模式直观：小学数学运算教学新转向

任建波

摘要：运算教学是数学教学的基础之基础，运算素养是数学核心素养的重要构成部分。然而“机械地搬用运算公式”等运算教学的困境却始终难以摆脱，导致其滋生了“只在运算中教学运算”的病症，突出表现为与模式直观的割裂。数学思维的“原始形态”“纯粹数的直觉”等天然的教学价值，是模式直观教学意蕴的具体体现。当下小学数学运算教学要想克服病症，培养出具备良好思维品质、扎实运算技能和成熟运算素养的人，迫切需要转向模式直观，探索常识性模式直观、迁移性模式直观、和谐性模式直观和符号性模式直观的价值和功能。

关键词：模式直观;运算教学;教学变革;学科核心素养

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）02A-0013-06

运算教学是九年义务教育阶段的数学教学的基础之基础 [1]。运算教学研究一直在进行，但其困境却始终难以真正摆脱。比如：“机械地搬用运算公式”[2]，“在中低年级都把标准的竖式计算作为计算教学唯一的归宿”[3]，学生计算无“策”缺“谋”[4]63，等等。可以看到，已有研究极少触及模式直观。而真正的创造性的数学推理过程，即数学思维的原始形态，充满着模式直观[5]2。另外，心理学和神经学的研究结果表明，最有效的学习方法是左右脑并用，使用右脑进行“整体的”“直觉的”“形象的”思维，同时使用左脑进行“分析的”“逻辑的”思维[6]。这反映了当下的运算教学至少受限于两点：一是对数学思维原始形态缺少全面把握;二是对人的全脑（特别是右脑）缺乏充分认知。运算教学滋生了“只在运算中教学运算”的病症，突出表现为与模式直观的割裂。

一、小学数学运算教学对模式直观的遗忘

模式直观是一种比几何直观更为广泛的直观思维途径，直观并非一定离不开几何图形。小学数学运算教学选择了对模式直观的视而不见，导致其滋生病症。

（一）小学数学运算教学中数学思维“原始形态”的离场

现代生物学的有关结论表明，人与生俱来的“直观”的物质基础确实是存在的，这种东西至少以两种方式存在：基因和大脑。“直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强”“只有把‘先天的存在与后天的经验有机结合起来，才能形成人的直观能力。”[1]这说明人的“直观”的物质基础——基因和大脑的真实存在，是可以也应该随着人的经验的不断积累被激活与逐渐加强，直至形成人的直观能力。数学思维的原始形态，充满着模式直观。我们通常看到的作为结果的数学，只是“冰冷而美丽”的数学的学术形态[5]2。当运算教学聚焦在“程序”上，这种“程序”就会富含运算的定义、法则、性质、定理与规律，运算学习必然要遵循上述“程序”所富含的元素与要求，运算技能的形成只能靠“三算”能力的提升与运算习惯的培养，运算素养关照的也仅仅是在问题解决过程中所体现出的运算所赋予的支撑力度。也就是从运算学习开始，到运算素养的形成，强化的是学习者如何严密地遵循“程序”所要求的一切。比如，在笔算整数加法时，就要遵循整数加法的法则，“数位对齐、个位加起、满十进一”。至于学习者面对具体笔算式子时由直观认知而产生的非遵循法则的算法，则可能不被认可，无论结果正确与否、理由是否充分。这种“不被认可”的数次重复，直接导致了学习者的自我怀疑，学习者个体充满着模式直观的思维的“原始形态”不仅未被激活，反而频遭打击。进而，学习者为了保护学习自尊开始控制自我思维“原始形态”的主动暴露，降低“不被认可”的风险，开始主动迎合运算学习的“程序”，并尽力遵循其所富含的一切，直至学习者数学思维的“原始形态”所饱含的模式直观悄然离场。

