逆为核心，让“意义”与“关系”比翼齐飞

朱孟迪

【摘   要】加法概念与学生经验相符，容易建构;减法概念与原有经验偏离，较难建构。减法没有专属自己的概念词，是从“逆关系”的视角加以描述的。随着负数的引入，减法终将纳入加法体系。因此，加法模型是四则运算的基础，更是构筑数学知识大厦的重要基石。教学中，紧抓“逆为核心”的教学策略，可以实现加减法的意义共同推进，加减法各部分间的关系比翼齐飞。

【关键词】加法意义;减法意义;逆运算;加减关系

《加法和减法》这节课主要有两大教学任务：理解“加减法的意义”和掌握“加减法各部分间的关系”。这节课常见的教学流程是：呈现加法学习素材→建构加法概念→举一反三丰富素材→发现加法各部分關系→建构减法概念→讨论各部分间的关系→练习深化。这样做，将加法与减法的概念分离、将各部分间的关系分开，使得教学整体性不强，结构松散，学生会因为学习内容缺乏挑战性、概念理解抽象枯燥而觉得索然无味。

那么，能不能找到一条线，将散乱抽象的点状学习材料都“串”起来，“拎”起来？

一、寻找思维依据：在概念与关系中找到“逆为核心”

（一）“加减概念”的价值取向——“逆为核心、概念同行”的可行性

1.建构“加法概念”的思维依据

任何一个概念都是在遇到问题、分析问题和解决问题的过程中经过逐步归纳、总结而得到的。史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出，加法有两种方式：一种是对应，一种是定义。小学教材一般采用的是定义的方式，鲜有对应的方式呈现，常见如下。

定义一：加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。定义二：把两个数合并成一个数的运算，叫作加法。定义三：求两个数的和的运算，叫作加法。

从数学逻辑上来分析，这些定义其实都体现了把两个子集合并成一个集合的过程，其中子集A与子集B没有交集，是它们的并集的真子集;倘若子集A与子集B有交集，那就是人教版三年级上册《数学广角》中的“集合”了，是求并集的另一种情况。无论哪一种加法，都为学生后继学习打基础。

除此以外，教学加法的定义时还要关注学生如下思维过程：（1）理解等号的对称性。在低段，等号看起来是表示从左往右的顺序，但当学生学习方程后就知道，等号还可以是连接左右两个相等的量的符号。这对接下去加减法关系的教学，有一定的帮助。（2）关注数学的抽象性。数量是对生活的抽象，而数是对数量的抽象。如学生自主表征“1+2=3”时可能举例：1个苹果与2个苹果合并起来就是3个苹果，其实质是“把两个数量合并成一个数量”，还需抽象至把“1”和“2”两个数合并成一个数“3”的运算。

从学生的经验上来分析，四年级的学生虽然对加法运算有着丰富的实践经验，但他们无法对加法的本质进行抽象概括。教师引导并提炼加法的概念，比较容易，因为其概念本质与学生头脑中的原有经验一致，是顺学而导，关键需要提炼出“合并”这个关键词。

2.建构“减法概念”的思维依据

减法一般有两种定义。定义一：从一个数中减去另一个数的运算叫作减法。定义二：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫作减法。

随着学习的深入，尤其是数系的扩充，定义二更有张力。

从数学逻辑上来分析，建构定义二时必须从加法切入，它完全站在“减法是加法的逆运算”这个角度。在这样的背景下，减法的概念没有自己的专属词，而是紧紧依托加法定义中的“加数”与“和”。那么，教材为什么没有单独定义减法呢？因为从初中开始，就只有加法没有减法了。如5-3，可以理解为5+（-3）的意思，以此可以类推至乘除法的意义。可见，减法的概念完全建立在“逆运算”这层关系上。

从经验上来分析，学生从一年级开始接触最多的是定义一，头脑中有着十分丰富的表象。倘若让他们自主表征，他们会更多地纠缠于定义一上，虽然不能说它错，但又难以引导至定义二。因此，要想建构定义二并不容易。

综上所述，加法的概念学生容易理解，它建立在学生的原有认知上，而减法的概念比较难理解，其呈现方式与学生的原有经验存在偏差，需要教师创设合理情境，进行必要的引导。减法的概念完全建立在“逆运算”这层关系上，虽然减法概念的建立和理解，需要学生调整已有认知结构，对原认知经验进行改造，但只要借助“逆”关系，就可以顺学而导，这为“逆为核心”的教学提供了充分的条件。

（二）“加减关系”的价值取向——“逆为核心、关系同行”的必要性

1.建构“加减内部关系网”的思维依据

在加减概念的支撑下，学生再度认识了各部分名称，通过讨论与总结，教材呈现如下两组关系。

这些关系是按“加法内部关系”与“减法内部关系”进行罗列的，其重点是根据这些关系来帮助学生解决相应位置下的数据。例如，3+（   ）=5，就是“已知加数3与和5，求另一个加数是几”，可以根据“加数=和-另一个加数”这个关系来计算，即5-3=2。

