HPM视角下的双曲线高三复习课教学研究

张佳淳 舒适 秦语真

【摘 要】研究者利用双曲线的四种定义、旦德林双球模型、标准方程推导方法、双曲线的现实应用等史料，设计有内在逻辑关联的数学问题串，复习了双曲线定义、方程推导及性质应用等内容，实现了数学史的多元教育价值。

【关键词】数学史;双曲线;高三复习课

高三双曲线复习课第一课时主要围绕“双曲线及其标准方程”“双曲线的性质”等知识点进行系统梳理与知识巩固。其中，“双曲线的标准方程”与“双曲线的性质”分别是沪教版高二数学下册第12章第5节和第6节的内容。纵观上海数学教科书的内容编排，双曲线是继椭圆之后的又一类圆锥曲线，是从曲线方程视角研究的重要二次曲线之一。

有鉴于此，笔者尝试从HPM视角来设计双曲线高三复习课的教学，旨在通过数学史问题的解决，复习双曲线定义、方程推导及性质应用等内容，构建知识之谐，彰显方法之美，实现能力之助，展示文化之魅。

一、历史材料及其运用

（一）双曲线的定义

（二）双曲线第一定义的诞生

法国数学家拉希尔（P.de Lahire）在《圆锥曲线新基础》一书中给出了双曲线的第一定义，这是在有关文献记载中首次出现第一定义。

1822年，比利时数学家旦德林（G.P.Dandelin）在一篇文章中利用圆锥的两个内切球，在圆锥上推导出双曲线的第一定义[6]，从而在古希腊阿波罗尼奥斯的截面定义和17世纪拉希尔的第一定义之间架起了一座桥梁。

（三）双曲线标准方程的推导

历史上，除了用今天人们耳熟能详的两次平方法推导双曲线标准方程，数学家还采用了其他方法進行推导。

将（3）式代入（1）式或（2）式，即得双曲线标准方程。

除了两次平方法作为教科书中的方法需要复习巩固，平方差法与第一定义联系紧密，也可以通过设计问题加以落实。此外，和差术、余弦定理法也可以让学生了解推导双曲线标准方程的不同思路，从而拓宽学生思维，建立不同知识之间的联系。

（四）双曲线作图法的出现

17世纪荷兰数学家舒腾（F.van Schooten）在《几何练习题》中设计了双曲线的两种作图工具[10]，如图2和图3，这两种工具均利用了双曲线的第一定义。

教师让学生思考舒腾的第一种双曲线规为什么能画出双曲线的一支，既回顾了双曲线的第一定义，又提高了学生的逻辑推理和直观想象素养。

（五）双曲线的现实应用

双曲线的现实应用比较广泛，主要有以下几个方面。

（1）光学应用。从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上[11]。因此，可以利用双曲线的光学性质来制作望远镜。

（2）建筑学应用。双曲线在图形学上叫作贝塞尔曲线（Bezier curve），它是最有利于流体流动的一种曲线。热电站、核电站的冷却塔都采用双曲线的结构，利用循环水自然通风冷却，使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用[12]。

（3）军事应用。双曲线在通信定位上也有广泛的应用，因为双曲线上的点到两个点的距离之差是定值，所以根据两条双曲线的交点可以确定位置。同时，双曲线也被应用于雷达[13]和导航[14]中，如Loran（Long Range Navigation）系统。

二、教学设计与实施

（一）引入：双曲线规与第一定义

上课伊始，教师介绍荷兰数学家舒腾的生平及其在传播笛卡儿解析几何思想方面的贡献，并通过改编舒腾双曲线规的问题引入课题。

师：那PF-PC实际上就是什么？

生：就是GF或DC。

师：所以点P满足双曲线的第一定义，其轨迹为双曲线的一支。下面我们一起来回顾双曲线的第一定义。

在学生叙述双曲线第一定义之后，教师让学生辨析常数2a不小于F1F2，以及a=0时的动点轨迹，并通过以下练习题帮助学生巩固第一定义。

（二）回望：历史上的双曲线定义

师：第一定义只是双曲线概念发展过程中的一个片段。公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯用一个平面去截一个圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，也不通过圆锥顶点，且与对顶圆锥都相交时，截面与圆锥面的交线就是双曲线，所以双曲线也被称为“来自立体的轨迹”。阿波罗尼奥斯的截线定义与我们教科书所采用的第一定义是否等价呢？请大家思考一下。

