活用一次函数巧解坐标题

左效平 崔成进

一、用一次函数探解动点的坐标

例1（2020·河南）如图1，在△ABC中，∠ACB = 90°，边BC在x轴上，A（-2，6），B（7，0）. 正方形OCDE的两边分别在△ABC的两边上，将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）.

A. （1.5，2） B. （2，2） C. （2.75， 2） D. （4，2）

解析：由A（-2，6）知正方形OCDE的邊长为2. 设E（a，2），则D（a - 2，2）.

设直线AB的解析式为y = kx + b，则[-2k+b=6，7k+b=0，]解得[k=-23，b=143，]所以y = [-23]x + [143].

由点E（a，2）在直线AB上，可得a = 4，所以D（2，2）. 故选B.

解答要点：一是确定正方形的边长与动点坐标的关系;二是用待定系数法确定直线的函数解析式;三是利用函数解析式与动点的关系求解.

二、用一次函数探解特定正方形顶点的坐标

例2（2020·甘肃·天水）如图2，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是原点，E（2，3），则点F的坐标为 .

解析：过E作EB⊥x轴，垂足为B，过F作FA⊥EB，交BE的延长线于A，

易证△BOE ≌ △AEF，则AE = OB.

因为E（2，3），所以AE = OB = 2，BE = 3，则AB = 5，于是设F（m，5），

易求得直线OE的解析式为y = [32]x.

因为EF⊥OE，所以设直线EF的解析式为y = [-23]x + b，由E（2，3）在直线EF上可得b = [133]，

则y = [-23]x + [133]. 由F（m，5）在直线EF上，可得m = -1，则F（-1，5）. 故应填（-1，5）.

解答要点：一是构造一线三直角模型;二是运用互相垂直的两直线的解析式中k值之积为-1，确定EF的解析式;三是根据点在图象上求解.

同类演练：（2020·江苏·常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西互相以长补短. 在菱形ABCD中，AB = 2，∠DAB = 120°，如图3，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是 .

答案：（2，[3]）