这些内部关系之间存在着“逆运算”的关系。在加法各部分之间的关系中，“加数=和-另一个加数”是“和=加数+加数”的逆运算;在减法各部分之间的关系中，“差=被减数-减数”，而“减数=被减数-差”又是“被减数=减数+差”的逆运算。

这个发现，为设计“逆为核心”的教学提供了依据。

2.建构“加减外部关系网”的思维依据

将上述五个关系式再度进行梳理、整合，并重新分类，得到以下关系式。

加减外部存在着千丝万缕的关系。例如，（   ）-3=5，既可以利用“被减数=减数+差”来计算（其实质为3+5），也可以利用“和=加数+加数”来解答，它们仅仅是观察角度不同，名称叫法有所区别而已。其本质都可以归结为加法的意义，这就为学生记忆加减关系式减轻了负担。从大处看，右边的减法都是左边加法的逆运算。这些发现，都为“逆为核心”的教学提供了新的视角。

3.建构“逆为核心、关系同行”的可行性

为了解学生能否适应“逆为核心”的教学，笔者对四年级两个班的学生进行了前测，测试结果如表1所示。

前测结果表明，本课学习之前，79.2%的学生听说过“减法是加法的逆运算”，62.5%的學生已经能用“加减关系”来理解“逆运算”。在追问这些作品的道理时，超过50%的学生已然能举例解释加法的意义以及逆运算关系。

综上所述，从数学的逻辑结构上来分析，无论是“加减关系”钩织的内部网还是外部网，都为“逆为核心”的教学提供了依据与可能。从学习者的经验上来分析，该年龄段的学生已经充分地积累了加法与减法的运算经验，也能发现“减法是加法的逆运算”的内部逻辑关系。这些都为“逆为核心”的教学提供了思维导向。

二、寻找思维路径：建构“逆为核心”的教学脉络

贴合学路，找准起点，方能设计出一条合理的教学脉络。本课教学的两大教学任务“加减法的意义”和“加减法的关系”都可以围绕“逆”字展开（如图1）。

“减法是加法的逆运算”中的“逆”是本路径的核心。这个“逆”关系不仅体现在“加减法的意义”上，更体现在“加减法各部分之间的关系”上。“逆为核心”的教学，就是关系角度的教学。学生借助“逆”关系的探究过程，建构加、减法的概念，形成加减“逆”关系的感悟。与此同时，借助“逆”关系，架起了加法内部关系式、减法内部关系式、加减关系式之间的桥梁，形成了以“加法模型”为基础的加减法关系网。在这样的框架下，设计教学流程（如图2）。

三、解决思维困点：搭建“逆为核心”的思维结构

贴合学路，解决思维困点，就得准确掌握知识的“逻辑起点”和学生的“现实起点”，优化学生的“学习之路”，最终达到提高课堂效率的目的。

策略一：逆为核心，概念建构齐头并进

【教学片段1】自主表征、合作交流建构“逆”

教师出示任务：“减法是加法的逆运算。”你能根据自己的经验解释一下这句话吗？你可以列一列算式，画一画草图，写一写文字，来表达自己的想法。

学生完成后，教师组织全班交流。

（1）作品一：（算式）   5+3=8         8-3=5

生：加法是把两个加数加起来，减法是从“和”里面减去一个加数。

生：减法是告诉你“和”与其中一个加数，求另一个加数。

师：是吗？让我们找一找，减法中的8，相当于和;减法中的3，相当于加数;减法中的结果，相当于另一个加数。（形成板书，如图3）

师：他发现，加法是告诉我们加数与加数，求和;减法是告诉我们“和”与其中一个加数，求另一个加数。这就是你们心目中的逆运算，对不对？

（2）作品二：线段图

师（出示图4）：这幅线段图逆在哪里呢？

生：左边是把两个数5和3加起来;右边是已知一个加数5与“和”8，求另一个加数，或者是已知一个加数3与“和”8，求另一个加数。

师：你的意思是左边这个线段图告诉我们加数与加数，求和;右边两个线段图告诉我们“和”与一个加数，求另一个加数。与刚才相似嘛！这位同学还从一道加法，变出两道减法来，真不错。

（3）作品三：（文字）加法是越加越大，减法是越减越小

生：加法是越加越大，减法是越减越小，所以减法是加法的逆运算。

师：你能举个例子吗？

（生举例：7+2=9;7-2=5）

师：这是他的理解。你能根据这个加法算式（7+2=9），变出两道减法吗？

（学生写出：9-2=7;9-7=2）

师：你们看（如图5），一变就变出了“逆”的感觉。同学们看看，7-2=5是这道题的逆运算吗？（不是的）那它是怎么逆过来的呢？（2+5=7）

师：同学们真厉害，借助自己的经验，想到多种方法来解释“减法是加法的逆运算”。（把图3、图4、图5放在一起）现在你们来说说看什么是加法，什么又是减法。（板书概念，齐读）

