一类具有Beddington - DeAngelis功能反应的离散竞争系统的概周期解

2021-07-29 03:14张杰华王清娟

延边大学学报（自然科学版） 2021年2期

张杰华, 王清娟

(1.阳光学院, 福建福州 350015; 2.福建省湄洲湾职业技术学校, 福建莆田 351254)

0 引言

1975年，Beddington[1]和DeAngelis[2]首次提出Beddington-DeAngelis功能反应模型后,很多学者对该模型进行了研究,并得到了许多很好的结果[3-7].文献[3]的作者研究了如下具有Beddington-DeAngelis功能反应的连续竞争系统:

(1)

并得到了该系统具有持久性、绝灭性和概周期解的存在性等结果.

文献[4]的作者研究了与系统(1)相对应的具有Beddington-DeAngelis功能反应的离散竞争模型:

(2)

其中：x1(n)和x2(n)分别表示两个竞争种群在第n代的种群密度；ri(n)(i=1,2)表示两个种群的内禀增长率；ai(n)(i=1,2)为种内竞争系数；bi(n)(i=1,2)为种间竞争系数；ri(n)、ai(n)、bi(n)、αi(n)、βi(n)、γi(n)(i=1,2)均为非负有界序列.文献[4]的作者通过构造适当的Lyapunov绝灭函数，得到了保证该系统中某个种群绝灭和另外一个种群全局吸引的充分性条件，但文献[4]的作者并未探讨系统(2)的概周期性.由于生物种群的生存环境是随时间而改变的，而且环境会随着季节呈现出非严格意义上的周期性变化，因此研究生态系统中的概周期性具有十分重要的现实意义.本文利用文献[8-10]的分析方法，通过构造适当的Lyapunov函数和运用差分概周期方程的壳理论，对系统(2)持续生存、概周期解的存在唯一性和全局吸引性进行了研究.

1 相关引理

定义3[11]如果x的ε-移位数集E{ε,x}(E{ε,x}={τ∈Z:|x(n+τ)-x(n)|<ε}，∀n∈Z，ε>0)关于Z相对稠密(即对任意ε>0存在一个整数l(l>0)，且每个长为l的离散区间总包含一个整数τ∈E{ε,x})，且使得对∀n∈Z都有|x(n+τ)-x(n)|<ε，则称序列x∶Z→Rk为概周期序列，τ为x(n)的ε-移位数.

引理1[12]序列{x(n)}是概周期的当且仅当对任一序列{hi}⊂Z，存在一个子序列{hi j}⊂{hi}，使得当j→∞时，{x(n+hi j)}对n∈Z是一致收敛的，且其极限也是概周期的.

2 持久性和全局吸引性

定理1设(x1(n),x2(n))是系统(2)的任一正解，若系统(2)满足

(H1)

则该系统是持久的，即存在正数mi和Mi(i=1,2), 使得

(3)

(4)

设(x1(n),x2(n))是系统(2)的任一解，则由系统(2)的两个方程可得xi(n+1)≤xi(n)exp{ri(n)-ai(n)xi(n)}.对上式应用引理2可得:

(5)

因此，对上述的ε>0，存在N0>0，且当n≥N0时有xi(n)≤Mi+ε,i=1,2.由该式和系统(2)的第1个方程可得：

(6)

在上式中令ε→0，于是可得:

(7)

(8)

定理2设

(H2)

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(9)