基于核心素养的概念课教学

徐冲 陈春芳

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验。近几年模拟题、高考题越来越注重对数学概念的考察，而不仅仅专注于考察数学技巧。教授李邦何曾讲过“数学基本上是一个玩弄概念的问题，而不是深奥的技能”。理解数学概念是学习数学最基本的要求。概念看似简单，但其隐藏的深层次的数学内涵和背景需要教师带着学生一点点去探究，在研究的过程中不断领略其中的奥妙。对概念的深入理解也有利于提升学生的数学核心素养，同时对获得后续数学新知识方面发挥着非常关键的作用。数学是塑造数学视野，数学思维的人。教师可以通过概念教学将学生培养成为一个“数学人”。本文以《任意角》为例，探究如何在概念课的教学中提升学生的数学核心素养。

一、教材分析

（一） 学情分析

本节课的教学班是省重点中学的高一普通班学生，孩子们都有良好的学习基础，勇于提出问题，分析问题和交流问题。同学之间相互合作、讨论的氛围较为浓厚。在苏教版必修一的课本中，学生已经学习了函数的概念以及性质，也学习了指、对、幂函数的图像以及性质，掌握了研究函数图象和性质的一般方法。学生在初中已经学习过角的概念。本节课将在学生原有认知的基础上推广角的定义以及角的表示方法。同时学生还要构建出本章的大致知识体系，为后续学习整章内容建构宏观的认知。

（二）教材分析

“任意角”是苏教版必修四第一章的起始课。本章内容的重点是三角函数。三角函数是继指、对、幂函数之后的另一个基本函数，是描述客观周期性变化的重要函数模型，在高中数学中的意义是非常重要的。本课作为三角函数章节的第一节课，其中蕴含的各种数学思想方法，数学核心素养值得我们慢慢体会。其中类比思想，数形结合思想在本课中有着重要的体现，数学抽象，逻辑推理等数学核心素养也深蕴其中。

（三）教学目标

1.学生可以讲出任意角的定义，能够在平面内建立相应的坐标系对角进行分类并进行讨论;

2.学生可以于0°至360°之间，找到与已知角度的末端边缘相同的角度，并确定它是哪个象限;

3.学生能写出与任一已知角终边相同的角的集合。

（四）教学重点

角的概念的推广，终边相同角的表示

（五）教学难点

任意角，正角，负角等概念的形成

二、教学过程

（一）创设情境，激发兴趣

问题1 同学们，必修一这本书我们学习了哪些有关函数的知识？

生1：学习了函数的概念，表示，性质。然后研究了指数，对数，幂函数模型。

设计意图：通过这个问题让学生回顾以前学习的函数模型，以及研究函数的方法，为本章继续研究三角函数做铺垫。

问题2 在以前的学习过程中，我发现函数是用于描述客观世界变化规律的数学模型。它可以用来描述我们生活中的一些现象。孩子们，我们生活中经常会遇到周而复始，循环往复的现象。我们把按照一定规律，不断重复出现的现象称为周期现象。那么同学们能不能列举生活中周而复始，循环往复的现象呢？

生2：潮起潮落，日出日落。

师：这位同学回答的很好。其实在我们日常生活中有很多这样的周期现象。地球自转和公转的日变化和季节变化.我们物理里面的单摆运动，弹簧振子运动中物体的位移呈现周期性地变换，音叉发出的纯音振动，线圈在匀速磁场中按逆时针方向匀速旋转产生的交变电流等等物理现象均是周期现象，无锡太湖边的摩天轮的运动也是周期现象。我们用什么函数模型来刻画这种周期现象呢？那么我们必修一所学的指对幂函数模型能否刻画这种周而复始的现象呢？本章将要学习的三角函数模型将会很好地刻画这种周而复始的现象。这也是本章最重要的一个学习目标，今天我们为后续三角函数的学习做好准备工作。

设计意图：让学生结合生活中的经历，回忆一些周期现象，激发学生学习兴趣。

这几个物理中的周期现象是后面三角函数研究的重要模型，让学生感受学科之间的关联性，深刻了解数学学科的基础性。提出三角函数让学生明白本章学习重点，激发求知欲。

（二）意义建构，形成概念

问题3 同学们，今天我们就从大家都玩过的摩天轮开始我们的研究.我们看摩天轮，匀速圆周运动，一圈又一圈周期变化。在转动过程中如果我想刻画摩天轮上某一点P的位置，我们要怎么样描绘它？下面请大家分组讨论。

计划目标：这是一个团队合作完成，培养孩子们开放性思维的问题。

生3：以摩天轮的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，摩天轮在转动过程中，点p的坐标在变，用相应的坐标刻画点P的位置。

生4：以水平线为参照物，用角来刻画点P位置。

生5：可以用弧长来刻画，以最低点为起始点，看点P与该点之间的弧长。

师：很好，同学们想法很多.在旋转过程中，最直观的变化是角，那我們就先从角的观点来刻画点p的位置，我们通过旋转的角度来确定点P的位置时有哪些困难？

生6：如果摩天轮旋转超过一圈那么这个旋转角不好表示。

师：这位同学提的问题非常好，当点P的位置旋转超过一圈时，旋转角度就超过我们熟知的角的范围 0°到360°了。其实，同学们在生活中有没有接触过超过这个范围的角呢？比方说体操运动员旋转。现在让我们回想一下中学角度的概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。同时初中教材还有这样一句话：角可以看做一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。也就是从运动的观点看，角可以理解为旋转而成的，平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，所旋转的射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。从运动的观点给角下定义，角的范围就可以超过 可以取到任意正角。

