一类Drygas泛函方程解的稳定性

吕刚, 穆明珠， 金元峰, Muhammad Israr

(1.沈阳工业大学 理学院，辽宁 沈阳 110870；2.广州工商学院 通识学院，广东 广州 510850；3.延边大学 理学院，吉林 延吉 133002)

0 引言

2001年，Gilǎnyi[1]证明了泛函不等式

的解具有存在唯一性.随后，一些学者进一步研究了此类泛函不等式及其解的稳定性[2-4].2015年，Park[5-6]定义了可加ρ-泛函不等式，并证明了该不等式在Banach空间和非阿基米德空间中的Hyers-Ulam稳定性.为了获得准内积空间的Jordan and von Neumann型特征定理，1987年Drygas[7]研究了如下泛函方程：

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y)+f(-y)，

并得到了该方程准内积空间的基本性质.1992年，Ebanks等[8]给出了上述泛函方程的通解：f(x)=Q(x)+A(x)，其中A是一个可加映射,Q是一个二次映射.

近年来，许多作者对各类Drygas泛函方程或不等式解的稳定性问题进行了研究，并获得了许多有意义的结果[9-12].2019年，Sun等[13]讨论了三元Drygas泛函方程

f(x+y+z)+f(x+y-z)=2f(x)+2f(y)+f(z)+f(-z)

在Banach空间中解的稳定性，得到了该方程解的存在唯一性.如果考虑定义域是一个含单位元的交换群，则上述三元Drygas泛函方程可变为

f(xyz)+f(xyz-1)=2f(x)+2f(y)+f(z)+f(-z)，

其中x,y,z∈G.本文基于群和Banach空间的基本性质，利用迭代法和函数不等式对三元Drygas泛函方程解的稳定性进行了研究.

回到房间，苏婷婷对杰克：我早跟你说了，这不是华盛顿，这是中国！你不要动不动就人权啊隐私啊！杰克倔强地：中国怎么了？中国就不讲人权了吗？中国人就该侵犯别人隐私吗？中国不是和世界接轨了吗？中国难道不是世界的一部分？苏婷婷忙换了个角度：我不是说这个意思，我是说在中国大的事情是要讲人权，可小的事情呢，要讲感情，比方说妈今天给你洗了内裤，说明咱妈喜欢你这个洋女婿，对你这个上门女婿很有感情！杰克摇摇头：N O N O，我不能对咱妈有感情，我爱的是你，不是咱妈！

1 主要结果及其证明

本文利用不等式(1)证明三元Drygas泛函方程的解具有存在唯一性.

(1)

其中s和t为实数，且|s|<1，|s|+|t|<2.

证明取x=z,y-1=z，将其代入式(1)中可得：

(2)

其中任意x,y,z∈G.则存在一个唯一的可加映射A∶G→Y, 且使得

(3)

(4)

由不等式(4)可得：

⋮

将上述不等式的左右两侧相加，再利用三角不等式可得：

由上式可得

(5)

因此A满足式(1).由引理1进一步可知，A是可加的.

下面证明A的唯一性.设T∶G→Y是满足式(2)的另一个可加映射，对所有的x∈G，

(6)

成立.当k→∞时式(6)趋近于0, 由此可知对所有的x∈G，有A(x)=T(x)，即表明A具有唯一性.定理1证毕.