反平面切口根部裂纹应力强度因子研究

高邹运,潘 伟,杨永育,程长征

(合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

由于几何或材料不连续性,工程结构中存在很多切口问题[1]。切口尖端严重的应力集中容易诱发裂纹,导致结构开裂甚至破坏,含切口结构的强度研究是一个重要的科学课题。

对平面切口问题,文献[2]围绕V形切口尖端裂纹起裂方向,提出了裂纹起裂方向的主应力判别准则;文献[3]基于复合型V型切口脆性断裂的最大周向应力准则,对含切口拉伸板开裂过程中的临界载荷和开裂角进行了数值模拟。对反平面切口,文献[4]利用位移函数的级数展开法,得到了反平面界面端应力场的全场解;文献[5]基于非协调元特征法对反平面复合材料尖劈奇异性场进行了研究。对于双材料裂纹问题,文献[6]采用子域边界元法对双材料界面边缘裂纹进行了研究;文献[7]将构造应力函数的间接积分法与最小二乘法结合,得到了满足精度要求的双材料界面裂纹问题的解;文献[8]利用特征函数渐近展开法,构造了一种可用于Reissner板弯曲界面裂纹分析的奇异单元。

目前相关研究大多分别针对切口强度或界面裂纹强度进行分析,但切口端部的应力集中和起源其根部的裂纹应力奇异场相互耦合,使得切口端部诱发裂纹以后的强度研究更为关键。

本文结合切口端部的奇性特征分析和有限元数值模拟,开展反平面切口端部裂纹强度研究。首先基于Williams渐近展开,推导了反平面切口端部的奇性特征方程,求解获得切口的奇性指数;然后基于有限元法计算出的切口根部裂纹尖端应力场,利用线性插值获取其应力强度因子;最后研究了锐形和半圆形切口几何特征以及双材料切变模量比等材料特征,对切口根部裂纹应力强度因子的影响规律。

1 双材料反平面切口奇性特征分析

双材料反平面切口如图1所示,由Ω1、Ω22个不同材料域沿Γ3面紧密粘合而成。对于反平面问题,仅考虑z面的位移w1、w2。

图1 双材料反平面切口

将双材料反平面切口根部的位移按如下级数渐近展开表示为:

(1)

对(1)式中的典型项引入极坐标系下的平衡方程,即

(2)

可得:

(3)

假设切口2条径向边Γ1、Γ2上面力自由,2种材料交界面Γ3上满足界面协调条件。引入切口根部位移级数渐近展开式的典型项后,切口的边界条件和界面连续条件可以写为:

(4)

(5)

其中,G1、G2为2种材料的切变模量。采用插值矩阵法[9]求解切口奇性特征方程(3)～(5),可以获得切口的奇性指数λk(k=1,2,…,N)。

在以下计算中,对应力强度因子无量纲化时,将要用到切口开角分别为0°、60°、120°切口的应力奇性指数,这些切口反平面第1阶应力奇性指数的计算结果见表1所列,与文献[10]的解相比较可知,本文计算结果具有很高的计算精度。

表1 反平面切口第1阶应力奇性指数计算结果

2 界面裂纹应力强度因子计算

2.1 切口根部裂纹有限元模型与计算方法

反平面切口根部裂纹模型如图2所示。利用有限元法对图2切口根部裂纹模型进行离散,计算获得裂纹尖端τθ z的应力场。在裂纹尖端布置三角形单元,其余使用四边形单元。沿裂纹尖端向外,单元尺寸按比例放射增加,确保裂纹尖端单元尺寸细密,图2a锐形切口根部裂纹体的有限元模型如图3所示。

图2 反平面切口根部裂纹模型

图3 有限元网格划分示意图

反平面裂纹应力强度因子采用的定义为:

(6)

对其两边取对数可得:

(7)

数值计算时,选取若干离裂尖不同距离r处点的应力值τθz,作出ln|τθ z|-lnr的直线图,由该直线与纵轴的截距可以算出应力强度因子KⅢ。然后对计算结果进行无量纲化,公式为:

K3=KⅢ/K0

(8)

(9)

其中,a为切口深度和裂纹长度总和。

切口开角γ=0°、切口深度l=4、裂纹深度Δl=0.1时裂纹尖端ln|τθ z|-lnr的拟合曲线如图4所示。

从图4可以看出,拟合曲线近似为一条直线,经插值可得KⅢ=23.034,无量纲化后可得K3=1.019,而文献[11]的解为K3=1。

图4 ln|τθ z|-ln r拟合曲线

2.2 锐形切口根部裂纹

图2a所示为锐形切口根部裂纹模型,板的宽度w=40,长度H=120,2种材料的泊松比均取为ν=0.3,反平面荷载τ=1。分别研究切口开角γ、切口深度l、开口位置hc、裂纹深度Δl及切变模量比G1/G2对切口根部裂纹应力强度因子的影响。

