“具体是什么？举个例子.”

生：“怎样求出直线与圆交点的坐标，知道弦长求直线的方程也不会.”

生：“其实点到直线的距离公式也不熟悉，总是出错;弦长公式也不熟悉，常常漏掉次数2.”

师：“可是这些不是套公式吗？背熟公式直接代入就行了.”

分析与讨论

1. 问题剖析

以上教学片段反映出了一个问题，就是教与学的错位，学生认为老师讲得太多他们知道的知识，而没有花足够的时间讲解他们不会的知识.产生这种情况的原因有多种可能：或许是老师比较关注基本概念，关注概念、公式的来龙去脉，而学生更关注会不会做题;或许是学生以为自己会了，但其实是一知半解，没有认真消化老师所讲的知识.简单地说，就是三点：第一，教师上课讲解直线与圆的位置关系的概念和性质时会从具体问题出发，再抽象概括为一般情况，而学生会感觉这个过程有点乏味无用.第二，教师在讲解题目时会引导学生根据题目直观想象，建立数学模型，再进行一系列的推理运算得到结论.而学生认为自己已经知道了这一模型，只是不知道选哪种方法、哪个公式，不知道哪条路是捷径，烦恼总是记错、代错公式，总是算繁、算错. 第三，学生对已有知识掌握的差异决定他们对新知识理解、掌握的程度不同.这三点要求教师在讲课时既要全方位兼顾，也要对教学内容分好主次、轻重;备课时要了解所教内容学生以前是否学过，具体学过哪些和现在教学相关的知识，课程标准对这节内容的要求，需要培养学生哪些素养. 这样才是既备知识又备学生，做好知识的递进衔接，做到目标明确，强弱得当. 正如建构主义的学生观所指出的“教学不能无视学习者的已有知识经验”. 那么，“直线与圆的位置关系”这节内容初中学过了什么，与高中内容有多少关系，高中应该怎样教学更有效果？我们先来看一下它们的具体区别与联系.

2. 比较差异

“直线与圆的位置关系”这节教学内容在初中的学习目标：（1）理解直线与圆相交、相切、相离的概念;（2）会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系. “直线与圆的位置关系”这节教学内容在高中的学习目标：（1）掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离;（2）会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系;（3）会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.

初中阶段学习直线与圆的位置关系主要是从直观观察得到结论.例如，判断直线与圆的位置关系有两种方法：

一种是从直线与圆的公共点的个数来断定：直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切;直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.

一种是从圆心O到直线l的距离d与圆半径r的大小关系来判断：圆心到直线的距离d与半径r之间的数量关系和直线与圆的位置关系相对应.直线与圆相交时，dr.

而高中阶段学习直线与圆的位置关系主要是通过运算得到结论.

例如，d与r的大小关系，不是观察得到的，而是先套用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再判断d与r 的大小关系对应直线与圆的位置关系.这是高中阶段解决直线与圆的问题常用的几何法. 此外，高中阶段还引入代数法解决直线与圆的问题.即联立直线与圆的方程，构成二元二次方程组，再消去x或y，得到一元二次方程，根据判别式大于零、等于零、小于零来判断直线与圆的位置关系是相交、相切、相离. 不管是几何法还是代数法，都是通过运算得到结论. 用代数运算分析探究平面几何图形的位置关系等问题，即解析几何思想，是高中阶段的一个重要思想和方法.这里，代数法用到的一元二次方程的判别式，在初中也学过，主要研究二次函数有几个解，在这里对应直线与圆有几个交点，再对应直线与圆的位置关系.由一元二次方程的判别式，就会联想到韦达定理，也是初中学过的内容，初中只是用它求二次函数的一些简单性质和基本运算. 而高中用得更广泛，还常用于解决解析几何中“设而不求”的问题.可见，初高中即使使用相同的公式，解决的问题也会有所不同，不仅要会选择，知道应用这条公式，而且需要更灵活地应用公式.

