汽车多材料控制臂拓扑优化方法*

陈潇凯，李 超，白影春，杨子发

（1.北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081；2.北京汽车新能源汽车股份有限公司，北京 100176）

前言

随着新能源汽车的不断发展，提高汽车续驶里程和操纵性能成为新能源汽车产品有效竞争手段。控制臂作为汽车底盘结构的主要组成部分，其轻量化设计的重要性不言而喻。钢和铝合金等金属类型控制臂的设计潜力已挖掘殆尽，新材料和新结构成为进一步减轻质量和提高性能的重要途径。

在寻求新的结构形式方面，可以从生物界得到很多启发。大自然亿万年的进化孕育了众多比模量、比强度高的结构，例如蚕丝、动物骨骼和植物杆茎等。与传统材料（如金属、陶瓷等）不同，天然生物材料大多具有分级结构。例如，骨骼由骨密质、骨松质、骨髓以及包覆的骨膜组成，是一种具有多种填充材料的壳结构。骨骼具有较大的刚度、强度，能有效吸收外部冲击，且质量较轻。随着对轻量化结构的需求日益突显，具有壳特征的结构已经被广泛应用于航空航天以及建筑中。具有壳结构特征的控制臂成为了新可能，特斯拉Model 3和Model X的上控制臂使用冲压钢包覆PA6+GF50%工程塑料，实现了轻量并提高性能的目的；理想ONE的下摆臂则使用复合材料包覆高强钢，这种结构如同韧带附着在骨骼上，增加了整体强度。这两种形式的控制臂都可以看作具有壳/填充结构，控制臂内部复合材料加强筋的设计是通过巴斯夫专用CAE工具Ultrasim所开发。然而，这种将加强筋与其他结构分开单独设计的方式不可避免地缩小了整体优化问题的可行域。为了寻求更具有普适性的优化设计方法，壳/填充结构拓扑优化的发展将起到关键作用。

壳/填充结构拓扑优化是近年来逐渐发展的拓扑优化方法，具有广阔的应用前景。Clausen等提出了壳/填充结构拓扑优化的概念，通过密度空间梯度对结构界面进行识别，并产生均匀厚度的壳结构［1］。密度空间梯度也被应用于多相材料间的界面识别［2］和均匀填充［1］与非均匀填充结构［3］中。除此之外，布尔运算［4-5］、水平集法［6］和形态学算子［7］都开始应用于求解壳/单材料填充拓扑优化问题。为了将单材料填充问题向多材料转化，并考虑壳/填充多材料控制臂的整体化设计，本文中提出了一种具有局部体积约束的壳/多材料填充拓扑优化设计方法，并将其应用于汽车复合型控制臂概念设计中，为汽车控制臂或其他类型多材料复合结构的设计提供借鉴。

1 壳/多材料填充结构材料插值

1.1 结构介绍

壳/多材料填充结构是由均匀厚度的壳体和内部多材料填充物构成，如图1所示。

图1 壳/多材料填充结构

设定壳特征的材料为C，内部填充材料为材料A和材料B。考虑制造上的可行性，所有壳特征应具有相同的厚度。填充材料为各向同性复合材料、金属材料或空材料，填充材料的结构特征可以通过局部体积约束进行限制，使得材料分布均匀，从而适用于多种工况。填充材料占有较大结构体积，具有设计自由度大的特点。填充材料一般采用较为轻质的材料，例如特斯拉和理想ONE采用的PA6+GF50%工程塑料。

1.2 多材料拓扑优化实现

1.2.1 Helmholtz滤波

在拓扑优化中，标准密度滤波可有效抑制棋盘格现象的产生，以及降低网格依赖性。而基于Helmholtz偏微分方程的滤波方法［8］，既具有标准滤波器的作用，还能够实现并行计算［9］。对于各向同性材料而言，滤波后的变量x可以表示为Helmholtz型偏微分方程的解：

