巧解有界磁场问题

白江伟

进入磁场之后，首先学习了电流在磁场中受到的安培力，带电粒子在磁场中运动受到的洛伦兹力。两种磁场力的学习，为后面研究运动学问题打下了力学基础。解决这部分的运动学，也就是带电粒子在磁场中的运动。分为三个方面进行说明。

1、常见的有界磁场

带电粒子在磁场中的运动，首先建立的模型，磁场是没有边界的，如图1所示我们可以得到  =  r，进而可以获得半径  周期  =  完成对描述圆周运动基本物理参量的求解。仅仅是对圆周运动的考察，没有涉及到三角函数，几何关系。但常常遇到的磁场都是有边界的。常见到的是有界磁场，如圆形磁场、三角形磁场、矩形磁场、单双边界磁场。解决这部分问题的常规方法是，定圆心、画圆弧、找半径。有没有办法达到事半功倍呢？

2、动圆法解决有界磁场问题

速度为矢量，不论大小和方向任意一个发生变化都会引起速度的改变。洛伦兹力 其中含有速度v，因此将洛伦兹力称为状态力。这就意味着，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，我们首先改变速度的方向不改变速度的大小，研究带电粒子在磁场中动态的变化过程。

2.1建立动圆法模型

使用动圆法解决有界磁场问题，只要满足了速度大小不变，改变速度方向，就可以使用。常见问题是涉及到带电粒子打到有界磁场边界的距离问题、在有界场中运动的最大时间问题。下面我们建立两个模型说明。首先提供一个速度方向可以改变大小不变的粒子源，将粒子源固定在磁场中，射出不同方向的带电粒子，确定打在右边界的范围。

（1）如图1所示为单边界模型，粒子源向各个方向发射相同速率的负离子，当打到a点时，恰好不飞出磁场（或刚好飞出磁场）。当直径与边界相交于b点时，为带电负离子飞出磁场最远点。

（2）如图2所示为双边界模型，当粒子源在左边界沿不同方向向磁场中发射速率相同的带负电粒

子。当圆弧与左右边界相切，会达到右边界的最远点，a、b两点。且 ，对于双切极值定律在矩形磁场当中也有考察。

2.2 使用动圆法模型解决有界场问题

如图3示，匀强有界磁场，宽度为L，带电粒子在磁场中运动半径为r，粒子从原点o以相同速率沿不

同方向射入磁场，问粒子从左右边界飞出时的范围？

解：粒子沿不同方向射入，根据动圆法双切极值定律做与左右边界相切的圆弧OCE和OA。

如图4所示 且  ，则由图可得右边界粒子出磁场AC范围内，

左边界出磁场在OE范围内。

3、放缩法与有界场的综合问题

不改变带电粒子进入磁场的入射方向，改变入射速度的大小。根据半径公式 ，半径会变大，但由于粒子速度方向没有改变仍然会与圆弧相切。

3.1放縮法模型的建立

（1）入射速度的方向和有界矩形边界的一条边垂直，如图5所示，速度较小时带电粒子在磁场

中完成半个圆周从下面边界进再从下面边界出。当速度在一定范围可以从左边界飞出。当速度再

大时可以从上边界飞出。

（2）入射速度与矩形边界成任意夹角，如图6所示，速度较小时完成部分圆周运动从原边界飞出，在一定速度范围从上边界飞出，速度再大从右边界飞出。放缩法的使用对于相交和相切是考察的热点，尤其是考察运动距离范围及运动的时间范围。放缩法还有粒子无法到达的地方，称为“盲区”，做题时要引起注意。

3.2放缩法解决有界场问题

如图7所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度 ， ， 射入磁场，在磁场中运动的时间分别为 且 ∶ ∶ =3∶3∶1。直角边bc的长度为L，不计粒子的重力，三个粒子速度大小关系是？并求出比荷？

解：如图8示只要粒子从ab边飞出弦切角都是角abc，由于 ∶ ∶ =3∶3∶1，作出粒子运动轨迹

图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为 < ， < =2L，由于 、 大小关系未知， 、 大小无法确定，由 = 可知三个速度的大小关系可能是 < < 也可能是 < < ，

由q B= 及 =2L，解得粒子的比荷 = 。

因此，在学习的过程中，记下公式是非常必要的，但不能缺乏必要的方法。对于问题的解决，要搞清问题的

来龙去脉，然后在题干中找到关键词，合理建立物理模型，这样就可以用最简单的方法解决问题，同时可以

提高解决问题的能力。

参考文献：

【1】 王朝银.创新设计.陕西人民出版社，2021 （168）;

【2】 5年高考3年模拟  教育科学出版社2021 A版 ;

【3】 高考资源网《带电粒子在磁场中的运动》。