正常固结非饱和黏性土的三剪边界面模型研究

胡小荣，蔡晓锋，陈 昊,2

(1.南昌大学建筑工程学院，南昌 330031；2.江西中煤建设集团有限公司，南昌 330001)

基于传统弹塑性理论建立的非饱和黏性土本构模型[1]需要解决屈服函数、流动法则和硬化规律这三个关键问题[2]，对于像非饱和黏性土这样土性复杂的力学介质，难度在于后两个问题。而采用边界面模型方法则可解决这两个问题，其原理方法也较容易，且适用于土体受到单调、循环荷载作用，此外还可解决由于加载诱发导致土的各向异性问题，因此在各种饱和及非饱和土中得到了一定的应用[3−17]。其中在非饱和土方面，文献[13]在边界面模型理论的基础上引入含水率，提出了重塑非饱和黄土边界面动力本构模型；文献[14 − 15]利用改变屈服面大小来体现土的结构性，并基于非饱和结构性黏土提出循环荷载下的边界面模型；文献[16]把BBM模型和塑性硬化准则相结合并引入边界面理论，提出了适用黏性土特性的弹塑性双面模型。文献[17]在边界面模型框架下，结合结构损伤理论和非饱和土力学，并引入移动映射中心思想，建立了适用非饱和结构性土的本构模型；建立边界面模型的关键所在就是要确定边界面方程及其随荷载变化的演化规律。如今被普遍应用的边界面确定方法是：先根据土体在某一应力水平下的屈服面方程来确定初始边界面，初始边界面在随后的加、卸载过程中，将随荷载变化而不断演化得到当前边界面。越来越多的研究者把边界面理论与p′−q平面上的临界状态椭圆形屈服面方程相结合。破坏应力比M=q/p是椭圆形边界面在其演化过程中的关键参数，一般是通过土的强度准则来确定。目前，研究者们提出了多种针对土体的强度准则：Druker-Prager准则、Mohr-Coulomb准则、Lade准则、SMP准则、双剪统一屈服准则和临界状态椭圆屈服准则等。这些准则有的不能反映中间主应力效应，有些不能反映土体拉压差效应，还有些不能反映土体的多样性。而三剪统一强度准则可体现土体强度的区间效应、拉压差效应和中间主应力效应[18]，并且通过改变中主应力影响系数该准则可对其他任何准则作非线性逼近。三剪统一强度准则已被应用于分析单调加载作用下的超固结土[19− 20]和结构性土[21]的力学特性，还与边界面模型理论相结合应用于对饱和含泥砂土的单调、循环荷载力学特性分析[22 −23]。

本文主要内容是基于Bishop单应力变量[24]和Fredlund双应力变量[25]提出的非饱和黏性土三剪强度准则[26]，采用等量代换法和坐标平移法得到非饱和黏性土的三剪破坏应力比，并将其引入非饱和黏性土的修正剑桥模型以确定其为椭圆形屈服面方程，以椭圆形屈服面作为初始边界面，采用径向映射法则确定后续边界面，根据插值函数得到加载面上的塑性模量，再根据弹塑性理论建立单应力变量和双应力变量下等量代换法和坐标平移法的4个三剪弹塑性边界面本构模型。为验证模型的正确性，采用南昌地区非饱和红黏土对该模型进行单调压缩荷载下的三轴排水试验验证及真三轴数值模拟，采用非饱和黏质粉土进行循环动三轴试验验证及非饱和黄土进行循环真三轴数值模拟。