(1)l=4,γ分别取为0°、60°、120°,Δl从0.1到5.0递增。G1/G2=1时切口开角对K3的影响如图5所示。

图5 切口开角对K3的影响

值得指出的是,γ=0°时切口退化为裂纹,研究对象变成了一个纯粹的边裂纹问题。

从图5可以看出,当γ=0°时K3的计算结果近似为一条趋近于1.0的水平线,这和文献[11]的解能很好吻合。当γ为60°、120°时,随着Δl的增加,K3由急剧增加而趋于平缓,逐渐趋近于1.0,意味着γ对其端部短裂纹应力强度因子的影响剧烈,而对其端部长裂纹应力强度因子的影响甚微。这是由于短裂纹落在切口奇异应力区内,受切口几何特征影响剧烈,而长裂纹已超出了切口端部奇异场的主控范围,切口几何特征对其端部长裂纹的影响变弱。

(2) 取l=8且其他参数保持不变,与l=4的计算结果对比。切口深度对K3的影响如图6所示。

从图6可以看出,浅切口根部的短裂纹比深切口根部同样长度的短裂纹的应力强度因子略高,但随着Δl增加,浅切口根部的长裂纹比深切口根部同样深度的长裂纹的应力强度因子略有降低。

图6 切口深度对K3的影响

(3) 切口位置对K3的影响。分别取切口位置高度hc为0.2H、0.3H、0.5H,计算K3,结果如图7所示。

从图7可以看出,hc对K3的影响不是很明显,但切口位置较低时,其根部裂纹的应力强度因子略大。

图7 切口位置高度对K3的影响

(4)G1/G2为1、10、50时,2种材料的材料特性对K3的影响。hc=0.2H时K3随G1/G2变化的结果如图8所示。

计算发现,当hc=0.5H和hc=0.3H时,K3随G1/G2变化的幅度非常小,因此没有在文中绘出。

从图8可以看出,K3随着G1/G2增加而略有增加。

图8 hc=0.2H时材料切变模量比对K3的影响

2.3 半圆形切口根部裂纹

半圆形切口根部裂纹模型如图2b所示,板的宽度w=40,长度H=120,2种材料的泊松比同取为ν=0.3。

(1) 分别取切口半径ρ为4、8,Δl从0.1逐渐递增至5.0。G1/G2=1时,半圆形切口K3的计算结果如图9所示。

从图9可以看出,随Δl增加,K3由急剧增大到缓慢增加,这表明半圆形切口对其根部短裂纹的影响较大,而对长裂纹的影响较弱。比较ρ=4和ρ=8这2条曲线,发现ρ越小,K3越大。

图9 半圆形切口半径对K3的影响

(2)G1/G2对K3的影响。通过计算发现,hc对K3的影响有限,因此,仅取hc=0.2H时考察G1/G2不同取值对K3的影响。

当ρ=8时切口端部K3的计算结果如图10所示。

从图10可以看出,G1/G2对K3的影响甚微,随着G1/G2增加,K3略有增加。

图10 ρ=8、hc=0.2H时半圆形切口切变模量比对K3的影响

3 结 论

本文首先运用奇性特征分析,获得反平面切口的应力奇性指数,然后基于有限元法应力场计算结果,插值外推计算得到切口根部裂纹的应力强度因子;选择锐形和半圆形2种切口模型,分析了切口几何特征以及材料特性对其根部裂纹应力强度因子的影响规律,具体结论如下:

(1) 反平面切口开角对其根部短裂纹的应力强度因子影响剧烈,随着裂纹长度增加,这种影响逐步减弱。

(2) 浅切口根部的短裂纹比深切口根部同样长度短裂纹的应力强度因子略高,但随着裂纹长度增加,深切口根部同样长度长裂纹的应力强度因子比浅切口根部的更高。

(3) 切口位置高度对反平面切口根部裂纹的应力强度因子影响不明显,随着切口位置降低,其根部裂纹的应力强度因子略有增加。

(4) 双材料的切变模量比值对反平面切口根部裂纹应力强度因子的影响甚小。随着切变模量比值增加,双材料切口根部裂纹的应力强度因子略有增加。