“两证三求”学立几 突出重点提效率

陈波

摘要：本文用"两证三求"的提法概括立几重点内容及高考常考知识点，并对其思路方法进行系统总结，揭示了常见规律，最后用实例说明。

关键词：立体几何重点;两证三求;常用基本思路方法

（本文系章节复习指导类稿件，如果高一版编辑采用可删除文中向量法内容，高二高三版可保留。）

立体几何内容繁多，要求空间想象能力强，逻辑思维缜密，形成一定学习难度，抓住重点问题并掌握通性通法是学好立几之要领。

一.“两证三求”概况的重点内容及方法

（一）两证

1.证平行  三级平行问题常常是利用平行的判定和性质相互转化：

线线平行 ←→ 线面平行 ←→ 面面平行

即根据判定定理由低级平行可证高级平行，根据性质定理由高级平行可证低级平行。

证明直线与平面内的一条直线平行是基础，在平面内找出一条直线与已知直线平行是要领。主要是利用三角形中位线定理，平行四边形性质和线面平行的性质。

2.证垂直  三级垂直问题常常是利用垂直的判定和性质相互转化：

线线垂直 ←→ 线面垂直 ←→ 面面垂直

即根据判定定理由低级垂直可证高级垂直，根据性质定理由高级垂直可证低级垂直。

证明直线与平面内两相交直线垂直是基础，在图形中找出一条直线与平面内直线垂直是要领。主要是利用相关角是直角，等腰三角形底边中线性质，勾股定理的逆定理和线面垂直的性质。

（二）三求

1.求面积和体积  几何体的侧面、底面面积常根据侧面展开图和底面的形状选择公式求解，体积也是根据几何体形状选择公式求解。对于不规则的表面和几何体常考虑割补法，对于不方便求高或底面积的情况常考虑等体积法进行转化。

2.求空间距离  主要是求点面距：一是过点作垂直于平面的直线，通过解三角形求垂线段长。二是用等体积法求高得点面距。

3.求空间角

（1）异面直线所成角

【定义法】一般步骤：①过一点平移异面直线中的一条或两条;②交代所作角是异面直线所成角或补角;③解出该角所在三角形;④若所作角为钝角时，应取其补角。

【向量法】一般步骤：①取两异面直线的方向向量 、 ;

②计算 ;③根据公式  ，求 （ ）

（2）斜线与平面所成的角

【定义法】一般步骤：①斜线上取一点，过该点引平面的垂线，连接垂足和斜足得射影;

②交代斜線与射影所成的锐角是所求角;

③解直角三角形求得角的大小。

【向量法】一般步骤：①求得斜线的一个方向向量 ;②根据 ，求得平面的法向量 （ ， 为平面内两相交直线的一个方向向量）;③计算 ④根据公式  ，求 （ ）

（3）二面角 的平面角

【定义法】①在棱 上取点M，过M在两个面 内作射线 ;②指出 是二面角的平面角;③解 得 的大小。

值得注意的是，有时不是直接过M作两条射线垂直于棱，往往是先作一条 ，再作 于 ，连 ，后证明

【向量法】①根据 确定平面 的法向量 （ ， 为平面 内不共线的两向量），同理确定 的法向量 ;②计算 ③根据图形及已知条件判断 的范围，若 为锐角，由 求 ，若 为钝角，则由 求

二、典例示范

（2012年课标全国理科卷改编题）