1 非饱和黏性土的三剪强度准则及三剪破坏应力比

非饱和黏性土的单应力变量和双应力变量三剪强度准则为[26]：

1)单应力变量

由式(1)和式(2)得等量代换法和坐标平移法的三剪破坏应力比为：

1)单应力变量下采用等量代换法时的三剪破坏应力比为：

2)单应力变量下采用坐标平移法时的三剪破坏应力比为：

3)双应力变量下采用等量代换法时的三剪破坏应力比为：

4)双应力变量下采用坐标平移法时的三剪破坏应力比为：

图1为非饱和黏性土三剪强度理论计算值和文献[27]对压实的黏土砂(SP-SC)的柔性真三轴试验结果比较图。

由图1可知，在双应力变量状态下，实验数据与理论计算值基本一致，从而验证了非饱和黏性土强度理论的正确性。尽管在单个应力变量状态下的理论计算值有所出入，但是总体趋势仍然相同。

图1 非饱和黏性土三剪强度准则理论值与柔性真三轴试验结果比较Fig.1 Result comparisonsof flexible truetriaxial triple-shear test for unsaturated clays

图2为非饱和黏性土三剪强度理论计算值和文献[28]对非饱和黄土的刚柔混合型真三轴试验结果对比图。

由图2可知，实验数据与理论计算值均吻合良好，验证了非饱和黏性土三剪强度准则的正确性。在相同条件下，单应力变量状态和双应力变量状态下的理论计算值基本一致。

图2 非饱和黏性土三剪强度准则理论值与刚柔混合型真三轴试验结果比较Fig.2 Comparisonsof theoretical valuesof thetriple-shear strength criterion and resultsof rigid-flexible truetriaxial test for unsaturated clays

2 非饱和黏性土的三剪弹塑性边界面模型

将第1节所得三剪破坏应力比与原有非饱和土屈服面方程相结合得到非饱和黏性土的三剪屈服面方程，再结合边界面理论建立非饱和黏性土三剪边界面弹塑性本构模型。最后，结合非饱和黏性土三剪强度准则与边界面弹塑性理论推导出刚度矩阵各元素的具体表达式。

2.1 非饱和黏性土的三剪屈服面方程式

根据文献[29]提出的LC屈服线，将曲线方程改写为：

故非饱和状态时土的修正剑桥模型屈服面方程可写为：

以及饱和状态时土的应变硬化规律为：

1)单应力变量下及双应力变量下采用等量代换法时

2.2 非饱和黏性土三剪边界面弹塑性本构模型

假定屈服面、边界面和塑性势面相似，则边界面方程为：

1)单应力变量及双应力变量下采用等量代换法

采用相关联流动法则，即塑性势面与屈服面重合，进而可知塑性流动方向Rij和加载方向Lij相一致，则有：

采用如下径向映射法则：

1)单应力变量下及双应力变量下采用等量代换法时

其中：

1)单应力变量下采用等量代换法时

2)双应力变量下采用等量代换法时

3)单应力变量下采用坐标平移法时

由边界面方程一致性相容条件可得：

其中：

1)单应力变量下采用等量代换法时

2)双应力变量下采用等量代换法时

3)单应力变量下及双应力变量下采用坐标平移法时

式中：单应力变量下时三剪破坏应力比M(θ,s)=M1(θ,s)、Λ=Λ1；双应力变量下时三剪破坏应力比M(θ,s)=M2(θ,s)、 Λ=Λ2。

将塑性体积应变增量公式和式(30)中损伤变量增量公式代入式(15)可得出：

将各偏导等式代入式(31)可得出边界面上像应力点对应的塑性模量如下：

1)单应力变量下采用等量代换法时

2)双应力变量下采用等量代换法时

3)单应力及双应力变量下均采用坐标平移法时

式中：单应力变量下时三剪破坏应力比M(θ,s)=M1(θ,s)、Λ=Λ1；双应力变量下时三剪破坏应力比M(θ,s)=M2(θ,s)、 Λ=Λ2。

已知像应力点的塑性模量求法，对应实际应力点的塑性模量则由塑性模量插值函数[30]确定：

式中：Kp为当前应力点的塑性模量；Kp为像应力点塑性模量；H0为模型参数，通常采用模拟试算方法取值。

式(41)中各分量具体表达式见附录。

3 非饱和黏性土的三剪弹塑性边界面模型验证

3.1 非饱和三轴试验验证

为验证单调荷载下该模型的合理性，用文献[31− 32]中的南昌非饱和重塑红土三轴压缩排水试验与本文所提本构模型计算结果做了对比。在排水条件下将净围压分别为100 kPa、200 kPa和300 kPa和基质吸力分别为0 kPa、20 kPa、50 kPa和80 kPa的模拟结果与试验结果均进行对比，限于篇幅且对比结果类似，只列出净围压为100 kPa及基质吸力为50 kPa的对比结果，如图3所示。

