对教材中一道习题答案的商榷

田阳阳

（南京师范大学附属中学丁家庄初级中学，江苏 南京 210028）

苏科版物理9年级上册第11章第2节滑轮的WWW部分设置了这样一道习题.［1］

例题.用绳和木棍体验“滑轮组”的威力.

两位同学各持一根较光滑的木棍，在相距1 m处面对面站立.另外一位同学取一根绳子，将绳子的一端系在其中一根木棍上，再按图1所示依次绕过两根木棍，然后缓慢地拉动绳子的另一端，结果会怎样？

图1

教师教学用书中参考答案：［2］实验中发现，轻轻拉动绳子的自由端，用较小的力就可使两根木棍靠拢.绳子在木棍上绕的圈数越多，拉绳时所需的拉力F越小.

笔者对参考答案的第2句话：“绳子在木棍上绕的圈数越多，拉绳时所需的拉力F越小”有不同的见解，认为其值得商榷.

现分析如下：在两根木棍被拉动之前，绳子与木棍之间存在静摩擦力.这会导致各段绳子中的张力不相等.

为说明这一点，如图2所示，对与木棍接触的一长为d l的绳元（绳元所对圆心角为dθ）受力分析，该绳元两端的张力分别为F和F+d F，d f为木棍对绳元的摩擦力，d FN为木棍对绳元的正压力.在绳元将要滑动的临界状态（此时最大静摩擦力等于动摩擦因数μ0与正压力的乘积）时，分析如下.

图2

不计绳子质量，绳元受到的合力为0，分别在切向和法向列出平衡方程

将（3）式代入（1）式得

将（4）式代入（2）式并略去高阶微量得

绳元将要滑动

联立（5）～（7）式得

将（8）式两边同时积分

得

其中F0为绕过木棍前绳中张力，F为绕过木棍后绳中张力.

将右边的木棍记为甲木棍，将左边的木棍记为乙木棍，同时将各段绳子中的张力Fi标记好，如图3所示.假设当一位学生对绳子的自由端施加拉力F时，绳子处于将要滑动的临界状态.则

图3

比较（23）、（24）两式得F甲＞F乙，假设两位抓住木棍的学生所能施加的最大拉力均为20 N，则甲木棍先被拉动.当甲木棍处于刚要运动的临界状态时F甲=20 N.将F甲=20 N代入（23）式得此时绳子的自由端所需的拉力为

利用 MathCAD软件可以画出（26）-（28）3式的图像，如图4所示.

图4

由图像可见，存在一个临界圈数n0（动摩擦因数μ0越大，临界圈数n0越小）.

当n＜n0时，随着n的增加，拉力F逐渐减小；

当n＞n0时，随着n的增加，拉力F几乎保持不变.

同时，由图像还可发现，当n一定时，动摩擦因数μ0越小，拉绳时所需的拉力F越小.

由以上分析可知：

参考答案的第2句话：“绳子在木棍上绕的圈数越多，拉绳时所需的拉力F越小”是不严谨的.因为只有当绕的圈数小于临界圈数时，这一表述才成立.

综上所述，笔者建议将本题参考答案的第2句话删除，或修改为：“适当增加绳子在木棍上绕的圈数，可以减小拉绳时所需的拉力F”.