师：1679年法国数学家拉希尔首次明确提出双曲线的第一定义，还有一种定义就是第二定义，请大家思考例2的问题。

生：抛物线。

生：用矩阵。

教师引导学生用两次平方法推导焦点在x轴上的双曲线的标准方程，并类比得到焦点在y轴上的标准方程。

（三）应用：双曲线的价值

生：实轴长2a。

师：如果知道实轴长2a，两个发射塔的距离2c，那么就可以确定双曲线。然后再设一个副发射塔（教师标出图4中点C），从副发射塔B与副发射塔C同时发射信号，根据点P处接收信号的时间差，再确定另一条双曲线。最后通过两条双曲线的交点就可以把轮船的位置算出来。

接着教师讲解冷却塔与双曲线的声学和光学性质。

师：双曲线有如此广泛的应用，接下来我们要像费马一样更深入地研究双曲线的性质。

（四）研究：旦德林双球模型

教师引导学生通过代数方法，从双曲线方程入手研究双曲线的几何性质，即对称性、顶点、范围、渐近线等性质。

生：这是偶函数。

师：是函数吗？

生：不是，它关于y轴对称。

师：如果关于y轴对称，这需要用代数进行证明。

生：把（-x，y）代进方程。

师：如果它也关于x轴对称，把什么代进去？

生：把（x，-y）代进方程。

师：如果它还关于原点对称，把什么代进去？

生：把（-x，-y）代进方程。

师：所以双曲线的性质不是从图上看出来的，而是要用代数方法进行研究。因为当你研究一个陌生的方程时，你可能不知道它的图形是什么样的，所以要依靠方程去研究它的性质。

至此，学生已完成双曲线基础知识的复习，对第一定义也有了更扎实的理解。接着，教师出示例4，通过由旦德林双球模型改编的问题揭示原始定义与第一定义的联系。

师：你们觉得哪两个点是焦点？

生：我感觉是點F1和F2。

师：那么我们就要证明点P到两个点F1和F2的距离之差，即证明PF2-PF1是定值。那怎么证明？

学生陷入思考之中。

师：我们再来看看已有条件。两个球与平面β相切，两个切点是焦点，同时球又和圆锥内表面相切，怎么理解“球与圆锥相切”？

师：（教师用手比画模型中位于下方的球）这个球和这个圆锥的什么线相切？

生：与母线相切。

师：与母线相切，这是非常关键的一点。因为点P在圆锥面上，所以这个点P肯定在某条母线上，母线一定穿过圆锥的顶点，因此点P和圆锥顶点确定一条直线，这条直线与下方的球切于点A，与上方的球切于点B。那PB就是上方这个球的切线，PF2也是球的切线，这两条线段有什么关系呢？（教师画草图辅助演示）圆外一点如果引两条切线，切线长相等，那么球外一点引同一个球的两条切线呢？

生：也相等。

师：那么PF2等于什么？

生：PF2=PB。

师：同理，PF1是切线，PA也是球的切线，那么能得出什么结论？

生：PF1=PA。

师：所以PF2-PF1等于什么？

生：PB-PA。

师：PB-PA也等于什么？

生：AB。

师：AB是什么？

生：AB是上面的小圆锥母线长加下面的小圆锥的母线长，长度是定值。

师：这就是旦德林双球模型，其实两个球的半径不一样也是可以的。距今2300年前，古希腊数学家们用平面去切圆锥，得到了圆锥曲线。当我们理解了证明过程，就理解了旦德林双球模型，从模型中导出了第一定义，在原始定义和第一定义之间架起了一座桥梁，也就知道了双曲线的焦点是怎么来的。

接着，教师展示例5，旨在通过例5引出焦半径公式与双曲线标准方程的多种推导方法。

生：答案是15或3。

师：为什么？

生：由定义可以得出，一个答案是15，另一个答案是3。

师：这位同学考虑到定义中的绝对值，非常严谨。如果把题目中点P到焦点的距离改成2，答案又是多少？这时我们要审视一下双曲线上的点到焦点的距离。双曲线上的点到焦点的距离用什么公式呢？

