基于雅克比矩阵的并联机器人运动学性能分析

刘芳芳 谭伟浩

摘要：基于雅克比矩阵的机构运动特分析对于并联机构的设计具有重要指导意义。本文主要介绍3-UPS/RRR并联机构的运动特性，首先建立机构的雅克比矩阵，利用雅克比矩阵建立机构的可操作度指标，其次借助可操作度指标对在不同姿态下的机构可操作度进行评估。通过MATLAB仿真结果表明，该机构具有良好的可操作性能。

Abstract： The kinematic characteristic analysis based on Jacobian matrix is very important for the design of parallel mechanism. This paper mainly introduces the kinematic characteristics of 3-UPS / RRR parallel mechanism. Firstly， the Jacobian matrix of the mechanism is established， and then the operability index of the mechanism is established by using the Jacobian matrix. Secondly， the operability of the mechanism in different attitude is evaluated by the operability index. Matlab simulation results show that the mechanism has good operability.

关键词：雅克比矩阵;并联机构;可操作度

Key words： Jacobian matrix;parallel mechanism;operability

中图分类号：TH16                                        文献标识码：A                                  文章编号：1674-957X（2021）07-0069-02

0  引言

随着现代信息科技与娱乐业的融合，虚拟现实技术的出现以及电机传动技术的成熟应用，使得人们对于多自由度模拟装置的体验需求越来越多[1]。并联机构凭借其高刚度、高精度以及动态特性好等突出优势在各领域都得到广泛应用，现有的大部分模拟装置都是6自由度Stewart并联机构的原型，本文提出了一种将3-UPS/RRR三自由度并联机构应用在赛车模拟驾驶当中的研究分析。但由于并联机构综合性强，为了保证机构具有良好的运动性能，在研究之前时，需要对机构的运动学特性进行分析。因此，本文利用雅克比矩阵对机构的运动学特性进行分析研究，其中包含机构的可操作性及灵巧度。可操作度及灵巧度分别用于衡量机构的输出动平台在位姿方面的操作性能，以及评价机构的灵活性能[2]。本文以3-UPS/RRR三自由度并联机构为例，借助螺旋理论建立该机构的雅克比矩阵;利用姿态可操作度衡量机构的灵活性，并在此基础上，利用MATLAB软件对不同位姿下机构的可操作度进行仿真分析。此项研究为后續机构的运动学轨迹规划及控制、动力学仿真及控制等研究奠定基础。

1  机构简介

3-UPS/RRR并联机构是一种具有三个转动自由度的并联机构，该机构由动平台、定平台、三条空间均置的驱动支链以及一条恰从动约束支链组成。三条驱动分支UPS结构完全相同，约束支链RRR限制动平台只能绕固定点P旋转。机构简图如图1所示。

2  速度雅克比矩阵

速度雅可比矩阵是机构输入输出构件间的速度比例矩阵，对并联机构奇异性分析与尺度综合奠定基础[3]。以下将借助螺旋理论，推导并联机构3-UPS/RRR的速度雅可比矩阵。该方法的优点在于雅克比矩阵的求解不依赖于位置反解。

在机构简图1中，选定瞬时参考坐标系O-XYZ。选取其中一条UPS开环支链，支链螺旋表示如图2所示。该支链可以看成由6个转动副串联而成的开环支链，通过三条相同的UPS支链将上下平台连接起来，由于并联机构的瞬时速度可以表示为各支链瞬时螺旋运动的线性叠加，则该机构的动平台运动的瞬时速度旋量[3]可表示为：

3  机构可操作度分析

并联机构的可操作度包括位置可操作度、姿态可操作度和综合可操作度。当机构可操作度为0时，机构位姿接近奇异位形或在奇异位形区间之内，雅克比矩阵处于病态，机构可能出现卡死现象。因此，应尽可能使机构远离奇异位形。

由于本文所研究机构只绕固定中心做相对转动，故只对机构的姿态可操作度进行分析，姿态可操作度的表达式为：

在上式中，当可操作度指标w等于1时，机构的可操作性能最佳，运动状态良好，当可操作度很大时，雅克比矩阵处于病态，机构在运动过程中产生较大误差。

为评价本文所研究机构在其工作空间内可操作指标分布情况以及可操作度数值是否存在突变或不连续情况，设该机构绕X轴、Y轴及Z轴旋转的角度分别为α、β、γ，其中α和β的取值范围为-40～40°，γ分别取值为γ=-20、0、20，借助图像法便可直观表示出给定位姿下机构可操作度w与（α，β）之间的关系，如图3所示。

根据以上仿真分析结果可知，机构在工作空间范围内，可操作度指标变化平稳，表明机构在运动过程中无奇异现象，具有良好的可操作性。

4  结论

本文对3-UPS/RRR并联机构的可操作度及灵活性进行了研究分析：首先基于螺旋理论得到机构的速度雅克比矩阵;其次给出机构可操作度与速度雅克比矩阵之间的关系;最后利用MATLAB软件绘制出可操作度分布图。结果表明该机构能够满足运动传递性能要求，在可达姿态空间范围内，具有较好的可操作性和灵活性。结合实际分析，体验者在动感赛车模拟过程中所感受到的车体在上下坡时的颠簸、左右侧倾的抖动、转弯时的横摆，该机构都可以实现，具有良好的应用前景及参考价值。

参考文献：

[1]张天浩.驾驶模拟六自由度运动装置设计与分析[D].燕山大学，2018.

[2]汪培义，郭盛，王向阳，宋马军，林华杰.基于柔性并联连续体的灵巧操作手的设计及分析[J].机械工程学报，2020，56（19）：122-131.

[3]陈修龙，蒋德玉，陈林林，等.冗余并联机构运动学性能分析与优化[J].农业机械学报，2016，47（6）：340-347.

[4]张新.一种3-UPS/S球面并联机构的运动参数优化研究[D].燕山大学，2013.