三角形的高

傅建利

【學前思考】

一、课时重组，充实高的体验

人教版四年级下册第5单元《三角形的特征》第一课时，很多人会将三角形的定义、高和底以及稳定性这三块内容合起来上，但我认为不妥，因为三角形的定义需要学生动手操作，亲自参与概念形成过程，感受三角形“每相邻两条线段端点相连”。三角形的高，学生虽有之前平行四边形高的学习基础，但是受“位置”及“倾斜度”的非本质属性干扰，是本单元的一大难点，需要占用课堂大量时间，而因为时间有限，三角形的稳定性很多老师让学生只是停留在三角形的不易变形的体验上，没有深入理解三角形的唯一性。将这三个环节放在一节课中，虽面面俱到，但蜻蜓点水，感受不深刻。同时为了更好区分不同三角形的高的特点，我将三角形的分类这节课往前移，对本单元的课时进行了微调：①三角形定义和稳定性②三角形的分类③三角形的高。

二、聚焦本质，清晰高的属性。

人教版教材中没有教学钝角三角形钝角边上的作高方法，但是教材又涉及了钝角边上的高的应用，如五年级上册 P95的第11题就需要用钝角三角形的钝角边上的高来解释，所以在本节课要让学生充分体验直角和钝角三角形的画高方法。

而这也是本节课的最大难点，为什么会这么难呢？因为在教学平行四边形高时教师往往有意或无意间将高的位置限定了一个范围，无意间将“高在图形的里面”的“位置”这一非本质属性作为相关属性。当直角三角形和钝角三角形不可能在三角形内找到所有的高时，受平行四边形做高时“点”可以任意选取的经验影响，学生以为画三角形的高时，这一点也是可以在一条边上任意选取，进而用某一条垂线段来表示他们当时心理上的“高”。

三、初小对比，拓宽高的定义。

我对小学及初中的“三角形的高”的定义进行了对比：

发现，小学只说一个顶点到对边作垂线，而初中扩展为对边所在的直线，这能帮助学生理解高是没有位置限制的，所以我认为“三角形高的定义”应该是它要经过三角形的顶点并垂直于这个顶点对边所在的直线。我将在钝角三角形的画高后提出“给高的定义提出修改意见”，帮助学生拓宽高的定义。

【教学目标】

1.在自主画高中讨论，感悟三角形作高可以转化成“点到线段的垂线段”。

2.重点突破直角三角形，钝角三角形作高的难点，体验钝角三角形作高后尝试给“高的定义”提出修改意见，理解三角形作高就是“点到对边所在直线的垂线段”。

3.利用几何画板把锐角三角形的高、直角三角形直角边上的高和钝角三角形钝角边上的高进行动态联系，整体感知各种三角形的高位置变化，类比三角形、平行四边形和梯形的高，让学生对高有整体的感知。

【教学重点】理解三角形作高就是“点到对边所在直线的垂线段”。感知不同三角形高位置的变化。

【教学难点】直角三角形和钝角三角形画高

【教学准备】多媒体、学习单，尺子

【活动预设】

活动一、体验自主画高，揭示“高的本质”

1.自主画高，揭示概念。

（1）我们上学期学了平行四边形的高，你能说一说平行四边形的高该怎么画吗？（PPT呈现平行四边形高的定义）今天我们来学习三角形的高。

（2）请在学习单第1题画出这个锐角三角形AB边上的高。

反馈：出示学生的错例，在辨析中知道三角形高的画法，再展示正确画法，学生的作品如下：

小结：（板书展示画法）我们来看书上是怎么介绍三角形的高的。（PPT出示三角形高的定义）

2.归纳分析，揭示本质。

（1）请继续画出BC和AC这两条边上的高（学习单上画高）

反馈：先呈现BC边上的高的学生作品，学生作品如下：

讨论：上面三种答案哪种是BC边上的高？其他两个为什么不是？

（2）请你思考一下，画三角形的高有什么诀窍吗？

小结：画三角形底边上的高，只要选好底和对应的顶点就可以了，那看来画高我们只用关注一个点和一条边就可以了，同学们，这不就是我们以前学过的过一点做线段的垂线段吗？（PPT出示）

（3）看来我们只要找到相对应的顶点和对边，可以很快画出高。三角形有几条高，为什么？

小结：有3组对应的顶点和底，所以有3条高。

[活动意图]对锐角三角形的三条高的画法进行归纳分析，让学生理解作高的本质属性， 就是过顶点作对对边的垂线段，理解作高的两个要素：“底”和“对应顶点”。正是"转化"这种数学基本思想的及时介入，引出了学生对高的进一步辨别和理解，高的方向不一定是纵向的，方向的确定取决于“底”和“对应顶点”的位置。只要找两个要素，就可以将作高转化为过顶点画对边的垂线段，沟通了高与垂线段的这层内在规律，无论底的方向如何放置，作高都显得易如反掌了。

活动二、继续画高，拓宽“高的定义”

