“将军饮马”问题的物理解法

彭兴强

摘要：初中物理光学作图根据成像原理寻找入射点的作图非常有趣，特别是其作图步骤和数学“将军饮马”问题极其相似，可见数学和物理的紧密联系。有不少物理問题采用构建数学模型进行解决，本文将数学问题采用构建物理模型进行解决，增强了此问题的趣味性。

关键字：将军饮马;物理模型;最短问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图 1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？

解题原理这里不再叙述。解题方案是作出A点关于小河l的对称点A′，然后连接A′B，交l于点P。那么AP+BP为最短。

这个作图法和八年级物理中的一道光路作图极其相似，如图 2所示。从A点发出的光经平面镜反射后到达B点，根据成像原理找到入射点P和对应的入射光线和反射光线。

做完这两道题后，同学们为物理和数学的关联性无比惊叹，又为它们的区别更为神往。

这里还有一道题更为神秘。

如图 3，AB可以在平行线mn间平移，P为一定点。当AB平移到什么位置时可以使AP+BP最短？

将此题变成物理问题的做法如下：将mn构造成带有滑槽的平行导轨，AB为两端带有滚轮的金属棒，P点为一带有滑轮的固定点。一根长度适宜的橡皮筋的两端分别固定在A点和B点，橡皮筋跨过P点的滑轮并且能够一直处于伸长状态，如图 4所示。将AB在滑槽上滑动后松手，那么AB停下后位于什么位置？

这里的夹角相等与“将军饮马”问题又有什么关联呢？且看数学求解过程。

在数学问题中，如图 5所示，过P点作n的平行线l。那么AB在mn间的平移等效于P在l上的平移。所以此问题就转化为刚开始描述的“将军饮马”问题。解法是作出A点关于l的对称点A′，连接A′B，与l相交于P′点，此时AP′+BP′最小。很容易证明AP′和BP′与l的夹角相等。

所以物理方法和数学方法得出的结果是一致的。

将数学问题转化成物理模型，不仅可以增强问题的趣味性，还可以将物理和数学联系得更加紧密，让人体会物理所含的数学原理和数学的物理意义。

参考文献：

[1]林群.数学 八年级上册[M].北京：人民教育出版社，2013：85.

[2]彭前程.物理 八年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012：78.

[3]将军饮马问题的妙用[J].数学学习与研究：教研版，2011：60-61.