2020年中考“函数”专题命题分析

陈世文　张宗余

摘  要：函数是研究变量之间关系的重要数学模型，统领着“数与式”“方程和不等式”，也是连接“图形与几何”与“数与代数”的桥梁. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题立足基础，考查函数核心知识;注重方法，凸显函数本质属性;突出应用，彰显函数现实价值;设问新颖，关注函数学习力. 新课程的评价理念落实到位，教学导向作用明显. 通过对2020年全国各地区中考试卷函数试题的考查内容和命题思路进行分析，提出命题建议，并提供一些模拟题供读者参考.

关键词：考查内容;命题思路;命题建议

一、考查内容分析

函数是初中数学的核心知识，是研究数量关系和变化规律的重要数学模型，蕴涵着丰富的思想和方法，是历年中考命题的重点考查内容.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，函数内容主要包括：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和三种表示方法;能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;理解一次函数、反比例函数与二次函数的概念、图象、性质，并利用这三类函数解决简单的实际问题. 同时，函数与方程、不等式及几何图形的融合也是函數部分的重点考查内容.

为了分析2020全国各地区中考试卷中函数试题的权重、考查内容、试题类型等，笔者从2020全国各地区中考试卷中抽取了32份样卷进行分析，得到了如表1所示的各组数据.

由表1可知，2020年全国各地区中考试卷中函数相关内容平均设计4道试题，选择题、填空题和解答题均有涉及，其中解答题占比较高，函数内容总分值占全卷分值的18%左右. 这些试题在全面覆盖函数基础知识、基本技能和基本方法的同时，更加注重对函数本质属性与内涵的考查，更加关注学生在新的问题情境下合理构建函数模型解决实际问题的能力，重视对过程的评价和基本活动经验的考查，凸显函数思想和研究函数的基本过程和方法. 严格遵循基础教育课程改革的基本理念和精神，有效落实了《标准》的基本要求和数学学科核心素养，增强了试题的应用性和创新性，教学导向作用明显.

二、命题思路分析

1. 立足基础，考查函数核心知识

函数的概念、图象和性质是函数的核心知识，也是学生学习的重点内容. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题继续立足基础与核心，着重考查学生对函数概念的理解、图象的掌握和性质的运用，以及不同问题情境下的综合运用函数知识解决问题的能力.

例1 （北京卷）有一个装有水的容器，如图1所示. 容器内的水面高度是10 cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加，则容器注满水

之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）.

（A）正比例函数关系 （B）一次函数关系

（C）二次函数关系 （D）反比例函数关系

例2 （浙江·台州卷）如图2，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度[v]（单位：[m / s]）与运动时间[t]（单位：s）的函数图象如图3所示，则该小球的运动路程[y]（单位：m）与运动时间[t]（单位：s）之间的函数图象大致是（    ）.

【评析】例1、例2均以生活中的实际问题情境作为试题背景，让学生从实际问题情境中抽象出相关函数和图象，有效考查了学生对函数概念和函数图象的理解. 同时，例2以图象形式给出运动速度[v]与运动时间[t]之间的关系，进而探究小球的运动路程[y]与运动时间[t]之间的函数图象，在考查函数概念的同时，也加大了对学生识图、作图能力的考查，提高了试题的区分度和可推广性.

例3 （贵州·遵义卷）抛物线[y=ax2+bx+c]的对称轴是直线[x=-2.] 抛物线与x轴的一个交点在点[-4，0]和点[-3，0]之间，其部分图象如图4所示，下列结论中正确的个数有[（]    [）].

①[4a-b=0;]②[c≤3a;]③ 关于x的方程[ax2+bx+][c=2]有两个不相等实数根;④[b2+2b>4ac.]

（A）1个  （B）2个  （C）3个  （D）4个

例4 （山东·威海卷）如图5，点[Pm，1]，点[Q-2，n]都在反比例函数[y=4x]的图象上. 过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N. 连接OP，OQ，

PQ. 若四边形OMPN的面积记作[S1，] [△POQ]的面积记作[S2，] 则（  ）.

