基于叠加摆线运动规律的Delta机器人轨迹规划

刘现伟，颉潭成,2，徐彦伟，王亚南

（1.河南科技大学 机电工程学院，洛阳 471003；2.智能数控装备河南省工程实验室，洛阳 471003）

0 引言

Delta机器人是一种能够实现高速三自由度平动的机构，具有动作灵活，运行速度快，刚性好等优点，被广泛应用于流水包装线上，以完成大批量、重复性的快速分拣工作[1]。

轨迹规划的好坏直接影响Delta机器人在分拣作业时的运动效率、运动精度和运动平稳性。在分拣作业时，一般采用门字型轨迹作为拾放操作动作，而门字型轨迹在竖直与水平方向上存在直角过渡，在高速运行时会产生机械振动现象。Delta机器人的轨迹规划主要围绕着如何使运动轨迹更加平滑、运动状态更加平稳来进行。不同的运动轨迹、不同的运动规律都会影响机器人的运动状态，合理的轨迹规划[2]不仅可以提高运动效率，缩短运动周期，而且可以减少振动，延长机构的使用寿命。

国内外学者对Delta机器人在高速高频作业时的运动轨迹和运动规律进行了广泛而深入的研究。解则晓[3]等从能量指标进行分析，发现基于Bang-bang运动规律的多项式曲线能够有效降低Delta机器人的轨迹能耗问题。张祥[4]提出一种基于修正梯形运动规律的弧线轨迹规划方法，该方法能够减小直角处的冲击，使运动过程更加平滑。解则晓[5]等运用高阶多项式运动规律对一维位移曲线进行规划，提出一种基于Lamé曲线的轨迹规划方法，该方法能够有效减少机械手的残余振动。陈伟堤[6]等采用非对称的6次多项式运动规律对门型轨迹进行优化，可使机器人运动更加平稳。苏婷婷[7]等提出一种基于多项式运动规律的毕达哥拉斯速端曲线的轨迹规划方法，可使轨迹平滑且运动平稳。梅江平[8]等提出了一种基于五次非均匀有理B样条运动规律的轨迹规划方法，该方法在减小运动过程中机械手振动和降低电动机功耗等方面优势明显。上述研究成果多从直角过渡部分优化门字型轨迹，对于合成轨迹研究的相对较少。

为使Delta机器人在运动过程中，有更好的运动平稳性和运动效率，文中运用叠加摆线运动规律对Delta机器人进行轨迹规划。本文在约束运动周期的前提下，研究了一种基于叠加摆线运动规律的合成轨迹规划方法，该方法使Delta机器人在运动过程中，有着较好的运动特性，能有效减少机构的振动现象。

1 运动轨迹规划

运动轨迹包含两方面内容：一是运动规律，即在一维位移曲线上运动时，位移随时间的变化规律；二是运动轨迹，即运动轨迹在三维笛卡尔坐标空间中的形状。

1.1 运动规律规划

常用的运动规律有S型加减速运动规律[9]、多项式运动规律[10]、摆线运动规律[11]等。文中对摆线运动规律进行改造：将两条摆线运动规律曲线进行叠加，形成新的运动规律。叠加摆线运动规律曲线光滑、连续可导，具有较好的加减速运动效率，运动过程中不存在刚性冲击和柔性冲击。设平面内一条摆线运动规律的位移曲线为s（τ），则其公式为，

式(1)中，τ∈[0，T]，T为运动周期。

设两条摆线位移曲线为：s1（τ），s2（τ）。

式(2)，式(3)中，m，n为放大系数，τ∈[0，T]，T为运动周期。对式(2)，式(3)求导，可得到速度、加速度、跃度公式。

设定叠加摆线运动规律为s（τ），则：

由加减速运动规律，在T/2时刻，速度达到最大值M，并且在（0，T/2]区间内，速度曲线函数单调有界，加速度曲线函数值恒大于等于0，则：

由速度曲线加减速运动规律，要求运动过程中要有较高的运动效率，需速度曲线形状尽可能的接近“梯形”。则有式(5)、式(6)可以推出：在T/2时刻，跃度曲线函数值为0。即：

