智慧课堂渗透数学思想精准教学提升学生品质

蒋妙娟

一、源起：

生活中，我们经常看到超市收银员时常要计算一堆不同面值纸币的总值，一般会先根据面值的不同将这些纸币分成一叠叠的，再分别计算出每叠纸币的值，最后合计出这堆纸币的总值。法国数学家笛卡尔曾说过： “把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解.”唯物辩证法认为，任何事物、现象、过程，内部的各个部分、要素、环节是相互联系、相互作用着的。而要揭示事物的本质属性及其发展规律，常常要使用人们在生产生活及科学研究中最为基本的思想方法———分类讨论思想.

在运用分类讨论思想解决某些初中数学问题时，常常要依据问题的本质属性中的相同点和相异点，将其分成若干个子问题，通过每个子问题的解决达到整个问题的解决.分类讨论思想在初中数学中应用极为广泛，中考试题中也经常涉及此类问题，该种数学思想对于提升学生分析问题、解决问题的能力、培养学生数学思维的严谨性、完整性、有序性、连贯性都很有帮助.但遗憾地看到，学生对于分类讨论思想掌握的并不理想.学生不是不知道要分类讨论，就是分类讨论时遗漏或者重复，因而深入研究分类讨论思想很有现实意义.

二、解决

一、结合数学概念的定义教学，准确、科学地渗透分类思想

在初中阶段的教学内容中，一些数学概念的定义，如有理数、实数的建立，绝对值的化简，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，两圆的五种位置关系等等……，都渗透着分类讨论的数学思想。对涉及到分类讨论思想的概念，教师在讲授这些概念时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握.

例1：已知a是有理数，那么 |a| 与a的关系是（ ）

（A） |a| > a （B）|a| < a （C）|a| = a （D）|a| ≥ a

分析：绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念

（1） 当a为正有理数或零时，|a| = a;

（2）当a为负有理数，即a< 0时， |a|= -a > 0，|a| = -a> a.

得正确答案： D.

但我们会发现，总有一部分学生会选C，究其原因，是没弄清绝对值这一概念，认为求一个数的绝对值，如：|5|=5;|-7.5|=7.5;……，只要去掉绝对值里面的负号.实际上，要讲清绝对值这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，这样学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况.

例2：（七上课本P16.第6题）数轴上到-3的距离等于2的数是多少？

学生总会丢掉一个数，没有分类为左右两边的数。

例3：在同一平面内有互相平行的三条直线a，b，c，且a与b之间的距离为3， b与c之间的距离为4，则a与c之间的距离为

为了使学生能牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念，有时可以采用让学生操作、分组讨论、师生一起加以归纳总结，同时增加变式训练的教学方法.例如，在学习两圆的五种位置关系的概念时，教师可让学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作，从两圆（半径不等时） 五种位置关系：内含、内切、相交、外切、外离，归纳出两圆的半径r1、r2与两圆的圆心距d之间的关系.这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生能形象、直观、生动和牢固的掌握这一知识点，在碰到问题时也就能迎刃而解.

二、明确分类讨论的实质，把握分类讨论的标准

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，或者在解决一个问题无法用同一种方法去解决时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。因此分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件.当然，我们需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，通过将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决。因此分类的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整.分类讨论的步骤为：确定对象、分类讨论、归纳综合.

三、增强分类讨论的意识，提高分类讨论的准度

分类讨论是很重要的一个数学思想，在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题.学生在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对.

例4（八上课本P25.第1题）已知等腰三角形的两边长为4和6，则它的周长是

例5已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边长是 .

首先，教师要增强学生分类讨论的意识.很多知识点是分类讨论的常客，比如线段及端点位置的不确定、角的一边会运动、三角形的形状、等腰三角形的边是底边还是腰、等腰三角形的角是顶角还是底角、直角三角形的边是直角边还是斜边、相似三角形的对应边及对应角等.对于这些知识点，要提醒学生在答题时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进题目的陷阱.

其次，分類讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的试，要具备一定的条理.分类的原则是（1）分类中的每一部分是相互独立的;（2）一次分类按一个标准;（3）分类讨论应逐级有序进行.

例6（八下课本P112.）剪两个全等的三角形纸片，在平面上把它们拼在一起，使一组对应边互相重合.请你试一试，可以拼出几个形状不同的平行四边形？

跟老师和学生们交流之后发现，就算是学习成绩很好的同学在这种题上都会多多少少的出现问题.

例7.在平面直角坐标系中直线y=x-1与X轴、Y轴分别交于A、B两点.__________

1.求A，B两点的坐标;

2.请在X轴上找一点C，使△ABC 为等腰三角形， 满足条件的C点有几个？

因此教师可根据初中学生的特点，教学中遵照循序渐近、逐步深化的原则，并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学，培养和发展学生思维的条理性、缜密性，从而提高学生全面分析问题和解决问题的能力，提高周密严谨的数学教养.

参考文献：

【1】初中生学业评价指导用书 数学2012.绍兴：浙江人民出版社

【2】林崇德 .中学生心理学【M】.北京：北京出版社，1983.

绍兴市元培中学 浙江省绍兴市 312000