新课程 新教材 新高考：高中数学解题与命题的新思考

张耀雄

[摘  要] 在当前新时代的背景之下，高中新课程改革正在进入一个新的阶段，2022年前全国普通高中将全面实施新课程、新教材. 课程是一个非常重要的概念，所有学科的教学都是在课程标准的范围之下进行的，在当前面临新高考的背景之下，教师应当认识到新课程给高中数学解题与命题的研究搭建一个新的框架. 教材在高中数学解题与命题的过程中，仍然发挥着重要的基础性作用. 关于新高考的理解正引导着包括高中数学学科在内的课堂走向，因此新高考对于高中数学解题与命题的指向作用是不言而喻的.

[关键词] 高中数学;解题;命题;新课程;新教材;新高考

教学对于每个教师来说，是一件再寻常不过的事情，但就是在这个寻常不过的事情当中，却蕴含着丰富的联系. 对于每位高中数学教师来说，要认识到教学原本是在课程的视角下进行的，教师所教学的内容既可以说是教材上的内容，也可以说是课程中的内容;与此同时，教学又必然面对着考试评价，而考试对于高中学生来说是最重要的学习目标，考试所发挥的指挥棒作用，直接影响着教师的教与学生的学. 特别是在当前新时代的背景之下，高中新课程改革正在进入一个新的阶段，2022年前全国普通高中将全面实施新课程、新教材. 很显然，新课程、新教材以及新高考，将给当前的高中数学教学带来深刻的变化. 相应地，教师对基于数学新教材与核心素养的教学必须要有新的理解和思考，尤其是教师必须理解核心素养、理解新教材、理解基于核心素养的教学、理解信息技术与教学的深度融合、理解数学建模在数学教学中的重要性，才能在新教材的教学中更好地落实核心素养，把握教学方向. 本文从重点高中数学解题与命题两个角度，谈谈笔者的一些思考与实践.

[?] 新课程：高中数学解题与命题的新框架

课程是一个非常重要的概念，所有学科的教学都是在课程标准的范围之下进行的. 在当前面临新高考的背景之下，教师应当认识到新课程给高中数学解题与命题的研究搭建一个新的框架，对于这个框架的理解，可以从数学学科核心素养角度来进行. 数学学科核心素养包括六个要素，即数学抽象、逻辑推理、数学建模，以及数学运算、数据分析、直观想象. 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，明确要求学生在数学学习的时候能够体会到数与代数运算的意义，以及相关的算理等，还要求学生能够在相应的情境中运用数学运算、数学模型去解决实际问题;与此同时，数学思考也是新课程框架之下的一个重要概念，数学思考具体表现为学生在数学学习与问题解决过程中的数感、符号感、空间观念、统计意识等. 而从思维发展的角度来说，高中生还要具有数学的思维能力和自主学习的能力，要在学习的过程中培养必要的解题能力，这样才可以学好数学知识. 所以，学校和数学教师在进行数学教学的时候一定要重视培养学生的数学学习能力以及数学解题能力，这样才可以满足新课程的要求.

例如，《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（    ）

A. B.

C. D.

这样一个数学题目考查的是等差数列的知识，而问题的情境则来源于我国著名的数学经典著作《九章算术》. 应当说这样的情境具有很典型的文化特征，对于高中学生来说，能够让他们在习题解答的过程中接受一定的文化熏陶，同时又不影响对学生所掌握的数列知识的考查. 因此这样一个题目的命制，就体现出了新课程对数列知识的考查需要. 如果分析学生的解题过程，那么学生必然会对情境中的素材进行数学抽象，也就是将具体的生活情境转换为数学问题，这考查了学生的数学抽象能力;而学生对情境中的数据进行分析的时候，又考查了学生的数据分析以及基本的数学运算能力;最后学生运用等差数列模型来解决问题，这实际上又考查了学生的数学建模能力. 因此从学生解题的角度来看，教师应当让学生充分体验这些过程，从而让数学学科核心素养真正落地.

