2020年中考“综合与实践”专题命题分析

祁慧渊 薛红霞

摘 要：综合与实践是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标和内容要求，梳理2020年全国部分地区中考试卷中有关“综合与实践”内容的试题，从数学六大核心素养的角度对此类试题进行分析，总结“综合与实践”在这六方面体现出来的命题特点，并提供相关模拟试题.

关键词：中考试题;综合与实践;命题分析;学科核心素养

一、内容分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授. 它是教师问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是实现积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识等目标的重要和有效的载体. 教师要适当的开发出适合本地学生开展的结合实际情境的数学活动，创设层层深入的问题，给学生更多思考和操作的空间，鼓励学生大胆设计活动方案，提倡学生之间进行更多的合作交流，在活动中激发学生进行深度学习，提升数学思维，发展学生的数学学科核心素养，凸显问题性，注重综合性，落实实践性. 2020年全国各地区中考“综合与实践”试题从不同的知识与能力角度，体现了《标准》中对此部分内容的学习要求与理念，充分地体现了对《标准》提出的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识十个关键词的重视，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的有效过程.

二、命题思路分析

依据《标准》，“综合与实践”领域的考查主要关注问题、过程和综合三个层面. 教师要创设出有利于提升学生数学思维的恰当问题. 情境的设置可以从数学内部知识间的联系与综合、跨学科领域的整合、数学与现实生活的融合等方面去设计，让学生在思考和分析问题的活动过程中，充分利用已有的知识经验和生活经验来解决问题，进而积累丰富的数学活动经验.

综观2020年全国各地区中考试卷，“综合与实践”内容的考查呈现形式为选择题、填空题和解答题，分值和题量基本保持稳定，且略有上升趋势. 选择题和填空题的分值在4 ～ 6分之间;解答题和综合性问题的分值在10 ～ 18分之间. 试题分值占全卷总分值的20%左右. 在研究的109份2020年中考数学试卷中，发现“综合与实践”的相关试题背景丰富，有现实生活中几何图形的研究，有跨学科问题情境的设置，有数学操作问题的探究，呈现出数学问题生活化、热点化、操作化的特点，特别注重数学活动经验的积累和数学思想的渗透. 以下将从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面的数学学科核心素养出发，选取一些具有代表性的试题进行具体分析.

1. 数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程. 数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系;从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征. 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中. 数学抽象是综合与实践的起点. 数感有助于学生理解现实生活中数的意义，对运算结果的估计等方面的感悟;符号意识有助于理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号进行运算和推理得到一般性结论，这些都是数学抽象的载体.

例1 （湖南·娄底卷）如图1，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（    ）.

（A）135 （B）153

（C）170 （D）189

例2 （黑龙江·齐齐哈尔卷）如图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形. 第一次滚动后点[A10，2]变换到点[A26，0]，得到等腰直角三角形②;第二次滚动后点A2变换到点[A36，0]，得到等腰直角三角形③;第三次滚动后点A3变换到点[A410，42]，得到等腰直角三角形④;第四次滚动后点A4变换到点[A510+122，0，] 得到等腰直角三角形⑤;……依此规律，则第2 020个等腰直角三角形的面积是      .

【评析】例1和例2从数感和符号意识方面突出对学生数学抽象素养的考查，在探究中体会过程性. 例1的设计简洁，通过方格中数的摆放位置来寻找数之间的关系，进而转换为字母间的规律，关注对学生使用符号意识的考查和数感中数量关系的感悟. 例2是对等腰直角三角形性质应用的考查，要求学生思考图形中的顶点在翻转变换中的关系，进而发现规律，突出考查学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律. 此类问题的设计既让学生在解题过程中体会图形顶点坐标的运动变化规律，又激发学生在思考过程中建立符号意识，进而要求教师在数学问题的创设上具有从知识立意转向关注数学学科核心素养立意的意识.

