“折等腰三角形”体验活动的实践与思考

【摘 要】 “折纸”是数学课堂教学常见的体验活动，让学生参与“折纸”活动，经历操作过程，去体验数学对象，发现数学问题，领悟思想方法.学生借助原有的知识经验，通过外在的操作，使得思维在大脑中发生变化，加深对数学知识的理解，领悟折纸中所蕴含的数学本质，通过体验活动培养其数学抽象、数学建模和逻辑推理能力等核心素养.

【关键词】 折纸;体验;等腰三角形;等边三角形

1 研究背景

由于平时教学中关于折纸的体验活动很少，对于有关折纸的教学，如何探究，起点是什么，要经历什么过程，去往何处，很多学生没有很好的基本活动经验的积累，很多教师也没有清晰的研究范式.学生对折纸有所了解，也对这种活动形式比较感兴趣，不过，学生对通过折纸活动去体验数学了解得还不够深刻，故笔者以“折等腰三角形”为例，和大家交流折纸体验活动的实践与思考.

2 折纸的基本理论

折纸是我国一种传统的手工艺术，它是培养学生手脑灵活和智力开发的一种手段，折纸的过程蕴含了大量的数学知识，从数学知识的角度思考，折纸蕴含着很多相等的量，这些相等的量是进行计算和推理的隐含条件.

我国数学认知研究所黄燕苹所长和李秉彝教授在《折纸与数学》一书中，介绍了折纸的七个基本理论[1]：

（1）两点折线——过已知两点能且只能折一条直线.已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕;

（2）两点对折——两点可以重合对折且只有一条折痕.已知A、B两点，可以把点A折到点B上去;

（3）两线对折——两条线可以重合对折且只有一条折痕.已知a、b两条直线，可以把直线a折到直线b上去;

（4）过点对折——过直线上（或外）一点可以将该直线自身重合对折且只有一条折痕.已知点A和直线a，可以沿着一条过点A的折痕，把a折到自身上;

（5）点折到线——已知两点和一条直线，可以将其中一个点折到已知直线上，同时让折痕通过另一个已知点.已知A、B两点和直线a，可以沿着一条过点B的折痕，把点A折到a上;

（6）双点到线——已知两点和两条相交线，可以将其中一点折到一条直线上且同时让另一点落在另一条直线上.已知A、B两点和直线a、b两条相交直线，可以把点A、点B分别折到a、b上;

（7）点线线点——已知两点和两条线，可以将其中一点折到一条直线上，同时让另一条直线通过另一已知点.

3 折等腰三角形的分析

章建跃博士曾说过：“对于一个概念和有关性质，要找出其组成要素，以及要素的形状和位置关系，教学设计时，要在充分理解数学的基础上，设计激发学生思考的问题，要理解学生思维的最近发展区.”

中国的数学教育大师傅种孙先生曾说过：“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然——启发学生，示以思维之道耳！”.教学应在“何由以知其所以然”上下功夫，这样才有可能在“如何使学生想得到”上有所突破，从而把数学基本思想、基本活动经验、发现和提出问题的能力等落实到位，这是发展学生核心素养的最关键所在。

八年级的学生刚学完轴对称图形，对线段、角和等腰三角形的轴对称性已经掌握，学生对等腰三角形的知识已经理解，知道等腰三角形是一个轴对称图形，两腰相等，两底角相等，三线合一，教师从学生的最近发展区出发，利用折纸理论，思考如何折中点，如何折相等的边，如何折相等的角，如何折垂直平分线等等.通过折等腰三角形的活动，引导学生观察折痕所形成的边角关系，帮助学生建立折纸操作与数学内容的联系，激发学生思考，培养学生的动手能力、观察能力、想象能力和创造性思维能力！

4 教学设计构思

活动一 同学们，大家能利用桌子上的A4纸，折一折吗？你能想出几种折法？

（1）过两点的线段;（2）垂直平分线（或中点）;（3）角平分线和两对边的平行线;

（4）任意锐角三角形的高;（5）折一条线段等于A4纸的宽;（6）折30°角（或折一个直角三角形，使得一直角边是斜边的一半）.

