“全称量词与存在量词”大主题教学研究

【编者按】承接2020年第8期，我们继续刊登任念兵老师的“高中数学中观教学设计研究”系列文章。这又是一篇关于“整合型单元”教学的文章，继续凸显、落实《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调数学知识整体性、联系性的理念。

摘要：“全称量词与存在量词”直接影响着高中数学众多核心内容的表达和理解。从理解数学、理解学生、理解教学三个层面研究“全称量词与存在量词”的大主题教学。重点梳理函数知识与题目中的全称量词与存在量词。从命题的论域、命题的否定和二元命题中全称量词与存在量词出现的次序三个方面分析学生学习的具体困难。重点聚焦“用全称量词与存在量词表述的不等式或等式恒成立与能成立问题”这一常见题型，按照“一个一元函数—两个一元函数—一个多元函数”的脉络由易到难设计问题串，给出相应的教学建议。

关键词：大主题教学;全称量词;存在量词

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“2017年版课标”）在“课程内容”中指出：“常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。”

据此，各版本高中数学新教材（因为目前基于实验版课标和基于2017年版课标编写的教材都在相应年级使用，所以这里称基于2017年版课标编写的教材为新教材）都安排了有关常用逻辑用语的单元（比如，人教A版高中数学新教材必修第一册第一章是《集合与常用逻辑用语》，苏教版高中数学新教材必修第一册第二章是《常用逻辑用语》），引导学生集中学习有关常用逻辑用语的知识。

但是，作为数学语言的重要组成部分，常用逻辑用语几乎贯穿于高中数学的所有核心内容中。考虑到2017年版课标强调数学知识的整体性、联系性，倡导大主题（大单元）教学，即按照某种线索（可以是核心概念或结论、重要思想或方法、基本问题等）重构教学内容展开教学，我们可以常用逻辑用语为线索组织有关内容来展开大主题教学。

高中数学常用逻辑用语的内容，主要包括“充分条件与必要条件”和“全称量词与存在量词”两个部分。全称量词（常见的有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”等）和存在量词（常见的有“有些”“有一个”“有的”等）不仅更直接地影响着高中数学众多核心内容的表达和理解，而且对后续大学数学的学习也有着深远的影响（有大学教师撰文指出，大一新生在学习数学分析时，对“确界”“极限”等概念的理解水平往往是由对“任意”“存在”这两个关键词的理解程度决定的，逻辑词的重叠使用是导致这些数学概念成为学习难点的重要原因）。因此，本文主要从理解数学、理解学生、理解教学三个层面研究“全称量词与存在量词”的大主题教学。

一、理解数学：全称量词与存在量词的有关内容

在“曲线与方程”中刻画曲线上的点与方程的解的对应关系、在“直线与平面”中证明线面垂直的判定定理等，都需要借助包括全称量词与存在量词在内的数学语言系统。其中，“函数”是最能体现全称量词与存在量词理解难点所在的内容。下面，重点梳理函数内容中的全称量词与存在量词。

（一）知识中的全称量词与存在量词

函数内容中众多概念、性质、定理等的严格表述离不开全称量词与存在量词。

如函数概念（其中，加点词语为全称量词，画波浪线词语为存在量词，下同）：

设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

当然，全称量词与存在量词的理解不可能一步到位，除了专门设计相应的大主题教学之外，也应在日常教学中不断渗透和累积。

*本文系上海市第四期双名工程攻关课题“数字环境下数学教学变革与研究”（编号：SMGC201904B94）、上海市浦东新区2018年教育科学研究项目重点课题“基于高中数学核心素养的中观教学设计与实践研究”（编号：A201806）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 刘素红.如何让数学专业大一新生顺利进入《数学分析》的学习[J].大學数学，2016（3）.

[2] 胡国生，黄增勇.再谈“取值范围”“恒成立”及“最值”的认识误区[J].中学数学教学参考，2018（34）.

[3] 孙东亮.用好限定变量取值的逻辑术语——“全称量词”与“存在量词” [J].中学数学教学参考，2019（25）.

[4] 陈永明.一致性命题和赋值法[J].数学通报，1990（12）.