（A）[S1∶S2=2∶3] （B） [S1∶S2=1∶1]

（C）[S1∶S2=4∶3] （D） [S1∶S2=5∶3]

【评析】例3、例4均是对函数图象和性质的考查. 例3直接借助二次函数图象分析相关问题，考查学生从图象中获取信息和处理相关信息的能力. 而例4在图象中融入几何元素，求四边形与三角形面积之比，其本质是考查反比例函数的定义（[xy=k]）和其图象关于原点中心对称的性质. 结合图象或在图象中融入几何元素，加强学生对函数性质的理解掌握情况的考查是中考试题的常见类型，如广东东莞卷第10题、浙江湖州卷第16题等.

2. 注重方法，凸显函数本质属性

《标准》指出，对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题，在立足基础、考查函数核心知识的同时，注重对函数思想方法的考查，关注函数的概念、图象与性质的本质属性.

例5 （安徽卷）在平面直角坐标系中，已知点[A1，2，B2，3，C2，1，] 直线[y=x+m]经过点A，抛物线[y=ax2+bx+1]恰好经过A，B，C三点中的两点.

（1）判断点B是否在直线[y=x+m]上，并说明理由;

（2）求a，b的值;

（3）平移抛物线[y=ax2+bx+1]，使其顶点仍在直线[y=x+m]上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.

例6 （浙江·嘉兴卷）已知二次函数[y=x2，] 当[a≤x≤b]时[m≤y≤n]，则下列说法正确的是[（]    [）].

（A）当[n-m=1]时，[b-a]有最小值

（B）当[n-m=1]时，[b-a]有最大值

（C）当[b-a=1]时，[n-m]无最小值

（D）当[b-a=1]时，[n-m]有最大值

例7 （北京卷）在平面直角坐标系xOy中，M[x1，y1，N x2，y2]为抛物线[y=ax2+bx+c a>0]上任意两点，其中[x1<x2.]

（1）若抛物线的对称轴为[x=1，] 当[x1，x2]为何值时，[y1=y2=c;]

（2）设抛物线的对称轴为[x=t，] 若对于[x1+x2>3，] 都有[y1<y2，] 求 t 的取值范围.

【评析】例5已知抛物线[y=ax2+bx+1]恰好经过[A]，[B]，[C]三点中的两点，求[a]，[b]的值，需要学生尝试描点、画图，同时结合二次函数的性质进行判断，倡导学生“做数学”，深刻考查学生对图象性质及特征的把握;第（3）小题中求平移后所得抛物线与[y]轴交点纵坐标的最大值，则需要抓住顶点仍在直线[y=x+m]上构建关于纵坐标的函数关系式.

例6中给定二次函数[y=x2]，则函数的图象确定.抛物线越向上，其“斜率”越大，当[b-a=1]时，则两点间的水平距离不变，当两点关于对称轴对称时，[n-m]有最小值为[14];当[n-m=1]时，则两点间的铅垂距离不变，越向上[b-a]的值越小，所以[b-a]有最大值，而无最小值.

例7的第（2）小题已知[x1+x2>3]时，都有[y1<y2]，反过来探究对称轴t的取值范围，需要抓住二次函数的增减性本质，对M，N两点与对称轴的位置进行分类讨论，同时抓住[x1+x2>3]进行突破.

以上三道例题均是通过在函数中增加“变化”元素，让图象或点动起来，在变与不变、动与不动中探究最值、比较大小等，在考查函数概念、性质和图象的本质属性时，也进一步凸显了函数是研究变量之间关系的本质，蕴涵了数形结合、分类讨论等思想方法.

3. 突出应用，彰显函数现实价值

《标准》指出，为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题都非常注重创设学生身边熟悉的生活情境，注重设计结合本地经济热点、社会热点等的实际问题. 通过研究实际问题中所包含的数量关系和变化规律，并以函数的形式加以表达，然后利用函数表达式、图象和性质等知识使原问题得以解决. 这对于学生深刻理解并体会函数的应用价值，突出建立函数模型的思想方法，发展学生的应用意识具有重要的意义.