3. 教学反思

从学习目标来看，有两点差异：（1）初中的要求是理解直线与圆相交、相切、相离的概念;高中的要求是掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. “掌握”是在初中“理解”的层次上更进一步，“掌握”是在知道、明白概念的基础上“会求”“会用”. （2）初中要求会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系;高中要求会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系，会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 在这灵活运用的层面，两者差别更大. 初中是直接根据距离大小关系来判断直线与圆的三种位置关系，而高中则是明确要求用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系，需要通过运算的结果来判断. 在此基础上，还要会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 即通过一般情况抽象出基本概念、方法，在掌握数学背景的通式通法后，还会运用它来解决实际问题.因此，教师“应当帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识经验联系起来，从而建立起适当的心理表征”.[1]在高中阶段直线与圆的位置关系的教学中，教师应帮助学生用他们已学过的二元二次方程组的解、一元二次方程的判别式理解代数法的特点，用圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系理解几何法的特点，建构起新的知识框架，并应用它来解决新问题.

从教学对象的角度来看，片段中学生强调不会运算，不会代公式.这也是这节内容在初高中的最大差异：这节内容在初中要求通过观察得结论，在高中要求通过运算得结论. 《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中指出：“数学运算是课程标准关注的核心能力，反映数学学科的基本特征.”因此，教会学生怎样运算是高中教学的一个重要任务. 数学运算也要讲究方式方法，才能算得又快又准. 对于新学的内容要适当规范化，才能少走弯路. 试错是要的，但错了后要规范更正，避免再错.就这节内容，求圆心到直线的距离d，代公式之前，若先把圆心坐标写出来，代错的機会就会少很多. 直线先化为一般方程形式，强调x的系数是正整数，y的系数和常数项是整数，方便运算. 做好这些准备工作就不容易代错算错. 对于不易记或易记错的公式，可以结合图形记忆，或编一些口诀记忆. 此外，很多运算过程教师认为是顺理成章的事，学生会觉得很难理解：为什么要这样设方程、这样化简，而不是那样？例如，求直线与圆交点的坐标，联立消元，消去x，y哪个更简单？怎样消元，是加减消元还是代入消元？诸如此类的问题，教师应针对不同题型进行归纳总结，才能帮助学生在数学运算的迷茫中找到指引前进的明灯.

从平面几何与解析几何的本质特征来看，初中学习的直线与圆的位置关系是平面几何的范畴，强调观察和证明，证明之后是简单的运算，重点是观察及证明. 高中学习的直线与圆的位置关系是属于解析几何的范畴，强调数学运算，通过数学运算得到要证明的结论，重点是数学运算.判断直线与圆的位置关系，初中教学是观察公共点的个数，观察圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系来判断. 高中教学是计算圆心与直线的距离，或联立方程组计算判别式来判断. 《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》第127页指出：“数学运算是解决数学问题的基本手段.”而利用代数运算解决平面几何问题，是解析几何的本质.这是学生初中没接触过的，又是高中课程标准和本节学习目标要求的，就是这节课教学的重点. 至于直线与圆位置关系的基本概念，既然初中已学过，可以淡化并快速处理. 针对初高中侧重点的不同，教师在备课时应认真研究，关注差异，突出重点. 要清楚学生已经知道哪些知识点，哪些应该淡化讲解;哪些知识点是没接触过的，需要仔细讲解，并多练习，使学生熟练.否则会产生轻重不分、本末倒置的感觉.

结束语

简言之，教师应经常从学习目标、教学对象、教学内容等方面反思教学. 基于学生在初中已经学过部分内容，高中的教学应该以学生原有知识为基础来建构新知识，突出高中数学解析几何的特点——用代数法解决几何问题，强化高中数学课程标准对数学运算核心素养的要求，并按照高中课程标准的层次来执行，这样才能取得更好的效果. 当然，我们还可以对其他初高中都含有的知识（如三视图等）进行研究，比较学习目标的差异，分析教学内容的要求及特点，做好衔接，在高中阶段的教学中帮助学生更好地建构新知，并理解、掌握，灵活地去运用它.

参考文献：

[1]  郑毓信，梁贯成. 《认知科学、建构主义与数学教育：数学学习心理学的现代研究》（M）. 上海教育出版社，2002.