图3 净围压为100 kPa及基质吸力为50 kPa的对比曲线图Fig.3 Curve comparisons of the net confining pressure of 100 kPa and the matric suction of 50 kPa

由图3(a)可知，在单应力变量下，等量代换法和与实验数据差值最大不超过12%，而坐标平移法与实验数据差值最大不超过14%。在双应力变量下，等量代换法和与实验数据差值最大不超过2%，而坐标平移法与实验数据差值最大不超过5%。由图3(b)可知，在单应力变量下，等量代换法和与实验数据差值最大不超过19%，而坐标平移法与实验数据差值最大不超过24%。在双应力变量下，等量代换法和与实验数据差值最大不超过10%，而坐标平移法与实验数据差值最大不超过18%。实验数据与四种模拟数据均符合较好，在轴向应变超过5%左右时，单应力变量下的模拟效果相对较差。与采用单应力变量的模拟数据相比，双应力变量的模拟数据更符合实验结果，这是因为单应力变量法只考虑单一的有效应力变量使得无法全面表征非饱和土的力学特性，而双应力变量法考虑把吸力和净应力作为应力状态量能较全面地表征非饱和土的力学特性；与采用坐标平移法得到的模拟数据相比，采用等量代换法得到的模拟数据更符合实验结果。验证了所提本构模型在单调荷载作用下的适用性。

3.2 非饱和循环动三轴试验验证

为验证循环荷载下该模型的合理性，用文献[16]中非饱和黏质粉土在基质吸力分别为50 kPa和100 kPa下的循环动三轴试验与本文所提本构模型计算结果做了对比。限于篇幅且对比结果类似，图4为排水条件下基质吸力为50 kPa时的对比结果图。

由图4(a)可知，在加载初期，单应力变量法下等量代换法和实验数据差值最大不超过10%，坐标平移法和实验数据差值最大不超过16%。在循环荷载过程中，单应力变量法下等量代换法和实验数据差值最大不超过6%，坐标平移法和实验数据差值最大不超过9%。由图4(b)可知，在加载初期，双应力变量法下等量代换法和实验数据差值最大不超过20%，坐标平移法和实验数据差值最大不超过21%。在循环荷载过程中，双应力变量法下等量代换法和实验数据差值最大不超过3%，坐标平移法和实验数据差值最大不超过5%。所建本构模型均能够较好地描述非饱和黏质粉土在循环动荷载下的应力-应变变化规律。双应力变量下建立的模型模拟结果相对更接近实验结果，采用等量代换法建立的模型模拟结果相对更接近实验结果；循环荷载加载初期时，土体的塑性变形发展相对较快，但随着加载时间的增加，土体产生的塑性变形逐渐变小。

图4 净围压为100 kPa及基质吸力为50 kPa时偏应力与轴向应变关系试验与计算结果对比图Fig.4 Comparisons between experimental and calculated resultsof the deviatoric stressvs. the axial strain at the net confining pressureof 100 kPa and the matric suction of 50 kPa

4 本构模型的真三轴模拟

4.1 单调压缩荷载下的真三轴模拟

模拟施加的应力路径：1)首先对六面体单元的三个方向同时施加最小主应力σ3，固结排水；2)固结完成后，一个方向应力σ3保持不变，其余两个方向应力增至中间主应力σ2，固结排水；3)一个方向应力σ2继续保持不变，另一个方向应力由σ2逐渐增加，即为最大主应力σ1，在σ1增大过程中，对土样进行排水数值模拟。限于篇幅且结果类似，只列出了双应力变量下等量代换法本构模型对南昌非饱和红黏土在不同中间主应力影响系数下的模拟结果，如图5所示，其中净围压和基质吸力分别为100 kPa和50 kPa。

