例谈综合题的解法

史珏尔

【摘要】综合题一般由一个较为复杂的图形和几个基本问题有机组合在一起的题目，它涉及到数学中较多的数学知识，并蕴涵着一定的数学思想方法。首先要会分解图形，寻找到解综合题的突破口，在此基础上利用图形的直观性进行联想、猜想、验证与筛选，获得解题方法的信息，然后利用综合和分析的思维方法找到解题的方法，并结合各种数学思想方法和添加辅助线，使问题得到顺利解决。

【关键词】思维方法  数学思想方法   直观性  辅助线

综合题是涉及数学中较多的数学知识的题目。一般的综合题是由几个基本问题有机地组合在一起，并蕴涵着一定的常见的数学思想方法。所以，在解综合题时，只要分清题目的结构，把综合性的问题，分解为若干个基本问题，同时注意运用数学思想方法，就能解答好。

一、分析图形的结构。

1、综合题往往有一个较为复杂的图形。实际上，这种图形往往是几个常见的基本图形有机地组合在一起。而学生要解答好综合题，首先要会分解图形，然后，从基本图形着手，寻找到解综合题的突破口。

例1   已知：在⊿ABC中，AD为∠BAC的角平分向，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD与点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD= 4：3。

求证：AF=DF;（2）求∠AED的余弦值;（3）如果BD=10，求⊿ABC的面

分析   本题的图形是曲直混合的图形，所以显得比价复杂。在此图中，我们可以通过把EF⊥AD，和∠DAE=∠ADE的组合，分解出一个等腰三角形的三线合一的基本图形。把∠B=∠CAE和∠AEB是公共角这两个条件组合起来，又可以分解出⊿ABE∽⊿CAE。另外，我们还可以找到勾股定理，割线定理的基本图形。从而为解决本题奠定基础。

2、有些综合题的条件看上去是独立的，实际上，这些条件可以互相联系，把这些图形和已知条件组合起来，可以得出新的结论。甚至，有些图形和已知条件是散乱的，可以通过添加适当的辅助线，使散乱的条件相对集中，进而推出一个新的结论。

在本题中可以看出，图形和已知条件的分解和组合，是相互依存和相互联系的。通过这种分解和组合，可以使一个复杂的综合题，转化为几个典型的基本问题。

二、用综合和分析的思维方法。

根据已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论或所求问题的思维过程叫综合法。简单地说根据原有的已知条件，都能推出哪些结论。从待证结论结论或需求问题出发，进行探索，最后达到题设的已知条件，这样的思维过程叫做分析法。

一个综合题的思考方法，往往是分析法和综合法的组合。这是把综合题分解为基本问题以后的主要分析方法。例如，例1中的第一小题，我们可以作以下分析，找到解题方法。

（1）若证AF=DF，因为EF⊥AD，所以联想等腰三角形三线合一性质，先证明AE=DE。

（2）若证AE=DE，联想等腰三角形的判定，先证∠DAE=∠ADE。

（3）若证∠DAE=∠ADE，则因为∠DAE=∠DAC+∠EAC，∠ADE=∠B+∠BAD，根据已知条件，问题已经获证。

三、用图形的直观性，进行联想、猜想、验证与筛选。

综合题没有固定的解题程序，而需要根据题目的不同已知条件，不同的图形进行分解和组合。然后，在此基础上进行广泛的联想、试探性的分析，进行多次实验、筛选。特别是利用图形的直观性，进行大胆地猜想，获得解题方法的信息。

例2  ⊙O1和⊙O2相交于A、B，且AB⊙O1是的直徑，过点B作⊙O1的切线，交于点C，连结AC，交⊙O1于点D，连结并延长BD，交⊙O2于点E。设⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为5。（1）求 切线CB的长。（2）若点F在直线CE上运动（与点C、点E不重合0，连结并延长FD交于另一点G，连结并延长AG交CB的延长线于点H，设CF=x，BH=y，求y与x的函数关系式。

分析  在本题中，既有曲直混合，又有两个圆的叠加，是一个比较复杂的集合图形。要解决第二个问题就首先凭经验进行合理的猜想：要求y与x的函数关系式，它的依据是相似三角形的对应边成比例。然后，重要找三角形相似呢？我们先找x和y所在的三角形，用图形的直观性观察这两个三角形是否可能相似。例如，y所在的是直角三角形ABH，与x所在的三角形不一定相似。我们可以先看CH所在的⊿ACH和x所在的⊿DFC是否可能相似。从图形上来看，这两个三角形可能会相似，这就是利用图形的直观性提供了解题的方法和信息。接下去，我们再去寻找证明⊿ACH和⊿DFC相似的条件。

利用图形的直观性，进行合理的猜想，在解几何题中非常重要，它为解题指明的方向。

四、用各种思想方法

初中的数学思想方法主要有，转化思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等。

例如，在例1中，我们不妨设EF=4x，则FD=3x，由勾股定理得，DE=5x。

∴AE=DE=5x，AF=FD=3x。在⊿CAE和⊿ABE中，∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA，

∴⊿CAE∽⊿ABE。∴ 。∴AE2=BE·CE。∴（5x）2=（10+5 x）· x。解得x=2。

∴AN= x= ，BC=BD+DC=15。∴S⊿= BC··AN=72。

又如在例2中，求y与x的函数关系式。在运动变化过程中，变量BH和CF之间互相影响，互相制约，互相依存的，它们之间存在着一定的数量关系，把这种数量关系刻画出来，就运用了函数思想。

在以上两种解决几何问题时，一定要仔细观察图形，充分利用图形中所提供的数量关系，常见的有相似三角形的性质、勾股定理等等，引入适当的未知数来表达这些数量关系，从而建立方程（组）或函数关系式。

许多综合题中，运用数形结合的思想又是很重要的方法。在以上两例中，我们可以通过“数”来了解图形的形状，通过“形”来发现不同变量之间的数量关系，从而使问题得到解决。实际上，如果所求问题是属于“数”的范畴，则往往转化为依据“形”的性质来列方程（组）或列函数关系式来解决。如果所求问题是属于“形”的范畴，则往往通过“数”来解决。如上面两例。

二、常见辅助线的作法。

1、在三角形中，常见的辅助线是往往通过连结、延长作平行线、垂线这些手段，来达到三角形的对称变换、平移变换、旋转变换，使散乱的条件组合起来。

（1）已知条件中有角平分线时，有以下几中基本图形。

3、在证明线段的和、差时，可以通过截长补短;在证明线段的倍半时，可以通过延倍折半。

4、在圆中常见的辅助线是作弦心距、画直径所对的圆周角、过切点作圆的半径等等。

总之，在作辅助线时，作平行线或垂线，连结、延长是最常见的有效手段。

六、正确理解同一图形的元素在不同背景下的角色，使问题顺利解决。

现在的几何代数综合题的图形往往是曲直混合，又有坐标作为背景，同一的图形的元素，往往在不同的图形背景里有不同的理解。如下例。

如图，O是CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD，CE。求证：BC=DE。

在实际教学过程中，许多同学没有联想到角平分线的性质，而是在考虑三角形全等。正确的方法是联想角平分线的性质，过点O作OE⊥BC于E，过OF⊥DE于F。同时，OE=OF的长对CAE来说，是角平分线上的点到角的两边的距离相等，但是，对O来说，是两条弦心距相等。我们正确认识到OE、OF在不同背景下的角色，才能使问题顺利解决。

总之，综合题涉及了代数和几何各个领域的知识点，不可避免地要使不同领域的知识互相转换，寻找不同领域的知识的联结点，使问题在转化过程中解决。这里又包含了转化思想。