（二）小学数学运算教学与“纯粹数的直觉”的割裂

庞加莱把对于代数概念的本能的接受能力称为“纯粹数的直觉” [8]5。“纯粹数的直觉”与简单、自然的算术运算法则相关联。完全脱离运算的“数的直觉”是没有意义的[8]6。同样，缺少“数的直觉”参与的运算学习是不完整的。“数的直觉”与运算学习的天然联系，首先表现在“数的直觉”的思维准备状态与运算素养所反映的思维品质，二者同处于思维层面，体现从思维雏形走向思维成熟的一种阶段性。“数的直觉”是学习者在不受运算法则、性质、定理等束缚下而产生的一种本能的思维感觉和想象，是非常规的，还可能是跳跃式的。学习者的运算素养体现的是面对真实性、个性化问题时能够相机选择运算程序或策略的能力，这种能力反映学习者思维的简洁与灵活。由于二者同处思维层面，需要在教学过程中不断加强它们之间的衔接。另外，这种天然联系还表现在，通过经验的积累，“数的直觉”可以逐渐形成一种能力，并将成为运算能力的重要构成部分。“数学唯一来源于直觉……这个直觉不过是一种能力，可以分别处理各种概念以及做出正规地出现于通常思维之中的那些推理。”[8]8可见，“数的直觉”不仅可以做出概念之间的推理，还可以做出“通常思维之中的那些推理”，比如运算过程中法则的遵循、定理的适用、策略的优化。在从“数的直觉”发展成为运算能力所包含的一个重要元素的过程中，若“数的直觉”不被唤醒与激活，这样的运算能力将是不完整的。现实是，上述两种天然联系在教学实践中并未受到重视：一是教学资源设计中少有学习者的思维准备状态的存在，预设较多的是学习者根据前置问题做出规范应答，而少有“数的直觉”;二是教学评价的指标体系中，少有“数的直觉”作为指标点或过程要素，更多的评价指向运算的结果、方法与技巧性。这导致了小学数学运算教学与“纯粹数的直觉”的割裂。

（三）小学数学运算教学中模式直观的缺失

与几何直观借助视觉感官不同，模式直观则是借助抽象思维的层次而展开。在较高层次的思维过程中，我们可以利用较低层次的直观形象为背景构建推理模式[5]1。模式直观是人们对事物之间逻辑关系的一种比较直接的、形象的推断和理解。从对整数四则运算的概念学习开始，到法则、规律，再到小数（分数）四则运算的学习，强调的恰恰是运算学习的“间接性”与“逻辑性”。比如，四则运算概念、法则、定理与规律的间接性，这种间接性体现在学习内容的规定性，即所呈现的是“冰冷而美丽”的运算知识的学术形态。这种“冰冷而美丽”的学术形态在进入教学流程中也较少得到“直接”的改造。这种逻辑性更多地体现在运算程序的严谨性上，即学习者必须按照既定的运算顺序、法则、定理与规律而展开。然而运算能力的培养、发展的过程是丰富的，由具体到抽象、由法则到算理、由常量到变量、由单向思维到逆向、多向思维[9]。一方面教材编排会严格遵循运算能力发展的过程丰富性，从低年级段到高年级段，螺旋上升地编排、设计运算学习内容板块;另一方面教學实施会严格遵循运算能力发展的过程程序性，考虑运算知识、方法、策略和思想等的前延后续、结构关联。也就是在教学实践层面：首先，学习者面对的是“严格遵循运算能力发展过程丰富性”的“冰冷而美丽”的运算知识的学术形态，学习者对内容要素之间逻辑关系的一种比较直接的推断和理解难以介入;其次，学习者面对的是“严格遵循运算能力发展的过程程序性”的“基于各种前延后续、结构关联”的设计流程，学习者对内容要素之间逻辑关系的一种比较形象的推断和理解也难以发挥作用。最终造成模式直观在小学数学运算教学中的遗憾缺失。

二、小学数学运算教学中模式直观的教学意蕴

面对“只在运算中教学运算”的病症，运算教学需要思考学习者模式直观的被发现、被激活与主动介入问题，深度开发模式直观的学习价值，寻找新的学习路径。

（一）数学思维的“原始形态”对小学数学深度学习的教学价值

所谓模式直观，是指通过相对比较具体的、先前已经熟悉的、具有普遍协调感的、容易接近的模式作为背景，使得人们能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象[5]1。小学数学的深度学习是在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程[10]55。小学数学深度学习的过程是强调学习者对各种思维活动的经历、探索和体验，这需要学习者良好的思维状态作为根基。充满着丰富的模式直观的人之数学思维的“原始形态”，为小学数学的深度学习提供了可能。