师：你们看，减法好可怜呀！它没有专属自己的核心词，而是紧紧依靠加法中的“加数”“和”这样的核心词。正因为如此，我们更加感受到减法是加法的逆运算。来，让我们再来读一读——你读出“逆”的感觉了吗？真好！

设置符合学生学情的情境，抛出“减法是加法的逆运算，你能根据自己的经验解释一下这句话吗”这个大问题，让加减概念得以齐头并进。这样的设计是以往教学中不常看到的。实践表明，学生有能力自主表征，在反馈交流的过程中能够准确理解加法的概念。由于问题紧紧围绕的是“逆运算”，学生对减法概念的习得不再纠缠于“总量—部分量”的定义一，而是嫁接于“与加法的关系”上，这一点在作品三的交流与反馈中，得到充分体现。这样的教学为顺利地实现概念建构，突破教学的难点提供了新的视角。

策略二：逆为核心，组块练习深化意义

【教学片段2】充实素材再议“逆”

题组1：“不求解”中强化关系理解。

快问快答——已知什么？要求什么？（如图6）

这是一组针对性练习，针对加减法的各部分关系而设计。学生回答后要追问：“你认为哪些题要逆过来进行思考？”进一步引导学生关注“逆”关系。

题组2：具体问题中抽象内化运算意义。

这一组练习分为两层推进（如图7、图8），感受不同的“加法”和“减法”结构所体现的相同意义。学生发现，随着信息和问题的交换，同一个“数学故事”解决问题的方式就会“互逆”。线段图能帮助学生更好地理解加减法的意义。

题组3：编题中感受“互逆转化”（如图9）。

“运走”“剩下”是减法问题中常见的信息描述语。求“原来”是逆推。通过这一题的解答以及随后的自行编题“你能把这道题的问题和信息逆过来，改编成用减法解决的问题吗”，让学生从题组的对比中感知问题中蕴含的加减法关系。

题组化练习对学习素材进行了补充，在“逆过来思考”“举一反三”“逆推”等方式的作用下，学生的思维总是交织于“逆”这个核心点，既巩固了加减法的意义，又借助各类学习素材丰富了“逆”关系的类型。尤其是题组3中“逆推”的呈现，将学生思维中的“和”与“被减数”进行了联结，为接下去的建构加减外部关系网埋下了伏笔。

策略三：逆为核心，建构加减关系网

【教学片段3】建构结网深化“逆”

（1）回忆旧知，进行联系

师：同学们，你们有没有发现，“减法是加法的逆运算”这个原理似曾相识？

检验减法计算结果是否正确，可以用加法来验算（如图10）。一图四式中，既有加法，又有减法。计算减法时，也可以利用逆运算快速得到答案（如图11）。

（2）整合理解各部分关系

①動笔解答

23+（ ）=125，125-（ ）=23，125+23=（ ），

（ ）-125=23，（ ）-23=125， 125-23=（ ）

②分类观察

师：根据答案给它们分分类，你有什么新的发现？

生：我发现，和=加数+加数;加数=和-另一个加数;被减数=减数+差;减数=被减数-差;差=被减数-减数。

生：我发现，求和与求被减数竟是一样的！

师：哦？有这么神奇的事儿？（引导学生再观察算式，并形成这样的板书：和=加数+加数;被减数=减数+差）

生：我还发现，求加数，与求差、求减数，也是一样的。（教师板书：加数=和-另一个加数;减数=被减数-差;差=被减数-减数）

师：同学们，这些加减算式中，竟然还存在如此多的关系，我们看到了它们“变中有不变”的意蕴！现在，你认为加法和减法，哪个更基础？（加法）是呀，有时它这样呈现——告诉我们两个加数;有时它这样呈现——只告诉我们一个加数。只要我们找到基本关系，用火眼金睛进行辨析，就可以很快得到答案。

当学生惊奇地发现“求和与求被减数竟是一样的”时，加法与减法的外部结构网就已打开。众所周知，“加减关系”存在着千丝万缕的关系，加法是基础，是学生顺向的思维方式，这为学生进一步理解减法和后续学习提供了思维支撑。扎实“加法模型”，将推导出的其他关系式梳理成网，能够帮助学生减轻名称上的记忆负担，提高学习实效。

《加法与减法》这节课不应按部就班依次教学加法的意义与减法的意义，不能分门别类分离教学加法内部关系与减法内部关系。教师可以借助“逆为核心”这个新视角设计教学，进而实现加减法的意义共同推进，加减法各部分间的关系比翼齐飞，提高教学的实效。

参考文献：

[1] 史宁中.基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013.

（浙江省慈溪市崇寿镇中心小学   315334）