学生陷入思考之中。

师：椭圆上的点到焦点的距离用什么公式？

生：焦半径公式。

师：那么焦半径公式又是如何得到的呢？

（教师通过板书，利用赖特的平方差法推导双曲线焦半径公式）

生：是8。

师：除了平方差法，还有洛必达法，但是后者技巧性非常强。

（五）小结：主题的升华

教师结合双曲线的历史和应用，出示以下文字作为课堂小结。

在漫长的一千多年时间里，古代数学家致力于用纯几何的方法研究圆锥曲线的性质。之后因为几何问题不断推广，出现越来越多无法解决的复杂情况。直到笛卡儿发明平面直角坐标系，圆锥曲线的研究才步入一个新时代——从代数视角、解析方法研究几何性质。希望同学们善于运用数学史中的方法解决问题，甚至提出问题，并不断完善和创新。

三、结语

数学史融入高三课堂的落脚点是问题解决，因此教师可以从HPM视角设计有内在逻辑关联的数学问题串。图6呈现了双曲线史料与本节课所用问题串之间的关系。

为了设计基于数学史的问题串，本节课采用了自由式、条件式、复制式、对称式[15]等问题编制策略。首先，教师希望解决原始定义与第一定义之间的差距，但从学生心理序而言，并不适合在课堂伊始就展示旦德林球，因为学生不清楚为什么会出现旦德林球，所以教师先采用自由式策略，根据第一种双曲线规的使用方法，自行设定条件和目标提出例题1，旨在复习巩固第一定义。其次，教师认为在通过问题解决剖析四种定义后，再呈现旦德林双球模型，才能使学生的学习水到渠成。所以教师采用条件式策略，改变双曲线第二定义中离心率e的取值范围，并且将方程定义中曲线方程的一般形式特殊化，从而改编得到例题2和例题3。接着，教师采用复制式策略，让学生通过例题4经历旦德林当年攻克原始定义与第一定义关联的过程，让学生看到数学家勤奋、刻苦的品质和数学演进发展的过程，传递数学人文性的一面。最后，为了说明焦半径公式的应用，教师将推导双曲线方程的条件与结论互换，利用对称式策略提出已知方程求焦半径的例题5，从而揭示焦半径公式这一知识之源。另外，为了充分运用史料，教师还将第二种双曲线规作为课后阅读材料，要求学生根据史料提出数学问题，帮助学生在问题提出的过程中检视自己的学习情况。

总而言之，本节双曲线高三复习课从数学史出发设计一系列问题，同时按照教科书从定义到代数方程，再到利用解析几何思想研究双曲线性质及其应用的逻辑顺序，将问题串联成线，以温故知新为目标，加深学生对双曲线概念的理解;以问题解决为途径，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养;以数学文化为抓手，鼓励学生像舒腾、旦德林等数学家一样善于思考、严谨求实，增强高三学生的自信心，渗透数学的科学价值、应用价值与文化价值，落实立德树人根本任务。不过，本节课中，若执教者将军事应用中的两条双曲线特殊化，使其焦点分别位于x轴和y轴上，再设计相关问题，则可实现数学史更丰富的教育价值。

参考文献：

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[6]SMITH E S.Analytic geometry[M].New York：John Wiley & Sons，1954.

[7]DE LHOSPITAL M.Traité Analytique des Sections Coniques[M].Paris：Montalant，1720.

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[10]VAN SCHOOTEN F.Exercitationum mathematicarum[M].Lvgd Batav：Johannis Elsevirii，1657.

[11]CLAUDEL J.Handbook of mathematics for engineers and engineering students[M].New York：McGraw Publishing Company，1906.

[12]KALTENBORN H S.Meaningful Mathematics[M].New York：Prentice-Hall，1951.

[13]TAYLOR A E.Calculus，with Analytic Geometry[M].New Jersey：Prentice- Hall，1959.

[14]NATHAN D S.Analytic Geometry[M].New York：Prentice-Hall，1947.

[15]汪曉勤.基于数学史料的高中数学问题编制策略[J].数学通报，2020（5）：9-15.

（责任编辑：陆顺演）