另外，深度学习追求一种高品质、高效率的课堂教学，深度学习的主要价值在于通过学科核心内容的重点探究过程，使学生在掌握学科核心知识的同时，培养学生的高阶思维能力和问题解决能力，实现学科教学中的少量主题的深度覆盖[10]53。深度学习的高品质、高效率，集中体现在“少量主题的深度覆盖”。“少量”意味着学习者所面对的学习资源是经过加工设计、有效凝练的，这种“少量”必须能够把握知识的脉络体系与框架结构。“深度”反映的是“少量”对知识整体与本质的涵盖，更重要的，是体现学习者思维的参与程度、被激活程度与新思维的生长性。人之数学思维的“原始形态”所饱含的丰富的模式直观，是通过“少量”走向“深度”的天然载体。模式直观在学科核心内容的重点探究过程中，促进学习者直接、形象地明晰学科核心知识，有层次地不断形成高阶思维能力和问题解决能力。

（二）“纯粹数的直觉”对小学数学“整体性”学习的教学价值

最好的学习就是整体学习。有效的记忆和理解总是在一个整体的知识框架里头，它能诱导别的知识，别的知识也可以诱导它[11]。综合性是数学运算的显著特点，数学运算能力不可能独自发展，它总伴随着逻辑思维能力、空间想象能力、推理能力的发展而发展[4]62。运算学习的综合性特点与促进学习者开展“整体性”学习不谋而合，“纯粹数的直觉”摒弃碎片化，沟通运算学习在一个整体性知识框架内部的相互“诱导”，在运算学习所需的不同的思维层次间螺旋上升，高一层次的思维展开需要以低一层次的思维模式为基础，这一较低层次的思维基础即为模式直观。学习者“纯粹数的直觉”的教学价值体现在两个方面。一方面是对运算教学中本质的直接感知，即透过现象看到本质。比如在教学“9加几”时，把1+9=10，2+9=11，3+9=12……9+9=18这9道等式排成一列后，学习者通过观察发现，“和的个位数总是比第一个加数少1”，追问：“为什么会少1？”或“这个1跑到哪里去了？”“这个1与9合成了10。”这就是“纯粹数的直觉”透过现象看到本质的一个例子，是建立在整体（9道等式组成一个有外在特征的一类现象）之上的运算学习，是一次整体性数学学习（在整体性的基础上研究独立性）。反之，若不借助整体的呈现，则较难发现问题并追问其原因。另一方面是对运算教学中不同事物（现象）之间联系的直接感知，即在把握本质的同时建立联系（也是联结，走向大概念）。还以“9加几”为例，追问“为什么会少1”还不是最后一问。在学习者找到了这个原因之后（这当然也是借助了整体性），还应该进一步探索：这一组（9道）等式之间有怎样的联系？这是从整体性出发的另一个视角（在整体性的基础上研究关联性），以第1道等式为观察基点，用第2道、第3道……第9道与之对比，包括第1个加数的比较、第2个加数的比较、和的比较，还包括运算符号的比较、加数个数的比较，等等。发现一个加数不变，另一个加数增加（或减少）几，和就增加（或减少）几。若运算教学探索能如此进行，运算学习促成的思维迭代与联结将不再困难，充满无限可能。

三、小学数学运算教学的“模式”转向

张广祥、张奠宙将模式直观初步分为四类：常识性模式直观、迁移性模式直观、和谐性模式直观和符号性模式直观[5]1。以下据此分类，分别阐述相关实践。

（一）常识性模式直观的教学探索

常识性模式直观是指人们借助一般的生活实践做背景，随着生活经验的积累而被固定下来的、广为接受的推理过程[5]2。运算学习可以利用生活经验中被固定的、广为接受的推理过程展开新的理解与学习，是更直接的、更形象的思维生长过程。比如，在探索“减法各部分之间的变化規律”时，可以将被减数看作是仓库里原有物体的数量，减数是被拿走物体的数量，差就是剩下物体的数量。这样可以得到且容易理解以下三种情况：若被减数（仓库原有的）不变，减数（被拿走的）增加（或减少），则差（剩下的）就减少（或增加）;若减数（被拿走的）不变，被减数（仓库原有的）增加（或减少），则差（剩下的）就增加（或减少）;若差（剩下的）不变，被减数（仓库原有的）增加（或减少），则减数（被拿走的）就增加（或减少）。这样借助生活中的常识性经验使得原本非常抽象且难以理解的三种变化关系就变得更加容易理解，这就是常识性模式直观在发挥作用。