1.直角三角形画高，体验高与边重合。

活动：填空，画出直角三角形指定底边上的高（学习单）

（1）展示题①画法，对吗？作AC边上的高，其实就是怎么作？

预设：其实就是过B点作边AC的垂线段。

（2）展示题②③的错例，对吗？为什么？那如果垂直会出现什么情况？

（3）为什么直角三角形的3条高中会有两条跟边重合？

预设：因为直角形三角形的两条直角边互相垂直，比如以BC为底，过点A只能向BC作一条垂线段，所以这条垂线段即是三角形的高，也是三角形的直角边，同理我们也可以说明AB边的高为什么与BC边重合。

小结：也就是说直角三角形的高跟锐角三角形的高的位置会有所不同，锐角三角形的高都在图形内部，直角三角形的高不仅有在内部，也有在边上的。

2.鈍角三角形画高，改定义，拓宽“高的定义”

活动：填空，画出钝角三角形指定底边上的高（学习单）

（1）反馈题①正确画法，展示题②的错例，他画的高对吗？为什么？

预设：1号同学他虽然是从A点出发，但这条线段不垂直BC边。2号同学虽然垂直BC边，但是他没有过点A。

（2）过A点作BC的垂线段，但是BC不够长，怎么办？

预设：这个我们以前学过，把BC看做一条直线，它就可以往右边延伸，这样就可以过A点画垂线段了。（PPT演示）

追问：那这还是在BC边上作高吗？

小结：这不是在BC边作高，而是在BC边所在的直线上作高，诶？钝角三角形的作高似乎跟我们原先高的定义有所不同，你能找到不同吗？

（3）给定义提出修改意见，你觉得该怎么修改？

[活动意图]直角三角形和钝角三角形画高是难点，原因在与学生被“位置”这一无关属性干扰，这个环节让学生自主画直角三角形的高时，遵循高的本质，先找底和对应顶点，建立作高的序，在结果中去对比锐角三角形作高，发现三角形的高的位置并不一定都在三角形内。画钝角三角形的高时，进一步发现高有时还可以垂直对边所在的直线上，给定义提出修改意见，拓宽了高的概念的定义范围，使学生更深刻的理解这一概念。

活动三、同底等高变形，强化“高的本质”

（1）现在有一条线段AB，有一个C点，到AB的距离是4dm.你觉得C点会在哪里？请你上来指一指，还可能在哪？

小结：C点只要在一条与线段AB平行，距离是4dm的直线上就可以了。

操作：找到与线段AB距离是4dm的一个C点，连成△ABC，并画出AB边上的高。在直线上拉动C点，观察三角形AB边上的高，你发现了什么？

小结：高可以在三角形的内部，也可以边上，也可以在三角形外。不管C点怎么变，它的高都不变，像这样的底相同，高相同、形状各异的三角形我们称作同底等高的三角形。

[活动意图] 利用几何画板的动态展示，在C点向右移动的过程中，从最容易接受的锐角三角形的高到相对难接受的钝角三角形钝角边上的高，在动态演示过程中再次排除“位置”这一无关属性的干扰，强化三角形的高的本质属性。

活动四、梳理三角形、平行四边形和梯形之间三者高的关系

1.我们以前在平行四边形和梯形中也学过高，大家来回顾一下以前学过的知识。

2.为什么平行四边形和梯形一条底上的高可以有无数条，而三角形只有一条？

小结：因为三角形与底对应的顶点只有一个，而平行四边形和梯形的对边上不仅有对应顶点，还有跟顶点到底的距离相等的无数个点，这些点都可以作为顶点来作高。

【板书设计】

【教学反思】

1.设计可行性

数学知识有着本身固有的结构体系，往往是新知孕伏于旧知，旧知是新知的伸长点，同时也可能是新知产生的阻碍。三角形的“高的本质”是“经过顶点，垂直对边所在直线”，如何在教学中让学生感悟这一本质呢？首先让三角形的高与学生已有的平行四边形的高联结起来，将画高的过程抽象到“点到线段的垂线段”，建立了作高的转化桥梁，然后画直角三角形和钝角三角形的高时突破高的位置限制，理解高除了在三角形内，还可以在三角形边上，三角形外，感悟高的本质是“经过顶点，垂直对边所在直线”。再通过动态变形，强化本质，比较不同图形之间高的数量，丰富高的内涵。

2.达成效果

教学作高时，把新技能技巧转化为已学过的作垂线段的知识，就把新经验纳入已有的知识结构中获得理解，挖掘到有利于高这一知识、技能迁移的旧知元素，及时搭建沟通新旧知识的桥梁，从而帮助学生了解认知结构的前因后果、来龙去

脉。技能上让学生建立了画高的序，先找底，再找对边所在的直线，隐去另外两条干扰边，转化成“过1点作对边所在直线的垂线段”，降低了学生画高的难度。思想上排除了“位置”的干扰因素，对高的本质有了更深入的理解。

北大新世纪温州附属学校