問题4 请同学们考虑下面两个生活中的问题，时钟走快了15分钟，应如何旋转分针。将瓶盖旋转30度，瓶盖是变松了还是变紧了。

生7：将分针逆时针旋转90度，瓶盖松紧不确定，因为旋转方向不定。

师：那么既然旋转方向不同，最后达到的效果不同，那么我们如何表示不同旋转方向的旋转角呢？我们以前的学习经验中有没有遇到类似地情况。初中学习正负数时候，数值0右边的对应数值为正，数值0左边的数值为负。我们可以类似地将旋转方向相反的角定为正角和负角。

设计意图：通过生活中的具体例子，让学生感受旋转方向的重要性。学生类比初中正负数的学习过程，得出正负角的定义。数学学习中，类比的思想方法是学习新知识非常重要的方法。

生8：逆时针旋转是正角度，顺时针旋转是负角度。

师：这位同学回答的很好，当然你们也可以尝试规定顺时针为正角，但规定逆时针为正也符合我们数学习惯，例如初中给平面直角坐标系规定四个象限的时候，它们也分别是逆时针方向的第一、第二、第三和第四象限。即使我们日常生活中也比较偏爱逆时针，水面的漩涡，赛跑时也是绕着逆时针跑，这个跟我们天文地理以及人本身的身体机能习惯有关。数学上这样规定正角，负角在后面我们学习三角函数会有更深刻的理解。实数有正负数和0，那么角度除了正角度、负角度，我们还知道应该还有零角度。所以，规定若该线不旋转，则将其视为零角度。截至目前，我们做了一件很重要的事，将0°到360°的角推广到了任意角。

师：如果我们要确定一个任意角，要知道什么？

生9：旋转方向，旋转量

师：前面我介绍说了本章主要是运用三角函数这个数学模型来刻画周期现象。那么我们都知道研究函数一定离不开平面直角坐标系。同学们，我们将刚刚推广的任意角放在坐标系中去研究，将角的顶点放在坐标原点，角的始边与x轴正半轴重合，这样对角的研究只需要研究角的终边。角的终边可以落在坐标系的第一、二、三、四象限，我们将角的终边落在哪个象限的角就称为第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，称之为轴线角。轴线角不属于任何象限角。我们把角放在坐标系中，我们很容易发现研究一个旋转角只需要研究角的终边，使问题变得更简单。

（三）数学运用，加深认识

例1.判断下面角属于第几象限角。

师：在平面直角坐标系中画出上述角，上述角中有哪些具有共同特征？

生10：角的终边是重合的，角的终边是重合的。

师：我们发现了上面不同的对象具有的共同的特征.和同一个角终边终边相同的角有无数个，你们觉得接下来我们应该研究什么问题

生11：我们需要研究具有相同终边的角有什么关系。

师：那你先回答一下上面两组同终边的角的关系

生11：

师：有没有同学可以从这几个具体例子抽象出与任意角 终边相同的角的表达式

生11：

师：终边相同的角的一般形式：，这里面我们要注意的是k是整数，的整数倍从形上面看就是相差了几圈。写成集合形式就是

师：由至里分别找到与下面四个角的终边相同的角度，同时想想在哪个象限。

设计意图：学生利用象限角的概念进行判断，巩固所学的知识。这个问题是上一问题的一般化形式，是数学抽象的过程。数学抽象作为数学6大核心素养之一，在我们平时的教学中需要不断渗透，不断引导学生自主地去抽象数学问题，进而描述数学现象，从而解决数学问题。在我们的平时课堂中，教师一定要注重引导学生从具体的数学问题中抽象出一般的数学概念，数学结论的思维，也要着重培养学生从特殊例子中抽象出解决数学问题的一般方法的能力，开发学生遇到问题要透过现象看出问题本质的潜力。

（四）课堂小结

本节课我们从实际生活问题出发，类比初中正负数的定义，将0°到360°的角推广到任意角，为后面三角函数的学习做了准备。学习过程中同学们通过具体事例得出终边相同角的一般关系，体会了数学抽象的过程。

三、教学反思

新高考，新课程标准都要求我们注重本学科核心素养，核心素养说明白了就是教给学生一生能带的走的能力。数学的核心素养要求我们教师教授学生在新情境，新问题下运用所学的数学知识，数学思想方法解决问题。在教学过程中，我深感概念教学的重要性。现在越来越多的学生只注重题目的解答过程与结果，很少关注知识的生发过程，也就很少重视概念课的衍生过程。更有甚者，觉得概念课只需要花几分钟介绍一下书本概念，然后不断练题就行。的确，这样做短时间可能会掌握比较多的解题技巧，但随着学习的深入，知识的联系性加强，这样的学习只会让学生知识混乱，逻辑不清，到最后连最基本的定义，概念都不能理解性地说出。数学课首先介绍数学教育的实质内容，同时按照教育法充分反映教育的社会目标。进行章节起始课的教学过程中，如何才能帮助学生在头脑中能形成良好的认知结构，章节起始课上的数学概念教授一定要注重知识发生发展的过程。让学生自己探究出新知识，新概念，进而实现化春风为雨，润物无声的效果。