由式(7)求得：m=8n。当m=8n时，叠加摆线运动规律的速度曲线尽可能的接近“梯形”，如图1所示。

图1 叠加摆线运动规律速度曲线

多项式运动规律常用于轨迹规划，本文运用3-4-5次多项式作为对比，其归一化后的公式为：

式中，τ∈[0，T]，T为运动周期。

为分析叠加摆线的运动规律，将叠加摆线运动规律、摆线运动规律、3-4-5次多项式运动规律进行归一化后对比分析，得：位移曲线图，如图2所示。速度曲线图，如图3所示。加速度曲线图，如图4所示。跃度曲线图，如图5所示。

图2 位移曲线图

图3 速度曲线图

图4 加速度曲线图

图5 跃度曲线图

由图3速度曲线图可得，叠加摆线运动规律的速度峰值最小，摆线运动规律的速度峰值最大；由图4加速度曲线可得，叠加摆线运动规律的加减速运动效率较高，摆线运动规律的加减速运动效率较低；由图5跃度曲线可得，叠加摆线运动规律的跃度峰值最大，但和3-4-5次多项式运动规律的跃度峰值相比相差不大。综合分析得，叠加摆线运动规律的速度峰值小，加减速运动效率较高。

1.2 运动轨迹规划

为完成拾放操作任务，需确定机器人末端运动轨迹的关键点：起始点、末端点和避障最高点。在确定轨迹关键点后，运用合成运动，在竖直方向与水平方向形成合成轨迹。在水平方向上运动的时间为运动周期T；在竖直方向上，上升阶段与下降阶段的运动时间均为T/2。由合成运动得到，3-4-5次多项式运动规律形成的合成轨迹和叠加摆线运动规律形成的合成轨迹，如图6所示。

图6 合成轨迹图

2 仿真与分析

仿真实验时，设运动轨迹的关键点坐标：起始点（-141.36，0，-400），避障最高点（0，0，-310），末端点（141.36，0，-310）。用MATLAB软件中SimMechanics模块对基于3-4-5次多项式运动规律的合成轨迹和基于叠加摆线运动规律的合成轨迹进行了仿真对比分析，得到机器人末端的轨迹曲线，如图6所示。该Delta机器人的特性参数：静平台半径为43.30mm；动平台半径为36.18mm,质量为0.053kg；主动臂长度为180mm，质量为0.122kg；从动臂长度为350mm，质量为0.061kg。

2.1 关节坐标空间轨迹运动特性

通过仿真，得到了Delta机器人在关节坐标空间中的运动特性曲线。在基于3-4-5次多项式运动规律的合成轨迹下，角位移曲线如图7(a)所示，角速度曲线如图8(a)所示，角加速度如图9(a)所示。在基于叠加摆线运动规律的合成轨迹下，角位移曲线如图7(b)所示，角速度曲线如图8(b)所示，角加速度如图9(b)所示。

图7 角位移曲线

图8 角速度曲线

图9 角加速度曲线

由图7角位移曲线得，多项式合成轨迹与叠加摆线合成轨迹的角位移曲线均相对平滑、自然，无剧烈波动现象，无较大区别。由图8角速度曲线得，多项式合成轨迹的角速度的峰值与叠加摆线合成轨迹的角速度峰值相差不大，但从两图峰值处曲线走势来看，叠加摆线合成轨迹的速度曲线峰值处变化较为平缓。由图9角加速度曲线得，多项式合成轨迹的正向角加速度的峰值与叠加摆线合成轨迹的正向角加速度峰值相差不大，但叠加摆线合成轨迹的负向角加速度峰值比多项式合成轨迹的大，从加减速运动效率来看，叠加摆线合成轨迹的加减速运动过程较快，有着较高的运动效率。将图8、图9中的数据整理为表1，由表1电机状态数据对比可得，叠加摆线合成轨迹的1、2轴角速度峰值均比多项式合成轨迹的角速度峰值小；3轴的角速度峰值比多项式合成轨迹的大，但相差不大。由角加速度数据得，叠加摆线1轴的角加速度峰值比多项式的角加速度峰值大；2、3轴的角加速度峰值比多项式的小，但相差不大。由图7～图9和表1整体分析可得：基于叠加摆线运动规律的合成轨迹与多项式合成轨迹相比，在关节空间中，其角速度峰值降低，加速度峰值增加，具有较高的加减速运动效率。

