数学广角中培养学生“模型思想”的有效情境

张义红

摘 要：数学广角是义务教育课程标准实验教科书从二年级上册开始新增设的一个单元，本单元的目标是使学生接触最基本的数学思想和方法，获得探索数学知识、解决问题的基本方法并提升数学能力。数学广角教学的核心思想是培养学生的“模型思想”，而“模型思想”的培养离不开有效的情境。

关键词：数学广角;模型思想;有效情境

一、帮助学生建立“植树问题”中模型思想的问题对比情境

在“植树问题”中，最重要的数学思想就是模型思想，如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的核心。教学中可采用问题对比情境促进学生建立数学模型，如问题（1）：20米，5米分一段，共分几段？这个问题是二年级学的平均分，对五年级学生来说借用以往的经验可以轻松得出答案20÷5=4（段），且容易解释列式的原因是平均分，也易画出线段图。出示对比问题（2）：20米，5米种树1棵，共种几棵？引发学生思考，进而动手操作，在第一问的线段图上种一种，学生得出共种5棵。为什么呢？对比两个问题找出共同点和不同点，两个问题的共同点都是平均分，20米每5米为一段（一个间隔），都是平均分成4段，为什么种5棵树呢，因为树是种在线段图的点上，一棵树对应一条线段（间隔），最后一棵树后没有线段（间隔），所以共种20÷5+1=5（棵）。这样的问题对比情境让学生深刻建立起两端都种时的数量关系模型：棵树=间隔数+1，再次观察线段图一端种一端不种时刚好一棵树对应一个间隔，这样很容易得出一端种一端不种的关系模型：棵数=间隔数，同样根据一一对应关系再次建立起两端都不种的关系模型：棵数=间隔数-1。而封闭线路植树可以展开线路转化为一端种一端不种的情况。在学生知其所以然的基础上建立起模型后，再次通过手指情境增强对“植树问题”三种模型的巩固记忆。而隐含的“植树问题”如何对应上关系模型呢？主要是思考问题中有没有点段对应。如锯木头，锯在点上，锯下的每段为线段（间隔），则有点线段的对应，并且木头两端不锯，进而对应上两端都不种的关系模型;再如铃声问题，铃声响的时间在点上，两次铃声间的时长属于段（间隔），则有点段对应，进而对应上两端都种的关系模型;再如上楼问题，两层楼间的步行时长属于段，到达的每层属于点，有点段对应，行走的第一层和最后一层间的时长属于两端都种的问题。这里的问题对比情境使得学生在知其所以然的基础上建立起了数学模型，是培养学生数学能力的有效情境。

二、帮助学生建立“抽屉原理”中模型思想的操作情境

“抽屉原理”又被称为“狄利克雷原理”或“鸽巢原理”，其来源于一个基本的数学事实，这个数学事实可以通过操作情境让学生感悟出：把多于kn（k是正整数）个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少有（k+1）个元素的数学模型。这里的操作情境可以让学生在课堂上真实操作。如下：把3本书放到两个抽屉里，你会怎么放呢？学生通过操作发现：要么在一个抽屉里放2本书，而另一个抽屉里放1本书;要么在一个抽屉里放3本书，而另一个抽屉里不放。课堂上根据不同学生的汇报得出结论：不管是哪种情况，一定有一个抽屉里放入了至少2本书。虽然我们无法断定哪个抽屉里放入了至少2本书，但这并不影响结论。然后将操作情境中的数变大，如把4本书放进三个抽屉内或把7本书放进三个抽屉，通过多次操作，让学生感悟模型：一定有一个抽屉里至少放几本书的结论要考虑平均分这个最不利的因素，那么一定有一个抽屉里至少放入了（每份数+1）本书。当然操作情境中的书可以换成铅笔、小动物、数等，操作情境中的抽屉可以换成对应的笔筒、巢穴或数的集合等。如把3支笔放入两个笔筒内，一定有一个笔筒内放入了至少2支笔;再如3支鸟飞入两个巢内，一定有一个巢内飞入了至少2只鸟等，但是课堂教学时选取学生易操作的情境有助于学生建立起其中的数学模型。

三、帮助学生建立“烙饼问题”中模型思想的类比情境

烙饼问题属于优化问题，其本质是“锅”内空间的充分运用，如“锅”内最多能放两张饼，每次总要有两个面接触“锅”就充分运用了空间，从“烙的饼数”共有几个面而轻松算出“烙饼”时间。但是奇数张“饼”如何做到每次总有两个面接触“锅底”呢，需要学生实际操作才能领会，而厨房的情境无法搬进教室，课堂中可用学生的手类比“饼”，手心、手背类比“饼”的正反面，可黑板画圆类比“锅”，通过操作让学生感知交替式“烙饼”可以实现每次烙两面。这样的类比操作情境促使学生建立起数学模型。

参考文献：

[1]李吉林.兒童情境学习课程体系及操作[M].北京：教育科学出版社，2018.

[2]干国祥.理想课堂的三重境界[M].桂林：漓江出版社，2019.