2. 逻辑推理

《标准》中提出，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中. 推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中經常使用的思维方式. 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算. 在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论. 2020年中考“综合与实践”试题更注重通过与生活中的情境结合、跨学科整合来解决具体的实际问题.

例3 （湖南·娄底卷）如图3，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1 = Lcos α，阻力臂L2 = lcos β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）.

（A）越来越小 （B）不变

（C）越来越大    （D）无法确定

例4 （湖南·株洲卷）据《汉书·律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”. 意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”

问题：如图4，现有一斛，其底面的外圆直径为

两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为       .（结果用最简根式表示.）

【评析】例3借助物理学中撬钉子的情境，利用杠杆原理进行数学的推理分析，动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力 × 动力臂为定值，且定值大于0，考查了利用锐角三角函数cos α的增减性来说明动力的变化. 例4以古代的一种量器为背景命制，将圆与正方形组合，考查图形的推理与计算. 此类试题意在让学生体会在不同的问题情境中运用直观的逻辑推理，并综合不同领域的跨学科知识，提升学生分析问题和解决问题的能力.

例5 （河南卷）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器. 图5（1）是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC垂直于点B，DB足够长.

使用方法如图5（2）所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”，试补充完整，并写出“证明”过程.

已知：如图5（2），点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，                   .

求证：                   .

【评析】例5以数学知识中“利用尺规作图三等分一个任意角”的问题为情境，将数学中的难题转变为一种简易操作工具——三分角器来解决问题. 要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了. 在说明了所有的操作过程后，让学生自己填写已知和求证并完成证明过程，既考查了学生推理过程的严谨性、规范性、完整性，又关注了归纳与演绎的综合. 此题注重把数学的学习看作是数学活动的学习，在探究过程中提出问题，综合应用所学的知识来分析和解决问题，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀数学活动经验，有效考查了综合与实践的基本要素.

3. 数学建模

《标准》中指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识. 建立数学模型就是要培养学生在现实活动中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，进而建立模型得出结论，还要验证结果和改进模型，最终解决实际问题. 综合与实践活动不仅提升了学生从具体到抽象、从特殊到一般的數学思维能力，也培养了学生的应用意识和创新意识. 数学建模是综合与实践的实施途径之一.

例6 （山东·青岛卷）某公司生产A型活动板房成本是每个425元. 图6（1）表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD = 4 m，宽AB = 3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.

（1）按如图6（1）所示的直角坐标系，抛物线可以用y = kx2+m （k ≠ 0）表示. 求该抛物线的函数表达式.

（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房. 如图6（2），在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元 / m2. 已知GM = 2 m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本 = 每个A型活动板房的成本 + 一扇窗户FGMN的成本.）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个. 公司每月最多能生产160个B型活动板房. 不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？

例7 （江苏·南京卷）如图7（1），要在一条笔直的路边[l]上建一个燃气站，向[l]同侧的[A，B]两个城镇分别铺设管道输送燃气. 试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

（1）如图7（2），作出点[A]关于[l]的对称点[A，] 线段[AB]与直线[l]的交点[C]的位置即为所求，即在点[C]处建燃气站，所得路线[ACB]是最短的.

为了证明点[C]的位置即为所求，不妨在直线[l]上另外任取一点[C，] 连接[AC，BC，] 证明[AC+CB<][AC′+C′B.] 试完成这个证明.

（2）如果在[A，B]两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域. 试分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）.

① 生态保护区是正方形区域，位置如图7（3）所示;

② 生态保护区是圆形区域，位置如图7（4）所示.

【评析】例6考查学生在实际生活情境中体会变量之间的关系，根据题意建立函数模型来解决问题，考查了学生的数学应用意识. 在这个综合实践活动中，学生进行了两次建模：第一次建模是把矩形窗户边框与墙抽象成数学图形，并建立关系，理解数学图形中的点的意义，建构二次函数模型;第二次建模是在第（2）小题中，求每月销售活动板房所获的最大利润，比对二次函数模型，找到顶点坐标，根据函数的增减性和不等式的范围确定最值. 例7为模拟真实情境的综合实践活动，通过最短距离问题模型，再次提出生活情境问题，根据不同的方案设计，经过计算确定管道铺设方案，再现了数学探究活动的过程性、实践性和综合性. 解决此类问题还是要引导学生多进行真实任务情境下的综合实践活动.

