基于l1范数相干度的量子态区分

玄东平， 胡晓会， 南华

(延边大学 理学院，吉林 延吉 133002)

为获知量子系统的信息，需要对所获得的量子态进行识别，但研究表明完美区分两个或多个非正交态是不可能的;因此，寻求量子态区分(QSD)的最优策略受到学者们的关注.目前，量子态区分主要有不明确的量子态区分(AQSD)和不出错的量子态区分(UQSD)两种.2011年，Roa等[1]以没有纠缠的quantum discord为资源研究了量子态的区分；2013年，Spehner等[2]以量子关联为资源，研究了关联度与态区分之间的联系；2018年，Kim等[3]利用斜信息相干度量研究了量子态的区分问题.上述研究结果表明不仅可以利用不同量子资源对量子态进行区分，而且可以基于不同的资源度量找到成功识别概率与所选取的量子资源之间的关系，进而可以寻求最优的量子态区分方法.因此本文以相干为资源，通过附加一个辅助系统和执行联合酉操作来实现非正交量子态的UQSD，并利用l1范数相干度量给出了该策略的成功识别概率与相干均值之间的数值关系，同时在某些特定情况下量化了UQSD最优协议所需的l1范数相干均值.

1 相干性与量子态区分

(C1)非负性:C(ρ)≥0，C(ρ)=0当且仅当ρ∈.

(C2)单调性：C(ρ)在非相干操作Φ下是不增的，即C(ρ)≥C(Φ(ρ)).

2016年，Yu等[5]在文献[4]的基础上改进了相干度量的框架.随后一些相干度量相继被提出并且在计量学、热力学等领域得到了广泛应用，如鲁棒相干度量、相对熵相干度量、迹范数相干度量、l1范数相干度量等[6-7].从相干度量的上述两个框架可知，相干性与非对角线元素密切相关，因此本文选取依赖非对角线元素的相干度量Cl1来讨论量子态区分的问题.Cl1相干度量的表达式为：

(1)

最初的UQSD问题是识别具有等先验概率(p1=p2=1/2)的两个非正交量子态|φ1〉和|φ2〉.针对这一问题文献[5]提出了一种策略，即通过附加量子位和实施非零失谐(零纠缠)的操作来实现态区分.在该策略中，主系统通过联合酉变换U将其耦合到辅助量子系统A中，使得：

(2)

式(2)表明，UQSD策略的成功概率虽存在上限，但不一定总能找到成功概率达到上限的UQSD策略.

2 基于相干资源的UQSD

(3)

(4)

由于

(5)

(6)

由非相干态的定义可知：相互正交的量子态是非相干态，它们之间的相干度为0.由于非正交量子态之间始终存在相干性，因此识别非正交态时必然会消耗相干性，由此表明相干是UQSD的一种重要资源.由式(5)和式(6)可知，相干度和成功概率之间存在一定的数值关系，即系统经联合酉操作后附加在系统上的相干均值能够反映出成功识别量子态概率的大小.

3 量化最优UQSD的相干性

假设{|φ1〉, |φ2〉}是单量子系统中具有先验概率分布(p=(p1,p2))的两个非正交且线性独立的量子态.在主系统上附加辅助系统A后，再通过联合酉变换可得：

(7)

(8)

上述表明，当实施策略(7)时，即利用l1范数相干度量计算相干均值Cmean时，若其结果与式(8)的计算结果一致，则可推断策略(7)是最优的.

(9)

(10)

利用式(6)和式(10)计算系统的相干均值可得：

(11)

文献[9]的作者也是用类似的思想研究了量子态区分问题，即他们通过在主系统上附加一个量子位A后再经联合酉变换(VSA)得到了如下态区分策略：

(12)

其中

(13)

另外，根据式(5)还可以得到式(12)的UQSD策略的成功识别概率为：

(14)

由上述可知，式(13)和式(14)即可体现式(12)的UQSD策略的成功概率与相干均值之间的数值关系.

4 结论

本文以量子相干为资源，通过附加辅助系统的方法研究了区分非正交量子态的策略.研究表明，UQSD成功识别量子态的概率与相干均值存在数值关系.本文研究不仅可为设计UQSD策略提供一种新思路，而且可为判别UQSD策略的优劣提供依据.本文的策略还可以推广到其他高维系统的态区分问题中.在今后的研究中，我们将进一步研究如何通过调整联合酉操作使本文方法在更一般的情况下能够达到或逼近识别量子态成功概率的上限.