数形结合思想在高三数学复习中的应用

【摘 要】数学作为研究空间形式和数量关系的学科，数和形是它的两个最基本的要素。高三学生在高考数学的解题过程中，充分利用数形结合的方法，可以在节省时间的同时降低错误率，若灵活恰当地使用数形结合思想，就能够快速解决集合、函数、方程及线性规划等多个领域的问题。本文将结合具体的例子探讨如何将数形结合思想更好地应用于高三的数学课堂，让数形结合思想为构建高三复习的高效课堂提供帮助，进而帮助学生实现从普通生到尖子生身份的转变。

【关键词】高三数学;数形结合思想;高效课堂

数学作为研究空间形式和数量关系的学科，数和形是它的两个最基本的要素，数形结合的应用体现在三个方面：以数转形、以形转数和数形等价。高三学生充分利用数形结合的方法，可以在节省解题时间的同时降低错误率，若灵活恰当地使用数形结合思想，还能够快速解决集合、函数、方程及线性规划等多个领域的问题，实现从普通生到尖子生身份的转变。高三教师若能在以下三个方面进行落实，定能将数形结合思想更好地应用于高三复习中，让数形结合思想为构建高三复习的高效课堂提供帮助。

一、善用思維导图，健全知识体系

1.重视基础知识

课本是一切知识的来源与基础，课本中概念、定理与性质，都是学习数学非常重要的环节。以下面的题目为例：

此题可用数形结合的方法来解答，但是，使用数形结合法的前提是，学生对指数函数和对数函数有足够的了解，能够顺利在同一个平面直角坐标系中画出分段函数的图形。很多一线教师通过题海战术，举出很多类似的例子来培养学生这种解题模式，却没有点出其内在的本质是对基础知识的熟练掌握，那么学生依旧不能做到独立解题，再遇到类似的题目，学生往往感觉“我会做”却无从下笔。

2.构建知识网络

基础复习要“细”，学生应立足课本，注意所做题目使用的知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。核心的知识要概括，解题的方法要概括，引导学生建立思维导图，能让学生所学的知识层次清晰、逻辑清楚，更重要的是，这个知识结构图也体现了学生应掌握的数学思维的基本模式与方法，让学生在解题时迅速激活已学过的各个知识点，有效地提高复习的质量，让解题事半功倍。比如，右图便是数形结合思想在函数中的应用。

二、重视基础题型，争取会做必对

数形结合思想的应用体现在三类题目：以数转形、以形转数和数形等价，前两种便是较为基础的题型。

此题可以利用函数在x≥0时的图象和奇函数的特性，画出x<0时的图象（图1），最终看出f（x）在R上单调递增，从f（2-a2）>f（a）得到2-a2>a来求解出-2

从形到数的转换，一道动态的向量问题便转化成普通的三角函数问题进行求解，若是学生不懂利用形的特色，简单地假设出P（x，y），此题将比较难解答。此时，教师要做的，便是帮助学生整理思路，将数形结合的典型问题模型化，将问题的通解通法固化在学生的解题思维中，这样学生的解题能力才能提高，复习质量才能提上来。

三、攻克特色难题，全面培优培尖

数形结合思想最大的特色就是知识综合，数形等价，数作用于形，形服务于数。此时的数形结合思想具体指的就是按照隐藏于数和形当中的对应关系，凭借数与形之间的相互转化来妥善处理复杂数学问题的一种宏观理念。

本题由函数图象得到a，b的范围，再由a，b的关系式结合不等式的性质计算得到答案，似乎数形结合的思想得到了应用，可是实际上，用方法1的同学没有很好地讨论出结果，反而是使用方法2的同学正确率比较高，相比之下，再次使用数形结合思想的法2，结合简单线性规划的思路，极为巧妙地解决问题，计算量也大大减少。

我们不妨再看下一道题目：

【正解】以点A为坐标原点建立平面直角坐标系（如图6），点P（x，y）在∆BCD内运动（含边界），可行域对应的不等式组完全可以求出。再由得x=3α，y=β，记Z=α+β，则题目变为目标函数是的简单线性规划问题进行求解。题中α、β是相互限制的两个数，不可用取极限位置的方法将其独立计算，学生应该用宏观的角度来思考，注意到平面区域的问题可以采用简单线性规划的思路来求解。

上述两题的共同特征便是数形等价，解题技巧性强，数到形、形到数的相互转化牵涉到多个数学知识点。在高三复习的中后期，教师可以利用一些综合性强的题目，训练学生抓住数学问题核心的能力，用数形结合的思想让学生学会将数学问题化繁为简，从抽象转为具象，老师不应就题讲题，而是要“借题发挥”，以问题为载体，以方法为杠杆，拓展、强化、巩固学生的知识体系，须知，数形结合思想体现的就是数学灵活性以及规律性的高度融合。

高三数学总复习是一项复杂的系统工程，其特点是容量大、跨度大、综合性强、节奏快。目前的高考强调对数学基础知识的考查，在知识交汇点设计试题，故高三的复习既要立足于巩固所学的基础知识、掌握基本方法和技能，又要着眼于提高能力、深化思维;既要在复习中学全题型，又要避免“题海战术”，因此教师对试题研究的深度和广度直接关系学生的备考效率，而复习的质量更是直接关系到高考的成败。

数形结合是一种最基本的数学思想方法，是简化数学表达、解决数学问题的“利器”。教师只有在教学中将数形结合思想应用到实处，了解其实质乃是用“形”的直观启迪“数”的计算，用“数”的准确澄清“形”的模糊，在平时训练的过程中让学生养成画图的好习惯，要求学生在思考时做到心中有图，见数思图，通过不断强化数形结合的解题思想，才能让学生在面对许多复杂的问题时心中豁然开朗。而只有将数形结合思想真真正正落实到解题中，才能激发学生的创造力，从而真正实现提高课堂复习效率、提升学生数学素养的美好愿望。

【参考文献】

[1]周西凤.数形结合方法在高中数学教学中的应用浅谈[J].数学学习与研究，2019（23）：28.

[2]何燕.数形结合思想教学现状及其解决策略[J].课程教育研究，2020（03）：181-182.

潮州市金山中学  陈静莹