式中：x和x分别为滤波前后的变量；n为设计域边界外法线单位向量；r为滤波尺度参数。其中，r的值与标准滤波半径的值R具有如下等价关系：

1.2.2 Heaviside映射函数

用Heaviside映射函数将灰度单元映射为黑/白单元，滤波后的单元密度x通过如下映射函数进行转换［10］：

式中：i代表第i个单元；β为锐度；η为阈值。可将式（3）记为xˉi=H(xi，η，β)，H表示Heaviside函数。

1.2.3 多材料插值模型

为了得到壳特征以及多材料填充，采用两组设计变量μ1和μ2来建立材料插值模型，如图2所示。第1组设计变量μ1经过两步滤波［1］，将填充区域与壳区域分离开来，第2组设计变量μ2则是用于决定填充材料的种类。

图2 材料插值模型示意图

第1步滤波与映射是为了降低网格依赖性并得到0/1设计结果，也即填充结构的材料分布。第2步滤波使填充结构界面处产生密度梯度，进而利用归一化密度梯度范数和Heaviside映射，识别出填充结构边界。归一化密度梯度范数可以通过式（4）计算［1］：

式中α为归一化系数，它是最大可能梯度范数的倒数，其值只与第2步滤波的滤波半径相关：

壳结构厚度由第2步滤波的滤波半径决定：

将单材料壳/填充结构插值公式拓展为多材料插值，可得密度、弹性模量和泊松比插值公式：

式中：p为惩罚因子；ρ3、E3、ν3分别为壳材料C的密度、弹性模量和泊松比；λm1、λE1、λν1为材料A的比例系数；λm2、λE2、λν2为材料B的比例系数。各比例系数与材料A和材料B的模量和泊松比具有如下关系：

式中：ρ1、E1、ν1分别为填充材料A的密度、弹性模量和泊松比；ρ2、E2、ν2分别为填充材料B的密度、弹性模量和泊松比。

由式（7）～式（11）可以看出，最终的材料插值模型由变量φ1、φ2和确定，极限情况下材料插值规律由表1所示。考虑3种等于0的情况，设惩罚因子p为3，λE1为0.4，λE2为0.6，可得填充材料弹性模量中间密度插值，如图3所示。

表1 极限情况下材料插值规律

图3 填充材料弹性模量

2 多材料局部体积约束方法

为了使得材料分布较为均匀，可以通过局部体积约束来实现。Wu等将局部体积约束应用于单材料壳-非均匀填充拓扑优化中，通过p范数将局部体积约束整合为拓扑优化问题的外加约束［3］。为了避免p范数近似代替无穷范数带来的误差，并结合Dou提出的隐式局部约束方法［11］，提出了一种改进的多材料壳-填充结构局部体积约束方法。

局部体积约束通过限制各个体积单元附近填充材料区域占比，避免了填充材料过度聚集的情况。假设对填充材料B的结构特征进行最大体积约束，以每个填充材料B单元i附近圆形区域为研究对象，如图4所示。

图4 填充材料B单元i的局部约束区域

设半径为R的圆形区域为Ωi，则圆形区域内填充材料B所占体积分数计算表达式为

式中：Vi为第i个单元所属圆形区域填充材料B所占体积分数；vj为第j个单元的体积为第j个单元材料B的相对密度。

多材料拓扑优化局部体积分数约束要求填充材料B单元i所属的圆形区域内填充材料B占比少于某一比重ε，即

设修正参数域ψ为

式中：H为映射函数；βc为锐度；ηc为阈值。其中，ηc=ε。当锐度βc→ ∞时，修正参数域ψ可以表示为

由此可知，当βc的值很大时，修正参数域ψ中的值可视为逻辑变量。它将对变量φ2进行修正，从而将局部体积约束嵌入插值公式中，避免了在求解器中另外增加约束条件。修正方法为使用修正后的变量φs代替式（7）～式（9）中的φ2：