设计意图 通过折简单的基本图形，积累基本的数学活动经验，让学生体验折纸的基本理论.对于（1）折过两点的线段，对应着折纸的基本理论（1）：过已知两点能且只能折一条直线.对于（2）折垂直平分线，对应着折纸的基本理论（2）：将已知两点重合对折，折痕是两点连线的垂直平分线，其交点为两点连线的中点.對于（3）折角平分线，对应着折纸的基本理论（3）：将两线重合对折，当两线相交时，折痕是两线交角的平分线;当两线平行时，折痕与之平行，且三条平行线之间的距离相等.对于（4）折任意三角形的高，对应着折纸的基本理论（4）：过直线上（或外）一点将该直线自身重合对折，所得折痕与该直线垂直;对于（5）折一条线段等于A4纸的宽，也对应着折纸的基本理论（3）.对于（6）折30°角，对应着折纸的基本理论（5）：已知两点和一条直线，可以将其中一个点折到已知直线上，同时让折痕通过另一个已知点;对于折纸的基本理论（6）和（7）在折等腰三角形中，没有具体涉及，故在此对学生不做要求.

通过对折基本图形的操作活动，让学生体验到，数学图形都是由一些简单的基本图形得到的，折纸的基本理论为折等腰三角形奠定了基础，也为学生提供了折等腰三角形的基本活动经验.

活动二 如果用A4纸折一个等腰三角形，你打算怎么折？说说你这样折的依据.

设计意图 如果没有活动一做铺垫，学生没有折纸的基本活动经验，让学生直接体验活动二，如图1，学生的直观感知就是把A4纸的宽AB进行折叠，使点B落在AD上的点E处，然后把点B和点E对折，就能得到一个等腰直角三角形ABE.

相比之下，如果学生通过活动一得到折纸的基本理论和折基本图形的基本活动经验，让学生思考折等腰三角形的方法，学生自然会想到：（1）折两边相等;（2）折两角相等;（3）折垂直平分线;（4）折角平分线等等.学生在大脑中的思考，也可能仅限于折边相等，或者折角相等，或者折垂直平分线等等，有了折纸的基本活动经验，在这种初始的思维认知下，学生的思维会发生变化，这种变化促使学生思考所积累的折纸经验，以及等腰三角形的性质和判定，从而把原有的知识经验转化为内在的思维：怎样操作才能折出等腰三角形，学生会想出一些折叠的方法.

方法1：如图2，把AB进行折叠，使得点B落在B′处，然后把点B和点B′进行折叠，根据两边相等，得到等腰△ABB′.

方法2：如图3，把A4纸沿着点A和点C进行折叠，得到折痕AC，接着，沿点B和点D进行折叠，得到折痕BD，由于AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB.得到△ABC≌△DCB，所以∠DBC=∠ACB，根据等角对等边，得到等腰△OBC.同理，也得到等腰三角形OBA，等腰三角形OAD和等腰三角形OCD.

方法3：如图4，把A4纸的边AB折叠，使AB和DC重合，得到折痕EF，则EF为BC的垂直平分线，沿着点E和点B进行折叠，得到折痕EB，再沿着点E和点C进行折叠，得到折痕EC，根据线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等，得到等腰三角形EBC.

方法4：如图5，把△CBD沿着对角线BD进行翻折，使点C落在C′处，因为翻折，∠DBC=∠DBC′，又因为AD∥BC，所以∠DBC=∠BDA.所以，∠BDA=∠DBC′，根据等角对等边，得到等腰三角形EBD.

方法5：如圖6，把点C进行对折，使点C和点A重合，折痕为EF，因为翻折，∠EFC=∠EFA，又因为AD∥BC，所以∠AEF=∠EFC.所以∠AEF=∠EFA，根据等角对等边，得到等腰△AEF.

