基于SFS对雕刻模型高度的优化研究

王嘉琦，刘洋，赵庆志

（山东理工大学机械工程学院，山东淄博 255012）

0 引言

Shape from shading（简称SFS）算法是由美国麻省理工学院Horn教授[1]提出的一种单目测距算法。目前SFS算法在恢复单个物体外表面上有着重要应用，我们在计算机等媒体上所见到的图像实际上是由摄像机捕捉到的通过某一光源对物体的照射所反射出的能量[2-4]。SFS算法研究的正是辐射度与物体所反射出的能量之间的关系。

Ikuechi和Horn首先提出了SFS的变分求解方法[5]。通过将辐射度方程的灰度误差表达为一个泛函，把SFS问题转化为一个泛函的极小化问题，然后通过求解这个泛函极小化问题从而得到SFS问题的解[6-7]。Horn引入了光滑约束保证得到唯一的解使得恢复表面更加光滑的同时却也变得更加扁平[8]。所以本文引入了综合约束模型：在光滑约束的基础上，增加了表面梯度约束和灰度梯度约束，改善了传统变分法实验结果过于光滑和扁平的问题。

1 模型高度获取

SFS技术是通过图像的灰度值来计算物体实际高度的，所以物体颜色的不同会对高度获取造成相当大的影响，因此我们首先需要通过PhotoShop、Illustrator等专业图像处理软件对物体原图进行处理，处理之后获得一张深度图，再由深度图通过转换颜色空间得到图像亮度，然后根据清晰度评价函数（TenenGrad）得到图像块（5×5）的清晰度，获取到可靠性更高的深度灰介图。

1.1 颜色空间转换

为使得图像具有视觉统一性，需要将图像转换至LUV颜色空间，在LUV颜色空间中L代表亮度，U、V代表色度，本文通过利用XYZ颜色空间实现RGB颜色空间到LUV颜色空间的过渡，具体方法如下：

1）首先通过矩阵实现RGB颜色空间到XYZ颜色空间的转换：

2）通过公式实现XYZ颜色空间到LUV颜色空间的转换：

式中：

选择标准光源D65作为参考光源，则Xn=95.047，Yn=100.000，Zn=108.883。代入上式可得：

由此便完成了由RGB颜色空间到XYZ颜色空间再到LUV颜色空间的转换。

1.2 约束模型和泛函表达

通过综合约束条件解决SFS问题首先要建立约束模型和泛函表达，辐射度方程的灰度误差表达式为

由表达式可知，求解SFS问题就等同于求解F1（p,q）极小条件下的p和q。

假设重建表面光滑，且光滑约束表达式为

式中，px、py、qx、qy为表面梯度的偏导数。

为使所获图像在高度表达上更加理想，在光滑约束的基础上再引入表面梯度约束和灰度梯度约束，表面梯度约束表达式为

式中，zx、zy为表面高度的偏导数。

灰度梯度约束表达式为

综合以上可以得出综合约束表达式为

式中，λ、μ、ν均为加权系数。由于高度z直接出现在表达式中，所以通过求上述泛函的极小化解，就可以直接得到z值，避免了从梯度到高度的积分过程中可能出现的振荡。

1.3 变分求解

由变分原理可知，方程的解等价于下面欧拉方程的解：

围绕p和q进行泰勒展开，有：

其余项同理展开后整理可得

其中：

于是有：

式中：δp为泰勒展开中的p-p0项；δq、δz相同。这里将其定义为迭代一次后的增量，于是可建立如下迭代公式关系：

式中，k为迭代次数。

由于要在计算机中编程实现，还需要应用有限差分法对偏导数等一些非离散量进行离散化处理。将图像区域Ω按图像本身像素进行网络划分。以px为例，离散化形式为

式中，i、j表示像素在图像中所处的行列数，其他与此相同。

2 迭代算法的实现

2.1 建立迭代过程

根据以上分析和推导，建立迭代过程如下：给出光源入射方向（ps，qs，-1）；给定初值p0、q0、z0，加权系数λ、μ、ν，并令k=0。

计算δp、δq、δz并令：

给定光源入射方向（0,0,-1），通过实验进行验证，经对比可知，前4次迭代，模型还原度逐步提高，直到第5次时模型高度出现了与加工要求所不符的噪声。

图1 原图

图2 迭代1次效果图

图3 迭代2次效果图

图4 迭代3次效果图

图5 迭代4次效果图

图6 迭代5次效果图

2.2 高度变换

由于通过SFS算法获取的模型高度在z轴之上不能直接参与浮雕加工，因此还需要对模型高度进行平移和缩放变换。具体过程如下：

1）整体平移处理。假设模型进行变换前的高度为zq，变换后的高度为zh，将生成的浮雕模型整体沿Z轴方向下移Hmax，则

2）高度缩放变换。设缩放比例为p，则

图7 高度变换

因此可以根据模型原高度zq求出模型在每一点处的加工深度zh：

实验结果如图8所示，左边通过直方图与原始图像的截面误差分析对比表明迭代误差满足要求，右边为仿真的图像，结果显示重建图像还原度高，实验结果理想。

图8 仿真实验结果

3 结语

本文基于SFS技术通过数学演绎实现了对雕刻模型高度获取的优化。使得所获产品在三维空间中的立体还原度进一步改良。通过颜色空间的转换获取图像每个像素点处的亮度，用图像像素点处的亮度代替图像像素强度。通过在光滑约束的基础上引入表面梯度约束和灰度梯度约束实现综合约束下变分法求解SFS问题，再根据所得结果和实际加工要求通过平移、缩放等方法调节浮雕模型，最终达到加工要求。