表1 电机运动状态对比

2.2 直角坐标空间轨迹运动特性

由仿真得到Delta机器人在直角坐标空间中的运动特性曲线，在基于3-4-5次多项式运动规律的合成轨迹下，其末端速度、加速度曲线，如图10(a)、图11(a)所示。在基于叠加摆线运动规律的合成轨迹下，其末端速度、加速度曲线，如图10(b)、图11(b)所示。

图10 末端速度曲线

由图10末端速度曲线得，多项式合成轨迹与叠加摆线合成轨迹的速度曲线均相对平滑、自然。但叠加摆线合成轨迹的末端速度曲线形状更接近“梯形”，并且其速度峰值大大降低。由图11末端加速度曲线得，叠加摆线合成轨迹的末端加速度峰值比多项式合成轨迹的加速度峰值大，加减速过程较快，运动效率高。将图10、图11中的数据整理为表2，由表2末端运动状态可得，在x轴和z轴方向上，叠加摆线合成轨迹的末端速度峰值与多项式合成轨迹的相比，减少了14.67%。对比表2中的末端加速度峰值，在x轴与z轴方向上，叠加摆线合成轨迹的末端加速度峰值比多项式合成轨迹的大。总体来说，基于叠加摆线运动规律的合成轨迹，末端速度峰值降低，加减速过程较快，运动较平稳。

表2 末端运动状态对比

图11 末端加速度曲线

3 样机试验

为验证文中所规划的机器人运动轨迹的实际运动特性，搭建了如图12所示的Delta机器人实验平台，并进行验证分析。机器人控制器选用PMAC系列中的Turbo PMAC2-Eth-Lite控制器（又称“Clipper”），驱动器型号为A-SV15，伺服电机型号为60ST-M01930，减速机型号为PLX60-5，减速比为5:1。主动臂及动平台材料为铝合金，从动臂材料为碳纤维。数据采集系统用PMAC卡中的DPRAM数据采集缓冲区，采集的数据为2500线增量式编码器所反馈的实际脉冲数，采样频率为112.5Hz。

图12 delta机器人实验平台

通过样机试验，采集电机运动过程中的实际脉冲数据，并将其转化为角度值，得到叠加摆线合成轨迹与多项式合成轨迹的关节坐标空间曲线，如图13～图15所示。与仿真所得的关节坐标空间曲线对比，实验数据与理论基本相符。在试验过程中，叠加摆线合成轨迹的运动状态比多项式合成轨迹更加平稳。

图13 角位移曲线

图14 角速度曲线

图15 角加速度曲线

4 结语

利用叠加摆线运动规律规划了Delta并联机器人的分拣操作轨迹，在约束分拣操作周期的前提下，分析了关节坐标空间与直角空间的运动特性曲线。研究结果表明：1）基于叠加摆线运动规律的合成轨迹与基于3-4-5次多项式运动规律的合成轨迹相比，叠加摆线合成轨迹运动更平稳，运动特性曲线具有更好的柔顺性。2）叠加摆线合成轨迹具有更高的加减速运动效率，且加减速运动曲线光滑、自然。3）叠加摆线合成轨迹在关节坐标空间中与直角坐标空间的速度峰值均有所降低，其中直角坐标空间中速度峰值降低14.67%，更有利于减小运动过程中振动现象。