活动三 如果用A4纸折一个等边三角形，你又打算怎么折？

设计意图 这个体验活动的设计体现知识生长的过程，是在前两个体验活动基础上设计的一次提升，也是学生深入思考折等腰三角形的一个体验，学生自然会想到三边相等，但是，如何折才能实现三边相等呢？很多学生会觉得操作起来很困难，原因是因为这些学生没有把等腰三角形和等边三角形之间的关系进行类比，没有把折等腰三角形的基本活动经验运用到折等边三角形的过程中去，此时，学生大脑中的思维是具有知识的局限性和片面性的.

笔者曾经让两个语文老师用A4纸折等边三角形，这两个老师缺乏对等边三角形的数学知识的思考和对折纸活动的体验，她们的困惑就是怎么折才能得到60°，如果在等腰三角形的基础上，再出现一个60°，就可以得到等边三角形.其实，这也是学生经常出现的困惑，如果有了折30°角的体验或者有了折一个直角三角形，使得一直角边是斜边的一半，也可以得到等边三角形.显然这两位语文老师对折30°角的体验还不足.然后，笔者告知折纸的基本方法：如何折垂直平分线，如何折角平分线，如何折30°角后，这两个语文老师很快就知道该如何折了.可见她们的头脑中对折基本图形已经有了很熟悉的了解.从不会到会，其实就在于教师是否了解学生的最近发展区，如果问题高于最近发展区，学生是想不到的，这就不容易折出来，如果问题低于最近发展区，学生的思维就得不到发展，所以，教学尤其是体验教学，一定要基于学生的认知基础，一定要熟悉学生的最近发展区，这样去实施教学才更加有效.

在折纸的体验过程中，问题又出现了，一个老师先将宽对折，得到折痕，然后发现折30°角时，把长翻折时，却超出了边界，（如图7）在这种情况下，这位老师很灵活的转化思路，先将边AD和BC重合对折（理论3），折痕为EF，将点B折到EF上，且让折痕过点A（理论5），点B对应的点为点O，折痕为AG，过O、B两点折叠（理论1），则△ABO为等边三角形，解决了折等边三角形时，超出边界的问题（如图8）.

活动四 如果用A4纸，想折一个最大的等边三角形，你打算怎么折？

设计意图 这个体验活动的设计，会让学生联想到活动三所折的等边三角形不是面积最大的，因为图8所折的等边三角形的边长为AB，如果把△ABO绕点B或点A旋转，会发现这个等边三角形的边长在逐渐变大，当把△ABO中的边BO旋转到BC上或者把边AO旋转到AD上时，才是最大的，如图9，只需将GO折叠，折痕GH交AD于点H，△AHG才是最大的等边三角形！

活动五 如果将A4纸，改成一张正方形纸，想折一个最大的等边三角形，怎么折？

设计意图 这个体验活动的设计，会让学生联想到如果直接按照活动三来折叠，并不是最大的，因为如果将这个等边三角形绕顶点旋转，这个等边三角形的边长在逐渐变大，由于正方形和等边三角形都具有轴对称性，如图10，只需要将等边三角形OBC绕点B逆时针旋转15°或者绕点C顺时针旋转15°，才能得到最大的等边三角形BMN.如图11，将正方形ABCD的两组对边分别重合对折（理论3），折痕分别为EF和GH，将点C折到GH上且让折痕过点B（理论5），点C的对应点为R，折痕为BM，将点A折到EF上且让折痕过点B（理论5），点A的对应点为S，折痕为BN，过点M、N两点折叠（理论1），折痕为MN，则△BMN为正方形ABCD内面积最大的等边三角形.

活动六 基于以上的基本活动经验，你有什么体验？你还能折什么数学图形，折折看.

5 体验活动的思考

5.1 理解数学

物理和化学都是实验性的学科，学生也希望通过数学操作活动，得到真正经历和体验.数学是一门思维性的科学，思维的形成离不开体验，借助一种实物工具，通过观察，动手，动脑相结合的方式去体验，引发学生思考，促进学生对知识的理解和掌握，这才是真正的数学教学.

本节课在形式上注重以“做”为支架，引领学生经历过程，并且观察思考，手脑并用，充分体验，启思明理，借助学具帮助学生直观形象的理解知识，整个教学过程基本上都是学生在操作，通过操作来体验并感受原理，真正推动了数学课堂学习方式和教学方法的变革.

