巧用正弦定理解决动态平衡问题

蒋国俊

(惠州市仲恺中学，广东 惠州 516029)

1 问题及经典解法

(1) 问题提出.

图1

如图1,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N,初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>90°)．现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中[1]

(A)MN上的张力逐渐增大.

(B)MN上的张力先增大后减小.

(C)OM上的张力逐渐增大.

(D)OM上的张力先增大后减小.

(2) 两种经典解法.

图2

解法1(正交分解).受力分析如图2所示．设OM与竖直方向夹角为θ,M点绕O点做圆周运动,沿切线方向:[1]FMNcos(α-90°)=mgsinθ.

沿半径方向:FOM=FMNsin(α-90°)+mgcosθ.

当θ=α-90°时存在极大值,故FOM先增大再减小,(D)项正确．

图3

解法2.利用矢量圆,如图3所示.[1]重力保持不变,是矢量圆的一条弦,FOM与FMN夹角即圆心角保持不变,由图知FMN一直增大到最大,FOM先增大再减小,当OM与竖直夹角为α-90°时FOM最大．[1]

2 用正弦定理巧解

(1) 正弦定理内容: 在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R,直径为D．则有[2]

图4

解法3.迁移知识,解决问题.设将OM拉到与竖直方向的夹角为θ,M点受力如图4所示,则有

β=π-θ-(π-α)=α-θ.

FOM=F合1.

图5

因此,我们可以得到一个力的三角形如图5所示.由正弦定理我们可以得

利用数学的三角函数规律可知

sin(π-α)=sinα.

将变量FMN和FOM都表达为不变量mg解析式,可得

因为α不变,所以sinα保持不变．θ从0°增大到90°过程中,sinθ一直在增大,故FMN增大,所以选项(A)正确.

因为α>90°,在θ从0°增大到90°过程中,(α-θ)先从一个钝角减小到90°,再从90°减小为锐角,而sin90°=1,是最大的,所以sin(α-θ)先增大后减小,故FMN先增大后减小,选项(D)正确.

3 3种解法的比较

第1种解法(正交分解法)是学生平时常用的方法,但在本题中使用此法有两个关键点: ① 巧选沿切线方向为x轴,沿半径方向为y轴; ② 熟练运用数学三角函数模块的积化和差公式．这两个

关键点也是两个难点,两个难点叠加在一起,学生要顺利的得出结果就比较困难

第2种解法是将mg对应的有向线段放在一个圆中,从而确保变化过程中α不变．这个方法通过M点在圆中的动态变化很容易就得出两个力的变化情况．然而,将有向线段放在一个圆中这个关键点学生很难想到．

第3种解法利用学生熟悉的平行四边形法则构建一个力的三角形,运用正弦定理建立方程,进而得出两个待求力的解析式,最终得出两个力的变化规律．平行四边形法则是学生很熟悉的,三角形中的正弦定理也是高中数学重点学习的内容,因此学生很容易将正弦定理迁移到力的三角形中解决物理问题．