3 多材料控制臂算例分析

3.1 多工况优化问题

控制臂作为底盘部件，其受载工况复杂，控制臂拓扑优化问题应包括多种工况。采用理想点法对控制臂进行多工况拓扑优化设计，首先分别求出各个单工况下拓扑优化目标的最优值，以各单工况最优值为理想点，在多工况优化时使各个目标尽可能接近各自的极小值来获得它们的解。以各工况下柔度最小为优化目标，多工况拓扑优化问题的描述如下：

式中：m为工况数目；ck为第k个工况中控制臂的柔度；ck*为第k个工况的单目标拓扑优化的最优解；g为控制臂总质量约束条件；M为控制臂设计域总质量 为控制臂设计域质量上限。其中柔度c可以通过下式计算：

式中k i为第i个单元的单元刚度矩阵，它是关于弹性模量Ei和泊松比νi的函数。

3.2 控制臂问题简化

以某新能源车型为例，其下控制臂原型是由钢板冲压拼焊而成，如图5所示。为了进一步减轻控制臂质量、提高强度，使用壳-填充多材料拓扑优化方法对控制臂进行重新设计，其设计域和非设计域如图6所示。

图5 钢制控制臂原型

图6 壳-复合材料填充控制臂设计域和非设计域

非设计域将使用钢制材料，设计域使用钢、各向同性复合材料和无材料3种单元。其中，钢和复合材料分别选用热轧双相钢BR650和PA6.6-GF50［12］，其材料属性如表2所示。壳材料C设为热轧双相钢BR650，填充材料A设为无材料，由此得材料A的弹性模量相对系数λE1、质量相对系数λm1和泊松比相对系数λν1均为0。将填充材料B设为PA6.6-GF50，其弹性模量相对系数λE为0.15，质量相对系数λm为0.23，泊松比相对系数λν为0.57。

表2 控制臂材料属性

为简明起见，在算法有效性示例过程中将三维控制臂设计域简化为二维模型，工况条件仅选择2种典型工况进行示例，简化后的控制臂设计域和工况边界条件如图7所示。两个工况都将控制臂前点A的X和Y两个方向位移完全约束，并约束控制臂后点B的X方向位移。工况1和2分别为侧向刚度工况和纵向刚度工况，工况1在控制臂外点C处施加Y方向的力Fy，工况2在控制臂外点C处施加X方向的力Fx。为了提高数值计算效率，将所有材料的弹性模量进行如下无量纲化处理：E2=Esteel/Esteel，E1=Ecomposite/Esteel。将侧向力Fy和纵向力Fx都设置为1。优化的质量分数设置为11%，即控制臂设计域质量的最大值为完全钢材料填充的11%。设置有限元单元为2.5 mm×2.5 mm的正方形单元，滤波半径R1、R2和R3分别为25、12.5和12.5 mm，由式（8）可知，控制臂壳特征的厚度为5 mm。

图7 二维控制臂模型多工况和边界条件设置

3.3 拓扑优化结果

根据多工况优化问题的求解步骤，首先对各个单工况下的控制臂进行拓扑优化，各工况下拓扑优化结果如图8所示，黑色区域为钢材，灰色区域为复合材料。其中，工况1下的柔度为24.41，工况2下的柔度为588.90。工况1由于只受Y方向的力，因此，材料主要集中于图8中工况1左侧区域。而工况2受X方向的力，在3个硬点附近均有材料分布。

图8 单工况条件拓扑优化结果

综合两种工况，采用理想点法再次对控制臂进行拓扑优化设计，所得结果如图9所示。其中，工况1的柔度结果为42.11，工况2的柔度结果为597.81，两种工况结果均与理想点较为接近，相比较而言，工况2更为接近理想情况。而对于工况1而言，其理想情况的材料分布较为集中，因此与多工况情况下柔度相差较大。整体而言，两种工况的柔度都处于较为理想的水平。

