2021年本刊原创题(五)

2021-08-21 13:59吕朋付晓丽
初中生学习指导·中考版 2021年7期
关键词:纵坐标表达式过点

吕朋 付晓丽

1. 如图1,抛物线[y=ax2-x+c]与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),连接AC,BC,直线[y=12x+32]经过点A,交BC于点D,将△COD沿着直线BC翻折得到△CMD,连接OM. 过点O作OE⊥OD交直线AD于点E.

(1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式.

(2)求证:四边形OMDE是平行四边形.

(3)在直线AD上是否存在一点P,使得∠OPM = 45°?若存在,请直接写出点P的纵坐标;若不存在,请说明理由.

2. 如圖2,抛物线[y=ax2+bx-3]与直线BD交于B [43,0],D(-4,-4)两点,与y轴交于点C,点P是直线BD下方抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为点F,交直线BD于点E,连接PD.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)连接DF,设△DEF的面积为S1,△PDE的面积为S2,当S1 = S2时,求点P的坐标.

(3)在(2)的条件下,若直线BD与y轴交于点G,连接FG,以点F为圆心,FG长为半径画圆,点M为⊙F上一动点,连接CM,DM,当点M运动到某一位置时,使得CM + [12]DM有最小值,请直接写出这个最小值.

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