“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评

陈智猛 余亮

摘  要：本节课教学的核心是画出正弦函数图象上的任意点[Tx0，sinx0]，经历观察角[α]与[sinα]的变化、教师示范、计算机演示、学生用“手工细线缠绕”法实践操作四个步骤.诱导公式是反映圆周运动中运动变化规律的代数式，它在简化函数图象的研究过程、由正弦曲线得到余弦曲线等方面都发挥着作用，使得数与形的联系得到充分体现.

关键词：正弦函数;图象与性质;诱导公式;教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数图象的画法.

（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值.

2. 内容解析

内容的本质：三角函数的图象与性质的本质是周期现象的直观表示与代数表示，也是函数图象与性质研究的延续.

蕴涵的思想和方法：三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法. 同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法.

知识的上、下位关系：三角函数是特殊的函数，是研究度量几何的基础，作为函数的下位知识，基本遵从函数的图象与性质的研究路径：现实背景—函数概念—图象—性质—应用. 由于三角函数自身的特殊性，要充分借助单位圆及圆周运动的特性去研究三角函数的图象与性质. 因此，研究正弦函数的图象与性质是根据定义借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质;而研究正切函数的图象与性质是以定义为岀发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助观察图象进一步获得函数的其他性质.

育人价值：用三角函数来刻画圆周运动时角度与点的“位置”间的对应关系，这种思想方法帮助人们在观察客观事物的运动变化时，能建立起不同要素之间的联系，并用这种联系去研究、发现事物的运动变化规律，对提升人们的认识水平有重要意义和价值. 因此，学习三角函数的图象与性质很有必要. 一方面，帮助学生进一步熟悉函数的圖象与性质的研究路径;另一方面，引导学生感受周而复始运动现象的变化规律及相应性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.

教学重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及主要性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值;研究函数图象与性质的一般思路和方法.

5. 数学之美，润物无声

联系之美. 事物的发展总是相互联系的，数学问题的研究也不例外. 在三角函数图象的研究过程中，既联系以往指数函数、对数函数和幂函数图象的研究路径，也联系三角函数的定义、单位圆、三角函数的基本性质（即诱导公式）. 三角函数图象的研究堪称范例，完美诠释了函数图象的研究过程，也为其他复杂函数图象的研究提供范式，即结合基本性质，由定义（解析式）先画出某区间上的图象，再通过扩展画出完整的函数图象.

变换之美. 三角函数图象的另一种研究方法是图象变换. 这也给出了复杂函数图象的研究范式，即利用图象变换由简单函数的图象得到复杂函数的图象.

任意之美. 要求准确描绘函数[y=sinx，x∈0，2π]的图象上的任意一点. 这是数学的普适性和一般性的表现.

几何之美. 将圆周12等分，这些点在单位圆上是对称的，从0到[2π]进行12等分，这些值的分布是均匀的，这就是数学的特点——对称美、均匀美.

数学之美需要我们去发现、去感受！

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论（第3版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]郭慧清，曾劲松.“函数的概念及其表示”教学设计、教学反思与点评[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（28）：25-35.