图9 多工况拓扑优化结果

由图9可以看出，多工况结果更多偏向于纵向刚度，但与纵向刚度单工况分析相比，其中间空白部分增加了承受侧向力的结构，用于适应侧向刚度工况。

拓扑优化为概念设计，将拓扑优化结果转换为实体三维模型时应根据实际情况进行调整，例如适当增加结构圆角以减少应力集中，并且在结构未连接的斜梁之间添加连接等。以多工况优化结果为基准，参考工程经验，将拓扑优化结果转换为三维结构模型，如图10所示。

图10 壳-填充型多材料控制臂

由于壳-填充型多材料控制臂拓扑优化仅对控制臂主体部分进行设计，因此在进行质量对比时仅对比主体部分的质量。原钢制控制臂主体部分质量为2.19 kg，壳-填充型多材料控制臂主体部分为1.90 kg，相比于钢制结构轻量13.2%。

3.4 强度校核

整车多体动力学分析得到转向和制动两种工况下的控制臂所受载荷如表3所示，据此对控制臂进行强度校核。在ANSYS软件中进行静力学分析，分别对壳-填充型多材料控制臂以及原钢制控制臂进行有限元分析，Von Mises应力结果如图11和图12所示，单位为MPa。两种工况下最大应力和最大变形对比结果如表4所示，对照表1中屈服强度可知，壳-填充型多材料控制臂在转向和制动两种工况下具有足够强度。转向工况下，壳-填充型多材料控制臂相较于原钢制控制臂应力水平降低55%，最大变形量降低40%；而制动工况下壳-填充型多材料控制臂相较于原钢制控制臂应力水平降低40%，最大变形量降低29%。因此，所提出的壳-填充型多材料控制臂概念及设计方法能够在减轻质量的同时，还具有更高的刚度和强度，具有较大轻量化潜力。

表4 多材料与原型控制臂对比分析

图12 制动工况应力云图

表3 控制臂转向和制动工况受力

图11 转向工况应力云图

3.5 模态分析

控制臂作为底盘部件，承受振动冲击，其模态对整车NVH性能起到关键作用，分别对所得壳-复合材料填充控制臂和原型控制臂进行自由模态分析，其1阶模态分别如图13和图14所示。多材料控制臂频率为393 Hz，原型控制臂频率为673 Hz。由于新能源汽车无发动机共振，因而仅需考虑路面激振频率的影响。根据工程实践经验和有关企业技术标准，要求本车型控制臂1阶模态大于200 Hz。由于采用了更为轻质的材料，多材料控制臂1阶频率与原钢制控制臂相比较小，但仍能避开路面激振频率，满足汽车NVH性能需求。

图13 多材料控制臂1阶模态振型

图14 原型控制臂1阶模态振型

4 结论

新近出现的复合型多材料控制臂具有良好的轻量效果和性能水平，但其整体化设计方法仍在探索阶段。本文中提出了一种基于局部体积约束的壳/填充多材料拓扑优化方法。

该方法通过密度空间梯度来识别结构壳特征，通过两步滤波方法和新增变量来实现壳/多材料填充拓扑优化。以3种不同材料为例，建立了多材料密度、弹性模量和泊松比的插值模型，并对材料插值模型中变量的逻辑关系进行分析。采用隐式局部体积约束施加于材料控制变量，解决了多材料问题场景下局部体积约束无法通过p范数施加的问题，并避免了在优化求解器中增加额外约束条件。

为验证优化方法的有效性，以具体车型的复合型控制臂开发为例，进行多工况多材料拓扑优化设计。优化设计结果表明，相较于原钢制控制臂，所优化得到的壳-填充型多材料控制臂质量减轻13.2%。对所得壳-填充型多材料控制臂进行强度和模态校核，结果表明其强度满足要求，且应力水平大幅降低，转向和制动工况下应力降幅分别达55.0%和39.7%。所提出壳-填充型多材料控制臂具有较好的轻量化潜力和应用前景，并能够为其它类型的多材料轻量化结构设计优化提供理论参考。