4. 直观想象

直观想象主要是指利用图形进行描述和分析问题，感知事物的形态与变化，理解和解决数学问题. 直观想象主要表现为：建立形与数的联系，借助空间形式认识事物的位置关系与形态变化及运动规律，构建数学问题的直观模型分析问题，把复杂的数学问题简单化、形象化，进而探索解决问题的思路. 综合与实践重在实践和综合，教师要设置贴近学生的生活情境，充分发挥学生的直观想象、展现学生的思考过程，合作交流收获体会，激发学生创造潜能.

例8 （湖北·荆州卷）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步. 已知此步道外形近似于如图8所示的Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB与BC間另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1 km. 若tan∠ABC =[34]，∠DEB = 45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了       .

例9 （山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

[× 年 × 月 × 日  星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图9所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图9，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD = 30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40 cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°.

办法二：如图10，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R. 然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS = MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS = 90°.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… ]

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是                    .

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS = 90°.

（3）① 尺规作图：试在图11的木板上，过点C作出AB的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）

② 说明你的作法依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）

【评析】例8通过直观化表达健身运动路径，考查三角函数的概念，根据模型解释实际意义，需要学生运用几何直观促进理解. 例9为真实情境的“综合与实践”活动，该活动利用不同方案解决在没有直角尺的情况下作直角的问题，先以阅读材料的方式给出两种具体的操作方法，然后让学生在理解此操作过程的同时写出数学依据，进而思考是否还有其他作出垂线的方法. 例9让学生根据图形的特点，借助几何直观观察图形、分析问题、发现解题途径，有效开展综合实践活动，进一步培养学生解决问题的创新意识.

5. 数学运算

《标准》中指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力. 培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题. 数学运算在综合实践活动中的应用最常见、最广泛，有助于学生理解运算对象、掌握运算法则、形成程序化思维.

例10 （四川·自贡卷）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 例如，代数式[x-2]的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为[x+1=x--1]，所以[x+1]的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离.

（1）发现问题：代数式[x+1+x-2]的最小值是多少？

（2）探究问题：如图12，点A，B，P分别表示数-1，2，x，AB = 3.

因为[x+1+x-2]的几何意义是线段PA与PB的长度之和，

所以当点P在线段AB上时，PA + PB = 3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA + PB > 3.

所以[x+1+x-2]的最小值是3.

（3）解决问题：

① [x-4+x+2]的最小值是     ;

② 如图13，利用上述思想方法解不等式[x+3+][x-1] > 4;

③ 当a为何值时，代数式[x+a+x-3]的最小值是2.

【评析】例10以学生非常熟悉的两点之间的距离为情境，让学生去发现问题、分析问题、探究问题、解决问题，这是非常好的综合与实践的学习方式. 这些问题要求学生在已经具备一定的数式运算能力的基础上，依据法则正确运算，体会运算的算理，转化为熟悉的运算方式，也考查了学生对数学运算法则使用的迁移能力，进一步体现了在学习过程中数学运算素养的重要性，为教学指明方向.

6. 数据分析

数据分析是统计的核心.“综合与实践”在此方面的考查具体表现在数据的收集和整理，对数据信息的理解和处理，提取信息和解释结论. 综观2020年中考试题，数据分析类综合试题呈现出情境生活化、热点化的特点，更加重视对统计量意义的理解和利用数据分析结果并进行方案的决策评估和预测.

例11 （山东·临沂卷）2020年是脱贫攻坚年. 为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场. 经过一段时间精心饲养，总量为3 000只的一批鸡可以出售. 现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如表1和图14所示.