[?] 新教材：高中数学解题与命题的新基础

新课程必然对应着新教材，新教材也必然体现着新课程的基本理念. 虽然今天的高中数学教学，尤其是试题的命制已经不再强调“以本为本”，但是不可否认的是，教材在高中数学解题与命题的过程中，仍然发挥着重要的基础性作用. 事实表明，高中数学解题与命题必须高度重视对教材上典型题目的延伸与拓展. 在新高考背景下，很多高考题目也确实都能在教材或者平时的习题中找到“原型”. 因此，无论是在试题的命制过程中还是在解题教學中，教师都必须要重视典型例题和习题的讲解，还要注意对其进行相应的延伸和拓展，对这些典型问题进行深入挖掘. 具体地围绕一个题目从考查的知识点、解题思路、解题方法等进行细致剖析，可以取得较好的效果.

例如，有这样一道题目：已知抛物线C：y2=2px（p>0）经过点A（1，2），直线l过抛物线C的焦点F且与抛物线交于M，N两点，抛物线的准线与x轴交于点B. （1）求实数p的值;（2）若·=4，求直线l的方程.

对于这样一道题目，教师必须引导学生将其与教材中的相关题目进行对比，通过对比可以发现：在教材中，其实一些典型的例题与这道题目的考查思路是比较一致的. 因此在对这题进行解题教学的时候，就可以将其与教材中的例题联系起来，学生在思考题目的时候就不再是孤立的，而是有联系的. 这种联系的建立，可以有效地促使学生更加准确地学习并理解与抛物线相关的数学知识. 事实上，学生在解题的时候，很容易根据抛物线的定义对第（1）问求解;而在第（2）问求解的时候，不少学生也能够通过抛物线C的方程以及焦点和准线，并结合抛物线的准线与x轴交点的坐标，思考设直线的方程为x=my+1，然后再设出M和N两点的坐标，从而列出相应的方程组，最终完成对直线l方程的求解. 其中的核心解题部分如下：

设M（x1，y1），N（x2，y2），于是可以列出x=my+1，

y2=4x;合并方程组得y2-4my-4=0，于是可得Δ>0，

y

+y=4m，

y

y=-4;又·=4，所以（x1+1，y1）·（x2+1，y2），即4m2-4=0，解得m=±1，满足Δ>0，故直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. （该解题过程基于学生的思维过程而总结，其中有一些细节做了优化）

这样的一个解题过程反映了学生的思维是清晰的，而这一清晰的思维基础，就是学生对教材上一些典型例题的学习与分析.

[?] 新高考：高中数学解题与命题的新指向

当今的高中教学中，新高考是一个无法绕开的关键词，甚至很大程度上关于新高考的理解正引导着包括高中数学学科在内的课堂走向. 因此新高考对于高中数学解题与命题的指向作用是不言而喻的！在理解这种指向作用的时候，教师要注意新课程标准中一些教学内容的删减和增加，这实际上是对命题以及日常教学中的解题教学传递出了一个信号：哪些知识点应该被检验，哪些知识点应该逐渐弱化. 如线性规划问题、三视图、程序框图等知识实际上就处于弱化的过程中……认识到这种指向，那么教师在解题教学以及命题的时候，也就应当以这种指向作用去指导日常的命题与解题.

例如，结合当前社会经济以及信息技术的发展，结合当前新经济的新形态，可以给学生提供这样一道题目：随着中国经济的腾飞，随着互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大，如今大街小巷几乎每个市民都在运用智能手机上网购物，而大山深处的农民也通过购物平台将自己所种的果蔬卖出. 某物流公司为扩大经营，在某一年年初用192万元购进了一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. 问：（1）若该批小型货车购买n年后赢利，求n的范围;（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？

从命题的角度来看，这样一个题目的素材与学生的生活關系密切，当前不少高中学生已经有了网上购物的生活体验;同时这个素材又与数学知识密切相关，学生可以在对物流成本的研究过程中，寻找到相应的数学模型来解题. 从考试评价的角度来看，这样一个数学习题的指向与当前的新高考是吻合的，对于当下的问题以及解题教学来说，也有着一定的启发意义. 对于高中数学教师来说，在日常的教学中，尤其是在解题与命题的研究过程中，以这样的习题分析与教学过程作为基础，慢慢积累起对新课程、新教材以及新高考的认识，可以很好地促进教师去感知、把握新高考的特点，从而引导学生更好地适应新高考背景下的数学课程学习以及数学教材理解.