APOS理论视域下圆的标准方程的教学设计

罗震

【摘要】掌握数学概念是学习数学的基础.概念教学是培养学生数学抽象等学科核心素养的重要方式.APOS理论能有效指导数学概念的教学.本文基于APOS理论进行的教学设计，较好地促进了学生数学学科核心素养的达成.

【关键词】APOS理论;圆的标准方程;教学设计

2017年版的普通高中数学课程标准强调课堂教学应以人为本，教师要转变角色和教学行为，培养学生的创新思维，引导学生用数学的视角深度思考、厘清数学概念的来龙去脉，凸显教学的生成性.美国数学家Dubinsky等人提出的APOS理论的四个发展阶段（操作Action、过程Process、对象Object、图示Schema）从认知心理学视角上揭示了学生进行数学概念学习的心理全过程.运用APOS理论进行数学概念教学有助于学生在教学情境中加深对数学概念的理解、自主建构知识体系，有利于学生掌握概念的本质内涵.本文基于此理论进行了“圆的标准方程”的教学设计.

1 教学设计分析

1.1 教材分析

1.1.1 教學内容

本节的教学内容是人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第一册第二章2.4.1圆的标准方程，探讨在平面直角坐标系中确定圆的基本几何要素，并使用坐标表示这些几何要素，进而得到圆上动点的坐标所满足的关系式，建立圆的标准方程.

1.1.2 在教材中的地位与作用

教材安排在直线和圆锥曲线之间学习圆的有关知识，意在让学生进一步熟悉坐标法，为学生以后学习三大圆锥曲线做准备.

1.2 学情分析

本节内容对高中的学生来说，入门不难，但这节课需要学生构建几何、代数之间的桥梁，运用代数方法研究圆的性质.

1.3 教学目标

知识与技能目标：会用定义推导圆的标准方程;熟悉圆的标准方程的特点和求法;准确地确定点和圆的位置关系.

过程与方法目标：创设问题情境，重点讲解、变式辨析、归纳小结，激发学生思维，使学生能用坐标法、待定系数法和数形结合思想去解决圆的有关问题.

情感态度与价值观目标：通过学习本节知识，引导学生进行有深度的思考和交流讨论，用代数方法解决一些有关圆的简单的实际问题，促成学生数学抽象、数学运算等数学学科核心素养的实现.

1.4 学习重点、难点

重点：圆的标准方程的求法;

难点：圆的标准方程的应用.

2 教学设计

2.1 操作（Action）阶段：创设情境，感知圆

情境1：教师让学生看几张生活中的圆图案：摩天轮、奥运五环等，问学生在初中，圆的定义是怎样的.

情境2：教师让学生自己动手画圆.

师引入数学文化“墨子、古希腊欧几里得关于圆的定义”，让学生了解人们对圆的认识过程，感悟数学的文化价值.

2.2 过程（Process）阶段：探究新知，建构圆的定义

问题：类比在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素，你们知道确定圆需要几个要素吗？这些要素能否推导出圆的方程？

2.3 对象（Object）阶段：建构对象，通过圆的定义推导出圆的标准方程

2.3.1 探究圆的标准方程

问题1：在平面直角坐标系中，已知圆心A的坐标为（a，b），则半径为r的圆的方程是什么？如何推导？

（1）建系设点.

教师请学生在黑板上画出直角坐标系（强调仅就一般情况推导）.设圆上任一点M坐标为（x，y）.

（2）写点集.

根据定义，圆就是集合P={M||MA|=r}.

（3）列方程.

由两点间的距离公式得：（x-a）2+（y-b）2=r.

（4）化简方程.

将上式两边平方得： （x-a）2+（y-b）2=r2. （1）

教师让学生从正反两方面来解释点坐标与方程（1）的关系，继而给出圆的标准方程的定义.

问题2：此方程展开后有什么特点？当原点为圆心时，此方程变为什么？

师小结：圆的位置和大小需要圆心和半径分别确定，所以确定了a，b，r三个量且r>0，圆的方程就确定了.即确定圆的方程必须具备三个独立的条件，利用待定系数法即可确定a，b，r.