例8 （江苏·连云港卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式[y=-0.2x2+1.5x-2]，则最佳加工时间为______.

例9 （陕西卷）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术. 这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20 cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长. 研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图6所示.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）当这种瓜苗长到大约80 cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？

【评析】例8直接给出爆米花的可食用率y与加工时间x（单位：min）之间的函数表达式，要求最佳加工时间，关键是要理解实际问题“最佳加工时间”的意义. 例9以图象的形式给出瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系，要求继续生长大约多少天开始开花结果，则需根据图象建立函数模型，然后代入求解. 两道例题结合生活实际考查学生对函数关系中变量的深刻理解，同时凸显函数能够表示相关变量之间的数量关系和变化规律，能对事物做出研判和预测的实际价值.

例10 （浙江·绍兴卷）如图7，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即[BA=2.88 m，] 这时水平距离[OB=7 m，] 以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图8.

（1）若球向正前方运动（即[x]轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）. 并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的點[P]（如图7，点[P]距底线[1 m]，边线0.5 m），问发球点[O]在底线上的哪个位置？（参考数据：[2]取1.4.）

【评析】模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 例10通过判断这次发球能否过网、是否出界，以及发球点在底线上的哪个位置等系列实际问题，考查学生建立函数模型、求解函数模型的能力，凸显函数的应用价值，有助于学生初步形成函数模型思想，值得借鉴与推广.

4. 设问新颖，关注函数学习力

《标准》指出，数学教学应引导学生在参与数学活动的过程中，积累基本活动经验，帮助学生形成独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯与思维品质. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题，基于研究函数的基本策略与路径，设计新颖问题，考查学生在新的问题情境中，能否合理运用已有的函数学习经验和思考路径解决新问题，注重对活动经验的考查，关注学生的函数学习力.

例11 （江苏·扬州卷）小明同学利用计算机软件绘制函数[y=ax（x+b）2 a，b为常数]的图象如图9所示，由学习函数的经验，可以推断常数a，b的值满足（    ）.

（A）[a>0，b>0] （B）[a>0，b<0]

（C）[a<0，b>0] （D）[a<0，b<0]

例12 （北京卷）小云在学习过程中遇到一个函数[y=16xx2-x+1 x≥-2.]

下面是小云对其探究的过程，试补充完整.

（1）当[-2≤x<0]时，

对于函数[y1=x，] 即[y1=-x，] 当[-2≤x<0]，[y1]随x的增大而________，且[y1>0];

对于函数[y2=x2-x+1]，当[-2≤x<0]时，[y2]随x的增大而________，且[y2>0];

结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当[-2≤x<0]时，y随x的增大而________.

（2）当[x≥0]时，对于函数y，当[x≥0]时，y与x的几组对应值如表2所示.

[x 0 [12] 1 [32] 2 [52] 3 … y 0 [116] [16] [716] 1 [9548] [72] … ][表2]

结合上表，进一步探究发现，当[x≥0]时，y随x的增大而增大. 在如图10所示的平面直角坐标系xOy中，画出当[x≥0]时函数y的图象.

（3）过点[0，m m>0]作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数[y=][16xx2-x+1 x≥-2]的图象有两个交点，则m的最大值是________.

【评析】例11给出一个新函数[y=ax（x+b）2]（[a，b]为常数）的图象，判断a，b的符号，主要考查系数对函数图象的影响，注重数与形的对应分析. 因为[x+b2>0]，由图象可知，当[x<0]时，[y>0]，所以[a<0]. 又因为[x≠-b]，由图象可知，图象分界线在x轴负半轴，所以[-b<0]，即[b>0]. 例12通过让学生经历一个新函数性质和图象的探究过程并对其加以应用，将函数图象、性质的研究方法及路径巧妙地融合于对新函数的研究之中.

