恒成立问题的另类解法

景来峰 杨长智

摘 要：新课标下的恒成立是高中数学的常见问题，它主要考察函数与导数，方程与不等式，函数性质与图象的综合应用。同时渗透换元，转化与化归，函数与方程的思想方法，尤其导数中体现更为明显，是历年高考的热点问题。客观题中的恒成立问题，通过分离参数或转化为求函数的最值基本能够解决，但主观题的恒成立问题，经常是以压轴题的形式出现，同学们做起来，经常感到思路不畅，解答不完整，通法难以套用等。下面我就导数大题的恒成立问题，并结合高考题谈一下思路和方法。

关键词：导数;恒成立;放缩;分类讨论;两个小不等式等

一、观察端点函数值，转化为讨论函数的单调性

例1：设函数若对恒成立，求m的取值范围。

分析：观察端点函数值f （x）=0，原题即为x>1恒有f （x）>f （1），所以只需讨论m，说明f （x）在单增即可，但是不能按f （x）是单增函数求m范围，因为f （x）在（1，+∞）单增是 f （x）>0（1，+∞）恒成立的充分不必要条件。

解：

令g （x）=x2+x-m，g （x）在（1，+∞）单增且g （1）=2-m

（1）当即时

在（1，+∞）是增函数

所以  f （x）在（1，+∞）为增函数

对，有，适合题意

（2）当即时

令得

当时，即

在上是减函数

当时，不适合题意

所以m取值范围是

方法总结：若题目为：时恒成立，求f （x）中参数的取值范围。先观察端点函数值，若，即转化为讨论参数，说明f （x）在单增（单减）即可，上题中在的单调性是明确的，如果不明确，需要二次求导。有的题目需要变形后才能转化成上面的类型。

例2：（14年全国高考） 已知函数

（1）讨论f （x）的单调性

（2）设，当求b的最大值。

（1）略

（2）

分析：观察即 所以只需讨论b，说明即可。

简解：

因为

①当即时

在R上单增适合题意

②当即时

令得

当是减函数不合题意

所以b取值范围是，b最大值为2.

方法总结：本题端点函数值为零，然后通过整体思想或者换元，转化为讨论二次函数的单调性问题。

例3（2020全国理科）   已知函数

（1）当时 讨论f （x）的单调性

（2）当时 ，求的取值范围.

（1）略

分析（2）若令

观察到：即。所以可以转化为讨论，说明即可，但是几次求导后不能转化为上面的题型，讨论单调性。因此需先把原题变形一下：即。

分析：令，观察端点函数值 ，即，所以只需讨论，说明g （x）在（0，+∞）单减即可

简解：

令

①当即时

g （x）为增函数时不合题意

②当即时

单减

单减极大值

由要使只需

由解得

③当即时    因为

可以说明当   恒成立

也可以直接说明

时

综上的取值范围是

方法总结：本题虽说符合这种解法，但是没法直接讨论其单调性，需要变形后再讨论。适当的变形是关键。

二、对参数进行分类，在每一类下说明不等式是否恒成立。

这种题有两个关键点，一是参数的范围如何划分，二是怎么说明不等式是否成立，说明不成立，找到特值或区间，说明成立需要进行征明，可能用到两个小不等式的放缩。

如4（15年四川高考）已知函数

讨论f （x）的单调性

试确定a的值，使得在区间（1，+∞）恒成立

过程略①单增

②时是增函数， 是减函数

（2）分析：若令虽说

即：时，恒成立但无法讨论，说明g （x）的单调性

简解：1°当时

而即

不成立

2°由（1）的结论可知：①当即时

由①知f （x）在单减

所以而原式不成立

②当即时（说明g （x）单增即可）

在（1，+∞）是增函数

所以：当适合题意

取值范围是

方法总结：由根据单调区间对 进行了分类然后在每一类下，进行说明或证明，其中证明时用到放缩①

如5.（2020全国高考）已知函数

（1）时求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积。

（2）若求的取值范围

简解：（1）略

（2）

在是增函数

①当时 不成立

②当时是增函数，且f '（1）=0

，f （x）单减，f （x）  单增

所以 所以恒成立

③当时

使即

f （x）单减

f （x）单增

时 恒成立

综上的取值范围是

方法总结：本题根据的正负对进行分类，而说明成立，相当于隐零点求最值，当然本题也有其它简单的解法。

以上就是我对恒成立问题的两种解法的总结，当然恒成立问题，灵活多变，综合性强。在掌握基本方法的前提下，观察式子特点，通过化归思想，转化为熟知的类型。

參考文献

[1]杨秀.一类恒成立问题的解法探究[J].中学生理科应试 2020（08）：8-9.

[2]洪汪宝.一道恒成立问题的多种求解策略[J].中学生数理化（高二使用） 2020（Z1）：72-73.

[3]何成宝.浅谈不等式恒成立问题的类型及其求解策略[J].中学生数理化（高二使用） 2020（Z1）：80-81.

[4]周亮.高中数学含参不等式恒成立问题解题策略[J].试题与研究 2020（18）：24.

[5]曹彬.一个函数不等式恒成立问题的两种解法[J].数理化解题研究 2020（16）：49-50.