根据以上信息，解答下列问题.

（1）表中a的值为     ，补全频数分布直方图;

（2）这批鸡中质量不小于1.7 kg的数量大约有多少？

（3）这些贫困户的总收入达到54 000元，就能实现全员脱贫目标. 按15元 / kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？

【评析】数据分析素养主要体现在“统计与概率”中，其与实际生活联系紧密，能更好地体现综合与实践的考查意图. 例11从学生熟悉的生活背景及社会关注的热点问题等方面进行数据分析和处理. 对现实生活中的问题先做调查研究、收集数据，通过统计图或表格进行数据分析，做出判断. 此类试题突出对抽样调查中分析数据的方法和解决问题能力方面的考查，更加注重对学生获取信息能力和分析决策能力的考查，真正体现出统计的作用.

三、复习建议

通过对2020年中考试卷中“综合与实践”部分试题的分析，发现这些试题充分体现了《标准》对此部分内容的引领作用. 在教学过程中，教师要特别注意问题情境的设计、活动过程的探究和解决问题方法的综合，强化综合与实践活动中知识的整合、延伸与拓展，加强对学生思维能力、运算能力、探究能力和创新能力的培养. 在复习教学中，教师要对以下几个方面予以关注：一是创设更贴近生活现实、数学现实和其他学科现实的情境，增强学生的应用意识;二是加强初中数学各部分内容之间的相互联系，体现数学学习的整体性与综合性;三是让学生在探究活动过程中感悟知识的生成和运用，提升解决问题的能力，增强创新意识的培养. 针对以上情况，对2021年中考复习提出以下几点建议.

1. 夯实基础，提升能力

在日常教学中，若学生的基础知识不过关，会体现在概念辨析不到位，基本运算算理不清楚，以及解题方法不适当等方面. 因此，在教学中，教师一定要回归教材、落实基础，强化对基础知识和基本技能的训练，多研究典型题和易错题，多对比、多变式，引导学生自主建构知识体系，将基础知识的掌握落到实处. 一是要让学生对所学的概念、公式、定理进行深度剖析与解读;二是让学生经历知识的生成与生长过程，对问题的解决方法进行归纳梳理;三是通过课堂内外综合与实践活动的开展，强化学生的“四基”及知识的融会贯通.

2020年全国各地区中考“综合与实践”类试题中都创设了现实生活或跨学科的情境，解题时需要学生具备丰富的知识与问题间的链接能力，这就要求教师在教学中要注重揭示知识发生、发展的过程，使学生的思维得到高密度的训练，能力得到高层次的发展.

2. 经历过程，提升思维

如果把数学问题的解决看成是“目”，那么数学思维就是“纲”，纲举目张. 在教学中，教师要重视引导学生理解知识的形成过程，在活动中让学生通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，经历自主学习、合作交流、探索研究的过程，创设一些能引发学生深度思考的过程性问题，并运用研究方法进行解题思路的迁移，开阔学生的思维视野，拓宽学生的观察角度，促使其自觉养成良好的数学思维品质. 教师也可以通过编拟一些贴近生活实际的数学应用问題，让学生在学习中经历更多真实情境问题的探究过程，在活动中不断进行思维碰撞，体会问题解决方法的多样性，从而引导学生充分体会数学与人类社会的密切联系，加强对数学的理解，用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，进而形成学数学、用数学的意识和能力，切实提高学生的思维品质.

3. 加强阅读，提升素养

“综合与实践”类试题中经常会呈现一些阅读材料，提供一些解决问题的知识或方法，需要学生在阅读的过程中获取信息和理解信息，还要应用所学到的思想或方法解答提出的新问题. 因此，建议教师在日常教学中补充一些与教材内容相关的阅读材料，通过对教材的例、习题进行整合，挖掘一些综合与实践学习的素材，设计一些相关的综合与实践活动，并要求学生经历活动后尝试写出实践报告和活动反思，让学生经历数学问题设计与解决的探究过程，发现不同解决问题的途径，积累丰富的数学活动经验，进而提升学生的综合解题能力. 通过让学生在综合与实践活动中将自主、合作、探究的学习方式融入数学学科核心素养的形成过程，把学生的学习兴趣作为发展数学学科核心素养的推动力，以激发教学创新.

