包含两个三角形的秩为7的双圈图刻画

尹慈 马晓玢

摘 要：图G的秩r（G）定义为其邻接矩阵的秩，图G的特征值定义为其邻接矩阵的特征值，图G的零维数η（G）定义为其邻接矩阵的零特征值的重数.本文主要刻画包含两个三角形的秩为7的双圈图.

关键词：秩;邻接矩阵;双圈图

[中图分类号]O157.6   [文献标志码]A

Abstract：The rank r（G） of a graph G is defined to be the rank of its adjacency matrix，the eigenvalues of a graph G is defined to be the eigenvalues of its adjacency matrix，the nullity η（G） of a graph G is defined to be the multiplicity of zero eigenvalues of its adjacency matrix.In this paper，we characterize bicyclic graphs with rank 7 containing two triangles.

Key words：rank;adjacency matrix;bicyclic graph

图的秩一直是谱图理论领域的热点，有许多文章刻画了给定秩或者零维数的图.1957年，Collatz和Sinogowitz提出了一个问题就是怎样刻画所有的奇异图.[1]针对确定图G为奇异的结构特征的问题，许多人研究了η（G）（或r（G））对图G结构的影响.[2]S.Hu[3]等说明了所有秩为2的连通图是完全二部图，所有秩为3的连通图是完全三部图.G.J.Chang[4]等刻画了秩为4的连通图.G.J.Chang[5]等刻画了秩为5的连通图.L.Wang[6]等刻画了不包含三角形的秩为6的连通图.本文仅考虑连通的简单图.图G=V（G），E（G）的秩，定义为其邻接矩阵的秩，记为r（G）;图G的特征值定义为其邻接矩阵的特征值;图G的零维数，定义为其邻接矩阵的零特征值的重数，记为η（G）.很明显r（G）+η（G）=V（G）.如果η（G）>0或者η（G）=0，则图G称为奇异的或者非奇异的.一个连通的简单图G称为k -圈图，如果k=E（G）-V（G）+1.其中，当k=1（k=2，k=3）时，图G就称为单圈图（双圈图，三圈图）.含有n个点的圈和路分别记为Cn，Pn，含有n个点的完全二部图记为Kn.n.[7]图H称为G的一个导出子图，如果H的顶点集V（H）是G的任意顶点子集，边集E（H）为G的边集E（G）中两个顶点均属于V（H）的边的集合.本文刻画秩为7的包含两个三角形的双圈图.

1 预备知识

综上所述，秩为7的包含两个三角形的非奇异双圈图，只有A，B，C，D，E，F，H，I，J，K.秩为7的包含两个三角形的奇异双圈图，只有L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U.

参考文献

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[4]G.J.Chang，L.H.Huang，H.G.Yeh.A characterization of graphs with rank 4[J].Linear Algebra Appl.，2011，434 （8）：1793-1798.

[5]G.J.Chang，L.H.Huang，H.G.Yeh.A characterization of graphs with rank 5[J].Linear Algebra Appl.，2012，436 （11）：4241-4250.

[6]L.Wang，Y.Fan，Y.Wang.The triangle -free graphs with rank 6[J].Journal of Mathemtical Research with Applications.，2014，34（5）：517-528.

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[9]彭杨，耿显亚，朱娜.几类正惯性指数为2的图的刻画[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2021（1）：1-6.

编辑：琳莉