三、命题建议

中考数学试卷中函数试题的命制，既要严格遵循《标准》的内容要求，又要考量学生进一步的数学学习与发展. 因此，一要聚焦函数核心知识，坚持主干知识覆盖考、重点知识重点考，严格落实基础知识和基本技能;二要注重对思想方法的考查，关注函数的本质属性，围绕运动变化及变量之间的对应关系等，在试题中加强对函数思想方法的渗透，凸显函数模型价值;三要不在形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释、分析和解决具体问题，不能为了“综合”而强行“揉捏”，即便植入了外部知识，亦要突出函数的本质属性;四要结合学生未来的学习之需，在现有的函数属性和学习经验中“做文章”，编制新颖试题，重视对基本活动经验的考查，关注学生的学习过程和创新能力.

四、模拟题欣赏

为了便于交流与学习，笔者为大家提供了几道函数相关的模拟试题，仅供参考与赏析，也欢迎大家批评指正.

1. 如图11，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点. 动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运时间x的函数关系如图12所示，则AB的长为（    ）.

（A）4 （B）[42] （C）[33] （D）[22]

参考答案：B.

2. 已知二次函数[y=x2+bx+c]（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是[x1，0]和[x2，0]，且[m<][x1<x2<m+1，] 当[x=m]时，[y=p]，当[x=m+1]时，[y=q]，则（    ）.

（A）p，q至少有一个小于[14]

（B）p，q都小于[14]

（C）p，q至少有一个大于[14]

（D）p，q都大于[14]

参考答案：A.

3. 如图13，正方形[ABCD]的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且[AE⊥EF]，则AF的最小值为________.

参考答案：5.

4. 如图14，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE. 若AD平分[∠OAE，] 反比例函数[y=kx k>0，x>0]的图象经过AE上的两点A，F，且[AF=EF，] [△ABE]的面积为18，则k的值为________.

参考答案：12.

5. 已知，点M为二次函数[y=-x-b2+4b+1]图象的顶点，直线[y=mx+5]分别交x轴正半轴、y轴于点A，B.

（1）判断顶点M是否在直线[y=4x+1]上，并说明理由;

（2）如图15，若二次函数图象也经过点A，B，且[mx+5>-x-b2+4b+1]，根据图象，写出x的取值范围;

（3）如图16，点A坐标为A[5，0]，点M在[△AOB]内，若点[C14，y1，D34，y2]都在二次函数图象上，试比较[y1]与[y2]的大小.

参考答案：（1）点M在直线[y=4x+1]上.

（2）x的取值范围是[x<0]或[x>5].

（3）① 当[0<b<12]时，[y1>y2];

② 当[b=12]时，[y1=y2];

③ 当[12<b<45]时，[y1<y2].

6. 在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（建立如图17所示的直角坐标系），抛物线顶点为点B.

（1）求该抛物线的函数表达式.

（2）当球运动到点C时被东东抢到，[CD⊥Ox]于点D，[CD=2.6 m.]

① 求OD的长.

② 东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点[E4，1.3.] 东东起跳后所持球离地面高度[h1 m]（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式[h1=-2t-0.52+2.7 0≤t≤1;] 小戴在点[F1.5，0]处拦截，他比东东晚0.3 s垂直起跳，其攔截高度[h2 m]与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图18所示（其中两条抛物线的形状相同）. 东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，试说明理由.（直线传球过程中球运动时间忽略不计.）

参考答案：（1）[y=-2x-0.42+3.32;]

（2）①[OD=1 m;] ②[110<t<23-28510.]

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘金英，张义民. 评价“有形” 教育“无痕”：2017年中考“函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2018（1 / 2）：57-65.

[3]车宏路，于永生，刘伟，等. 2018年中考“函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（1 / 2）：47-53.

[4]吴仲玲，张宗余. 回归函数本质，彰显理性思维：2019年中考“函数”专题命题分析[J].中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：57-62.