5.2 理解教学

教学主要是为学生搭建适合学生的“脚手架”，教师可通过不同的教学方式进行教学，目的是让学生对知识真正理解，做到灵活运用.学生比较容易接受具体、直观、形象的事物，初中数学教学要引领学生逐渐过渡到一般、抽象的数学.教学的理念是让学生通过“做”数学，享受完整的数学学习过程，让学生不仅知道知识从哪里来，还要知道知识要往哪里去.教学主张是手脑协同，启思明理.同时，教学要给学生带来学习方式的创新，为学生的数学学习提供资源.

本节课，笔者设计的“折等腰三角形”体验活动，一层一层，逐级上升，思维层次不断加深，逻辑思维能力逐渐上升.培养了学生的动手操作能力，让学生全身心参与课堂，真正做到经历每一个过程，充分体验并理解折等腰三角形的每一个细节.

5.3 理解学生

上课的学生是初二的学生，他们具有一定的推理能力，课堂上为学生创设动手操作的环节，学生只有通过体验，去感悟，去发现，去归纳，去总结，经历知识的形成和发展过程，才能真正去理解知识，这样的课堂才是学生喜欢的课堂，我们的课堂要始终做到以生为本，处处为学生着想，做到真正理解学生.

本节课，改变以往的传统授课模式，把主动权教给学生，让学生一步步思考，当学生遇到困难，笔者一步一步引领学生去思考.当然所有的启发性问题，由学生通过操作体验，再由学生来分析问题并解决问题.

5.4 感悟经历

初为父母时，笔者曾经给1岁多女儿讲，桌子上的水太热，不能摸，她好像不理解，有一次她的手被热水烫了，从这次经历中，她体验到，并深刻地理解，热的东西不能摸，会烫手.

初为教师时，笔者也曾因为一节课，不断的试讲，不断的总结;也曾因为一节课上的不好，而多方面去寻找原因，也曾去听一些名师的课，寻找教学的方法，获取教学的真谛;也曾因为学生不理解而闷闷不乐.笔者经历了将近10年的教学磨练，体验了每节课的收获与困惑，也逐渐明白了，教师要从学生的角度出发去思考，找准学生思维的最近发展区，从生活中去寻找教学素材，深挖教材，精心设计每节课的活动，让学生经历知识的获取过程，体验获取知识的“酸甜苦辣”.

回顾这节课，在教师循序渐进的引导下，学生从操作层面的直观经验到理性层面的邏辑思考，让操作与数学思维有机融为一体，使抽象的数学知识具体化，复杂的问题简单化，表象的问题深刻化，学生在操作过程中不仅知其然，更知其所以然[2].

通过教学活动的设计，学生在操作的过程中，数学思维也在逐渐深入，在一系列操作体验活动下，学生领悟到其中的道理，培养了学生的动手能力、空间想象和逻辑思维能力，激发了学生对学习数学的兴趣，促进学生真正理解和掌握知识，数学素养也得到了提升.

一节好的教学活动设计，需要教师设法为学生搭建促使学生参与课堂的平台，让学生主动去动手操作，去思考，去发现，去经历探索过程，只有经历了，体验了，对知识的理解才更透彻.经历探索过程，在操作中去体验，激发学生探究的兴趣，培养学生思考的热情，有利于学生调动多种感官，促进有效学习，有利于学生潜能的开发，有利于学生创新精神和实践能力的培养，有利于学生思维的生长，有利于知识、能力和方法有机地融合，有利于教师对课程资源进行深度挖掘，有利于教师水平的有效提升.同时也促进了学生数学素养的提升，促进了教师教学方法的转变，促进数学教学进一步发展.

参考文献

[1]黄燕苹，李秉彝.折纸与数学[M].北京：科学出版社，2018.

[2]黄玉华.画其图变其形明其理探其用[J].中学数学杂志，2019（4）：19—23.

作者简介 万涛，中学高级教师，南京市鼓楼区数学学科带头人.