由图5(a)可知，中间主应力影响系数b=0时与b=0.25时模拟结果差值最大为2%，b=0时与b=0.5时模拟结果差值最大为5%，b=0时与b=0.75时模拟结果差值最大为10%，b=0时与b=1时模拟结果差值最大为12%；由图5(b)可知，中间主应力影响系数b=0时与b=0.25时模拟结果差值最大为2.5%，b=0时与b=0.5时模拟结果差值最大为5%，b=0时与b=0.75时模拟结果差值最大为7.5%，b=0时与b=1时模拟结果差值最大为10%。在真三轴单调加载初期，剪应力与体应变增长较快，并最终趋于稳定状态；同等条件下，随着中主应力影响系数b值增大，剪应力与体应变也随之增大，表明中主应力影响系数与土体抗剪强度为正相关关系。

图5 净围压为100 kPa及基质吸力为50 kPa时中间主应力影响曲线图Fig.5 Influence curves of the intermediate principal stress when the net confining pressure is100 kPa and thematric suction is50 kPa

图6为基质吸力50 kPa、中主应力影响系数b=0.5和净围压100 kPa时四种本构模型的真三轴模拟结果。

由图6(a)可知，单应力变量坐标平移法与单应力变量等量代换法模拟数据差值最大不超过5%，单应力变量坐标平移法与双应力变量等量代换法模拟数据差值最大不超过17%，单应力变量坐标平移法与双应力变量坐标平移法模拟数据差值最大不超过21%；由图6(b)可知，单应力变量坐标平移法与单应力变量等量代换法模拟数据差值最大不超过6%，单应力变量坐标平移法与双应力变量等量代换法模拟数据差值最大不超过21%，单应力变量坐标平移法与双应力变量坐标平移法模拟数据差值最大不超过27%。相同应力变量下，采用等量代换法和坐标平移法的模拟差异很小；土体在双应力变量下的模拟抗剪强度相对单应力变量下较大。

图6 四种本构模型的真三轴模拟对比结果图Fig.6 Comparisons of the truetriaxial simulated resultsof thefour constitutivemodels

4.2 循环压缩荷载下的真三轴模拟

模拟施加的应力路径：1)首先对六面体单元的2个侧向和1个竖向同时施加主应力σ3，固结排水；2)固结完成后一个水平侧向应力σ3保持不变，其余两个方向应力增至σ2，固结排水；3)另一个侧向应力σ2继续保持不变，竖向施加以σ2为初始值的循环荷载σ1，固结排水。限于篇幅且双应力变量等量代换法建立的模型模拟结果相对更接近实验结果，故本文图7～图9主要列出双应力变量下采用等量代换法的模型模拟结果来分析最小主应力、中间主应力以及应力幅值变化时对土体产生的影响，其余模型规律与之相似。图7～图10的计算参数引自文献[33− 34]中的非饱和黄土动三轴试验。图7是幅值为75 kPa、σ3=25 kPa、σ2分别为40 kPa和50 kPa的模拟结果；图8是幅值为75 kPa、σ2=50 kPa、σ3分别为15 kPa和25 kPa的模拟结果；图9是σ2=50 kPa、σ3=25 kPa、幅值分别为75 kPa和100 kPa的模拟结果。

图8 幅值为75 kPa、σ2=50 kPa、σ3分别为15 kPa和25 kPa的模拟结果Fig.8 Simulated results with amplitude of 75 kPa,σ2=50 kPa and σ3 of 15 kPa and 25 kPa,respectively

