由单调函数y=f(x)确定的数列x n+1=f(x n)收敛性

2021-06-30 16:41张友梅吴邦昆
大理大学学报 2021年6期
关键词:不动点收敛性初值

张友梅,吴邦昆

(合肥职业技术学院基础教育学院,合肥 238000)

若数列{xn}是由函数y=f(x)所确定的递推数列xn+1=f(xn),n=0,1,2,…的形式给出,如果这类数列通项公式又不易求出,讨论它的收敛性,用传统的方法常常比较困难,甚至无从下手〔1-3〕。比如:

讨论这几个数列的收敛性用传统的方法就比较困难,研究发现如果函数y=f(x)是单调函数,这种由xn+1=f(xn)生成的递推数列{ }xn,它的收敛性在不求通项公式情况下就可以判别,且判别方法具有一定的规律性,容易理解,使用方便,不难掌握。

1 预备知识

定义1 方程f(x)=x的任一解称为函数y=f(x)的不动点〔4〕。

定义2 设函数y=f(x)在区间I上有定义,如果x0∈I,则xn+1=f(xn)∈I,n=0,1,2,…,则称函数y=f(x)在初值x0处可迭代,数列{}xn称为函数y=f(x)的迭代数列。如果对∀x∈I,函数y=f(x)在x处可迭代,则称函数y=f(x)在区间I上可迭代〔5〕。

以下给出几个基本事实〔6〕。

(1)以函数f(x)的不动点为初值产生的迭代数列{xn}是常数数列。

(2)在区间I上单调下降的函数f(x)至多有一个不动点,在(-∞,+∞)上连续下降的函数有且只有一个不动点。

(3)若数列{xn}为连续函数y=f(x)的迭代数列,则nli→m∞xn=A的必要条件是A为f(x)的不动点。

(4)若函数y=f(x)在区间I上单调上升,则迭代数列{xn}一定单调,其增减性由数列{xn}的前二项x0,x1即可确定。

(5)若函数y=f(x)在区间I上单调下降,函数f[f(x)]单调上升,这时数列{x2n}和{x2n+1}分别看成依初值x0,f(x0)通过f[f(x)]产生的迭代数列,则数列{x2n}和{x2n+1}一定都是单调数列。

2 研究结果

这里主要讨论由单调函数y=f(x)产生的迭代数列{}

xn收敛性的判别方法。

2.1 判界法

命题1 若函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代,则对任何初值x0∈I,f(x)的迭代数列均收敛。

证明:因为所设的条件是函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代,所以f(x)的迭代数列{xn}为单调有界数列,根据单调有界原理可知数列{xn}收敛。

2.2 不动点法 如果y=f(x)在区间I上单调上升或单调下降,但无法确定其是否有界,这种情况应该使用不动点法判别。

命题2 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调上升且有唯一不动点a,数列{}xn是函数f(x)依初值x0生成的迭代数列,x1=f(x0),那么

(1)当x0<a时,若x0≤x1<a,则数列{}xn收敛于a;若x1<x0<a,则数列{xn}发散。

(2)当x0>a时,若a<x1≤x0,则数列{}xn收敛于a;若a<x0<x1,则数列{xn}发散。分析:对单调上升函数f(x),其迭代数列一定是单调数列。数列{xn}收敛性判别主要是通过比较x0与不动点a的大小。分两种情况:一种是数列{xn}在不动点a的左侧变化,另一种是数列{xn}在不动点a的右侧变化,再根据{xn}的单调性,若xn变化逐渐靠近a,则{xn}收敛于a,若xn变化逐渐远离a,则{xn}发散。

证明:(1)设数列xn+1=f(xn),n=0,1,2,…。由于f(x)是单调上升函数,所以其迭代数列{xn}一定是单调数列,并且a是其唯一不动点。当x0<a且x0≤x1<a时,就有x1=f(x0)<f(x1)=x2,用数学归纳法可知,数列{xn}是单调上升且以a为上界的,所以数列{xn}收敛于这唯一不动点a。当x0<a且x1<x0<a,数列{xn}是单调下降不能收敛于a,而f(x)在(-∞,x0)上无其他不动点,所以数列{xn}发散。

对于(2)的证明与(1)相似,在此省略。

命题3 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且有唯一不动点a,函数f(x)依初值x0生成的迭代数列{xn},那么

(1)不论x0>a或x0<a,当x0位于x2=f[f(x0)]与a之间时,则数列{xn}发散。

(2)如果a也为f[f(x)]的唯一不动点,不论x0>a或x0<a,当x2=f[f(x0)]位于x0与a之间时,则数列{xn}收敛。

分析:这种类型是针对连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且有唯一不动点a的情形。通过比较x0,x2=f[f(x0)],a之间的大小,分两种情况:当x0位于x2与a之间和x2位于x0与a之间进行考虑。

证明:(1)当a<x0<x2=f[f(x0)]时,则数列{xn}满足:

…≤x2k+1≤…≤x3≤x1≤a<x0<x2≤x4≤…≤时,则数列{xn}与上述情况类似,因此数列{xn}发散。

(2)当a<x2=f[f(x0)]<x0时,则数列{xn}满足:则数列{x2n+1}单调上升有上界,数列{x2n}单调下降有下界,所以均收敛。

注1:命题2、命题3结论对在一般区间上也是成立的。

2.3 初始值法

命题4 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且f[f(x)]有唯一不动点a,则当且仅当

(1)x2=f[f(x0)]位于x0与x1之间时,迭代数列{xn}收敛。

(2)x0位于x1与x2=f[f(x0)]之间时,迭代数列{xn}发散。

注2:命题4的证明方法与命题3类似,不再重复。

3 具体应用

4 结论

有些数列是以函数y=f(x)所确定的递推数列x n+1=f(x n),n=0,1,2,…的形式给出的,其通项公式一般不易求出,但当函数y=f(x)满足单调性条件时,即使没有通项公式,其数列{}x n的收敛性也可判别,本文深入探讨了这类函数对应的递推数列的通项公式的求法,总结了判别方法的一般规律,对该类问题的研究有一定的实际意义。

猜你喜欢
不动点收敛性初值
基于一类迭代方程可微性解存在探讨
平均非扩张映射的不动点性质
美国三季度GDP初值创两年最高
西部地区金融发展水平的收敛性分析
与不动点性质相关的新常数
我国省域经济空间收敛性研究
《吉普林》欧元区经济持续低迷
对一道“切变变换”题的错解分析
情绪波动、信息消费发散与福利分化效应