2.3.2 巩固练习

（1）说出下列圆的圆心坐标和半径.

①（x-3）2+（y+2）2=4;

②（x+4）2+（y-2）2=7;

③x2+（y+1）2=16;

④2x2+2y2=8.

（2）写出下列各圆的标准方程.

①圆心在原点，半径是4;

②圆心为C（-3，4），半径是5;

③圆心为C（-8，3），且经过点M（-5，-1）.

2.3.3 探究点与圆的位置关系

例1 已知P 1（4，9），P 2（6，3）两点，求以线段P 1P 2为直径的圆的标准方程，并判断点M 1（6，9），M 2（3，3），M 3（5，3）与圆的位置关系.

思考 怎样判断点M 0（x 0，y 0）在圆内，圆上，还是圆外呢？（学生小结）

变式1 已知M（5，7）和圆 （x-2）2+（y+3）2=25，则点M在（  ）.

A.圆内B.圆上

C.圆外D.无法确定

变式2 点P（m，5）与圆x2+y2=25的位置关系为（  ）.

A.在圆外B.在圆上

C.在圆内D.在圆上或圆外

变式3 以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（  ）.

A.（x-2）2+（y+1）2=3

B.（x+2）2+（y-1）2=3

C.（x-2）2+（y+1）2=9

D.（x+2）2+（y-1）2=9

2.4 图示（Schema）阶段：巩固提高

例2 一圆过三点A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），求它的标准方程.

学生小组合作交流并小结及思考是否还有其他方法.

例3 已知圆C经过原点和点A（2，1），且圆心在直线l：x-2y-1=0上，求此圆的标准方程.

教师通过例题示范和变式使学生加深对概念的理解，学生通过巩固提高练习衔接了概念所蕴含的内在知识点之间的联系，也即通过多次的APOS循环过程螺旋上升建构出圆的标准方程的心理图示.

本课小结及作业略.

3 教学设计反思

教学中，教师要引导，学生要自主建构.

APOS理论阐述了教师引导学生经过操作（Action）阶段内化到过程（Process）阶段，然后压缩到对象（Object）阶段，最后顺应到图示（Schema）阶段.学生通过对新知识的探索、发现，达到对所学新知识本质的自主建构、反思和迁移，厘清问题本质，掌握概念内涵，最终顺利解决问题.

在Action阶段，教师联系实际生活创设适当的问题情境，让学生感知圆的美和认识圆的历史.

在Process阶段，教师类比直线，挖掘和利用学生已有的经验，引导学生从数学的角度去发现问题，用数学的语言和方法思考如何解决问题，使学生思维水平提高.

在Object阶段，教师采用小组讨论、合作交流、學生展示等形式，以问题为引，引导学生运用坐标法探究圆的方程，发挥学生的主体性、主动性.

在Schema阶段，教师通过例题示范、变式练习，从代数和几何角度探索一题多解，数形结合，引导学生总结出新知识的有关规律，在脑海中构成新的认知图示.这个阶段不是一蹴而就的，不是线性的，是需要反复调整、反思、对比、检验的，是不间断地把单个认知浅表图示依照逻辑和概念间的内在联系，通过知识线串联而构成知识面，螺旋上升到更高的层次，最终把知识面依照其逻辑因果等关系组成有深度的多个图示.

4 结论

综上所述，基于APOS理论指导的教学设计，遵循了学生的认知规律，强调了学生的主动参与，凸显了学生的主体性.它一方面使教师能够预设有效的教学途径启发学生思考，关注学生生成性的发展;另一方面实施基于生活、内含问题的教学情境的互动式、探究式的数学概念教学，赋予知识以鲜活的背景，通过教师价值引领、鼓励和倡导合作交流，帮助学生自主建构新知识，在把握知识来龙去脉的过程中获得情感的体验，促进了学生数学学科核心素养的有效生成.

【参考文献】

[1]吴统胜.基于APOS理论的概念教学设计研究与实践：以“分层抽样”教学设计为例[J].中学数学研究（华南师范大学），2020（08）：6-10.

[2]戚艳兴.基于核心素养与APOS理论的高中生函数的概念学习进阶研究[D].上海：华东师范大学，2020.