（二）迁移性模式直观的教学探索

人类的抽象思维，需要有较低层次的、相对具体、形象化的实际背景作为支撑。同时人们又不断地将已经比较熟悉的情景，迁移到较高的思维层次，这样有助于产生新的、更为抽象的推理，这是迁移性模式直观[5]3。这种迁移突出表现为，运算学习过程中新知识生长点的寻找与建立。比如，在小数四则运算的学习过程中，对整数四则运算的概念、法则、性质和规律的迁移性运用。以“小数加法”的学习为例，首先对整数加法法则进行回顾，在经历了对小数加法的探索后，发现小数加法与整数加法的法则有一致性，整数加法法则对学习者而言是“比较熟悉的情景”（或较低思维层次），而小数加法法则则是在此基础上通过迁移而产生的新的推理（从整数加法的边界向小数加法的突破）。生长点即为从原来的“数位对齐”变成了“小数点对齐”。

（三）和谐性模式直观的教学探索

“美学观念”在理解符号及其运算的学习过程中发挥重要作用。我们能够通过模式直观，用“美学的”“和谐的”“合理的”思考方式，帮助学生理解这些规则。这是和谐性的模式直观[5]4，这也是数学美的一种体现。比如，在探究图1这道试题时，可以采用化繁为简的策略，从最简单的9×9=18开始观察（如图2）。

从上往下看，随着两个因数的变化（即9的个数的增加），积也随之发生变化（9与0的增加）。整体上看，这个图呈三角形形状，是有美感的;积随着因数的变化而变化的规律又呈现一种和谐美;在分析前面几道式子乘积规律的基础上探索最终的结果，又是合理的。再比如，借助天平作为实物模型来理解方程的“平衡性”，也体现了和谐性模式直观的教学价值。等号的平衡关系是方程的核心思想[2]。等号从连接运算结果，到表示一种平衡关系、一种等价关系，是由算术思想到代数思想的转变。学习者借助如何保持天平的平衡来理解等号两边必须同时增加（或减少）相同的数量，才能保证等号两边的平衡。这既是和谐的，又是合理的，否则天平（等式）的平衡必将遭到破坏。这反映了和谐性模式直观在发挥作用。

（四）符号性模式直观的教学探索

被固定下来的符号与算式已经发展成为数学中的“直观模式”，它们在数学思维中所发挥的作用与它们外在形式的简洁优美是分不开的。这一来自代数中的模式直观，我们归诸为符号性模式直观[5]4。模式直观是建立代数想象力的基础[5]1，符号性模式直观的教学价值突出体现在其简洁性与符号化。像等差数列求和公式，运算律的字母表达式等，是结果化的符号性模式直观，其过程化的教学价值主要体现在对符号（或算式）的探索与聚焦过程中的比较、评价、建模等方面。比如，在学习简单的周期时，呈现情境图后让学生表达自己的发现，有用汉字的“蓝花、黄花、红花、红花，蓝花、黄花、红花、红花……”，有用图画的“△、□、○、○，△、□、○、○……”，有用数字的“1、2、3、3，1、2、3、3……”，有用字母的“A、B、C、C，A、B、C、C……”，等等。接着出示问题“第15盆是什么颜色的花？”这时有先发现4盆为一组，用除法算式15÷4=3（组）……3（盆）得到答案。这个除法算式也是问题解决的模型。再比如，学习加法结合律时，情境圖呈现的是“28个男生跳绳，17个女生跳绳，23个女生踢毽子”，所求问题是“跳绳和踢毽子的一共有多少人？”可得两种求法，（28+17）+23和28+（17+23），因为这两种求法的结果相同，可以将这两个式子写成等式，即（28+17）+23=28+（17+23）。此时引导学生发现等号的左右两边有哪些相同点，有哪些不同点。据此个案提出猜想，“先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。”接着写出更多具有上述特征的等式。当写出的等式既符合上述特征，又验证相应的猜想，则可以尝试表达出规律是什么。可以是汉字描述：（甲+乙）+丙=甲+（乙+丙），可以是画图描述：（△+□）+○=△+（□+○），可以是字母描述：（a+b）+c=a+（b+c），等等。经过比较，选用字母来描述加法结合律最简洁、最直观。

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责任编辑：赵赟