方形镜对称共焦腔激光模式的数值模拟研究

王玉杰　李武军　李恩琪

摘 要：根据方形镜对称共焦球面镜腔自再现模的表达形式，本文运用数值计算方法，计算了不同阶次的自再现模的振幅分布和强度分布。研究表明，计算结果清晰明了，展示了自再现模振幅和强度的空间分布;图样直观、形象，有助于分析激光振荡模式的场振幅分布和强度分布的特征。

关键词：激光原理;对称共焦腔;自再现模;数值计算

中图分类号：O432.1 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2021）06-0042-05

Numerical Simulation Research on Laser Mode of Square

Mirror Symmetrical Confocal Cavity

WANG Yujie LI Wujun LI Enqi

（School of Basic Science， Xi'an Technological University，Xi'an Shaanxi 710021）

Abstract： According to the expression form of the self-reproducing mode of the symmetrical confocal spherical mirror cavity of the square mirror， this paper uses the numerical calculation method to calculate the amplitude distribution and intensity distribution of the free present mode of different orders. And the calculation results clearly shows the spatial distribution of the amplitude and intensity of the self-reproducing mode; the pattern is intuitive and vivid， which is helpful for analyzing the characteristics of the field amplitude distribution and intensity distribution of the laser oscillation mode.

Keywords： laser principle;symmetrical confocal cavity;self-reproducing mode;numerical calculation

光学谐振腔理论是研究腔的模式特征、模式与谐振腔结构的依赖关系的基本理论。按照波动光学的标量积分理论，人们已经在数学上严格证明了本征方程解的存在性，但迄今为止，在腔镜尺寸有限的情况下，只能求出对称共焦腔的解析解。根据该解析解，方形镜对称共焦球面镜腔在镜面上的场分布可以用厄米-高斯函数描述。腔内空间中的场可以用厄米-高斯光束的形式表示[1-3]。根据等价共焦腔理论，一般的激光器光学谐振腔大多数是稳定的球面腔，而任意一个稳定的球面腔都可等价为一个共焦腔，人们可以建立一般稳定腔与共焦腔之间的关系。因此，研究共焦腔的不同模式十分重要[4-5]。本文根据对称共焦球面镜腔的解析解，使用Matlab数值模拟计算不同阶次的自再现模的振幅分布和强度分布。

1 共焦腔自再现模

1.1 方形镜共焦腔自再现模

在直角坐标系中，对称方形镜共焦球面腔产生的光场在共焦反射镜面中心附近，自再现模的振幅分布可以近似表示为厄米多项式和高斯分布函数的乘积，即

[υmn（x，y）=CmnHm（2ω0sx）Hn（2ω0sy）e-x2+y2ω0s2]         （1）

式中，[Cmn]为常系数;[Hm（X）]、[Hn（X）]分别为[m]和[n]阶厄米多项式;[ω0s]为共焦腔基模在镜面上的光斑半径，[ω0s=λL/π]。

根据发光强度与振幅的关系，相应的强度分布为：

[Imn（x，y）=I0H2m（2ω0sx）H2n（2ω0sy）e-2x2+y2ω0s2]              （2）

式中，I0为初始光强。

1.2 方形镜共焦腔镜面上的光斑形状

試验期间，经观察和测量，本研究得到方形镜对称共焦腔的各不同阶次的高阶横模的光斑图样，如图1所示。

由光斑图样可见，基模高斯光束为一典型的高斯分布的圆形光斑，不同高阶横模的强度分布由多个小光斑按照一定的对称性组成。

2 共焦腔自再现模振幅和强度分布的数值仿真

取谐振腔参数[L]=250 mm，[λ]=632.8 nm，则[ω0s]≈0.224 mm。针对式（1）和式（6）所描述方形镜自再现模的振幅分布和强度分布，取不同的阶次[m]、[n]，通过Matlab数值模拟计算出相应阶次模的振幅分布和强度分布，所得结果如下。

2.1 方形镜TEM00模的振幅和强度分布

TEM00模振幅分布如图2所示，TEM00模强度分布如图3所示。由计算结果可见，TEM00模的振幅和强度分布为典型的高斯分布，强度分布表明光斑为最简单的圆形光斑。

2.2 方形镜TEM10模的振幅和强度分布

TEM10模振幅分布如图4所示，TEM10模强度分布如图5所示。由计算结果可见，TEM10模的振幅和强度分布沿[x]方向有一条节线，节线两侧的光场振幅相位反向，强度分布表明光斑为分立的两个光斑。

2.3 方形镜TEM11模振幅分布

TEM11模振幅分布如图6所示，TEM11模强度分布如图7所示。由计算结果可见，TEM11模的振幅和强度分布沿[x]和[y]方向各有一条节线，节线两侧相邻的光场振幅相位均反向，强度分布表明光斑为分立的四个光斑。

3 试验验证

本研究采用大恒新纪元科技股份有限公司的半开放式He-Ne激光器进行试验验证。其间取平凹腔结构，腔长[L]=420 mm，凹面镜曲率半径[R]=500 mm，调节腔镜角度，可得不同TEM10模和TEM11模的输出光斑，如图10所示。

测试所用谐振腔镜为圆形腔镜，输出光斑与数值模拟的方形镜高阶模式光斑形状完全相同。结果表明，在镜面横向尺度远大于光斑直径的情况下，圆形腔镜与方形腔镜输出的光斑形状完全相同，进而也证明了建立的数学计算模型是正确的。

4 结论

本研究从方形镜对称共焦球面镜腔自再现模的数学表达形式出发，采用数值计算方法描绘了不同阶次模式的振幅分布图样和强度分布图样。计算结果清晰直观地展现不同条件下自再现模的振幅和强度分布图样。根据图样，人们可以方便地认识和分析高阶模式的振幅和强度分布特征，推进激光谐振腔的设计及激光器件研究。

参考文献：

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[4]王晓峰，康东丽，树俊波，等.激光形成过程和谐振腔自再现模的数值分析[J].大学物理，2011（11）：10-13.

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