我们欣喜地看到，越来越多的教师在“综合与实践”领域的日常教学中进行更深层次的思考与创新，以提升学生的数学学科核心素养为培养目标，真正回归教育本源，实现对人的培养.

四、模拟题欣赏

1. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b =ab + a + b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如，2⊕3 = 2 × 3 + 2 + 3 = 11. 若y关于x的函数y = （kx + 1）⊕（x - 1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为     .

参考答案：0或-1.

2. 图15（1）为一张宽为6 cm的平行四边形纸带ABCD，AB = 10 cm，小明用这张纸带对底面周长为10 cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）. 小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析.

（1）如图15（2），若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满. 则纸带AD的长度为      ;

（2）如图15（3），若AD = 100 cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满. 则这个直三棱柱纸盒的高度是     .

参考答案：（1）25 cm;（2）60 cm.

3. 某市景区内有一座历史名人塑像，“综合与实践”小组的学生开展了测量这一塑像高度的活动.他们在该塑像底部所在的平地上选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，調高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角. 为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表2所示.

任务：

（1）根据以上测量结果，试帮助该“综合与实践”小组求出塑像的高度.（参考数据：sin35.0° ≈ 0.57，cos35.0° ≈ 0.82，tan35.0° ≈ 0.70，sin33.5° ≈ 0.55，cos33.5° ≈ 0.83，tan33.5° ≈ 0.66.）

（2）该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器CD测出仰角∠ADF的度数，再测出BC的长来计算塑像高度AB”的方案，但未被采纳. 你认为其原因可能是什么？（写出一条即可.）

参考答案：塑像的高度为12.26 m.

（2）塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC.

4. 问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题. 如图16（1），正方形ABCD中，E是边BC上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG.

猜想证明：

（1）当图16（1）中的点E与点B重合时得到图16（2），此时点G也与点B重合，点H与点A重合. 同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为                   .

（2）希望小组的同学发现，图16（1）中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立. 为证明这两个结论，同学们展开了讨论.

小敏：根据轴对称的性质，很容易得到GF与GD的数量关系，……

小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，……

小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论.

请你参考同学们的思路，完成证明.

（3）创新小组的同学在图16（1）中，发现线段CG∥DF，试说明理由.

联系拓广：

（4）如图16（3），若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD”，∠ABC = α，其余条件不变，试探究∠DFG的度数，并直接写出结果.（用含α的式子表示.）

参考答案：（1）GF = GD，GF⊥GD.

（2）连接AF，证明略.

（3）连接AF，BD，证明略.

（4）∠DFG = 90° - [a2]. 理由略.

5. 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，如图17（1），

则sin B = [ADc]，sin C = [ADb]，

即AD = csin B，AD = bsin C.

于是csin B = bsin C，即[bsinB=csinC].

同理，有[csinC=asinA]，[asinA=bsinB].

所以[asinA=bsinB=csinC].

即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素. 根据上述材料，完成下列各题.

（1）如图17（1），△ABC中，∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 60，则AB的值为     .

（2）如图17（2），一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里 / 时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB.

（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值.（结果保留根号.）

[A][C][D][c][a][B][b] [（1）] [北][南][西][东] [A][C] [30°][30°][75°] [（2）][B][图17]

参考答案：（1）AB =[206];

（2）货轮距灯塔A的距离AB =[156];

（3）sin75° = [2+64].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]陈莉红，张仁华. 2018年中考“综合与实践”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（3）：47-55，59.

[4]刘永东. 2016年中考“综合与实践”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（3）：54-64.