由图7～图9可知，非饱和黄土的塑性变形先期发展较快，后逐渐减小；若仅分别增加最小主应力或中间主应力，均会使土体的抗剪强度增大；应力大小不变，最小和中间主应力不变，荷载振幅增大，非饱和黄土的应变随之增大。

图7 幅值为75 kPa、σ3=25 kPa、σ2分别为40 kPa和50 kPa的模拟结果Fig.7 Simulated results with amplitude of 75 kPa,σ3=25 kPa and σ2 of 40 kPa and 50 kPa,respectively

图9 σ2=50 kPa、σ3=25 kPa、幅值分别为75 kPa和100 kPa的模拟结果Fig.9 Simulated results with σ2 =50 kPa,σ3= 25 kPa and amplitudesof 75 kPa and 100 kPa, respectively

图10为荷载幅值、σ3和σ2分别为75 kPa、25 kPa和50 kPa时4种弹塑性本构模型的真三轴循环荷载模拟结果。

由图10(a)可知，双应力变量等量代换法与双应力变量坐标平移法滞回圈模拟数据差值最大不超过5%，双应力变量等量代换法与单应力变量坐标平移法滞回圈模拟数据差值最大不超过7%，双应力变量等量代换法与单应力变量等量代换法滞回圈模拟数据差值最大不超过12%；由图10(b)可知，双应力变量等量代换法与双应力变量坐标平移法模拟数据差值最大不超过3%，双应力变量等量代换法与单应力变量坐标平移法模拟数据差值最大不超过7%，双应力变量等量代换法与单应力变量等量代换法模拟数据差值最大不超过12%。相同应力变量下，采用等量代换法和坐标平移法的模拟差别并不大；在单应力变量下模拟非饱和黄土的塑性变形大于双应力变量下非饱和黄土的塑性变形。

图10 四种模型在真三轴条件下的模拟对比结果图Fig.10 Simulated comparisons of the four models under the true triaxial conditions

5 结论

提出了非饱和黏性土的三剪强度准则，并采用等量代换法与坐标平移法推导了三剪破坏应力比。结合边界面理论建立了非饱和黏性土的三剪弹塑性边界面本构模型并对其做了单调和循环压缩荷载试验验证。结论如下：

(1)所提出的三剪破坏应力比有效克服了原修正剑桥模型中破坏应力比为定值的不足，另外还能反映非饱和黏性土黏聚力与全应力状态下土体的应力-应变特性的影响。

(2)所建立的三剪边界面模型均能较好反映非饱和黏性土中间主应力效应、拉压差效应和区间效应，可用于非饱和黏性土在单调和循环荷载作用下的弹塑性分析。

(3)以南昌地区非饱和重塑红黏土为试验研究对象进行非饱和三轴试验验证，并采用文献中的非饱和黏质粉土进行非饱和循环三轴试验，结果表明本文所提模型在单调、循环荷载下均有较好的预测能力。其中双应力变量等量代换法与实验结果较为接近，在单调荷载下与实验结果差值最大不超过10%，在循环荷载下与实验结果差值最大不超过3%。

(4)对南昌地区非饱和重塑红黏土和文献中非饱和黄土分别进行单调、循环荷载下真三轴模拟试验验证，结果也表明在真三轴条件下本文所提模型均能较好地模拟单调、循环荷载下的力学特性。其中在单调加载模拟试验中，中主应力影响系数或基质吸力均与非饱和土体抗剪强度呈正相关关系；且双应力变量下的模拟抗剪强度相对较大；在循环加载模拟实验中，最小主应力或中间主应力均与土体的抗剪强度呈正相关关系；荷载振幅与非饱和土体的应变成正比；土体在单应力变量下模拟产生的塑性变形相对较大。

1)单应力变量下采用等量代换法

2)双应力变量下采用等量代换法

3)单应力变量下及双应力变量下采用坐标平移法

G、L具体表达式如下：

1)单应力变量下及双应力变量下采用等量代换法

2)单应力变量下采用坐标平移法

3)双应力变量下采用坐标平移法

其中：