基于高维随机矩阵理论的配电网实时故障分析方法

彭金灿,陈盛开,张晓华，张乘铭

(1.东北电力大学，吉林 吉林 132012；2.广东电网有限责任公司广州市供电局，广州 510620；3.国网延边供电公司，吉林 延吉 133000；4.河海大学，南京 211100)

配电网是连接供电端和用户之间的纽带，除了传统的电力传输功能外，它也是资源优化配置的载体[1]。由于分布式发电具有随机性与间歇性，并受智能配电网多元化负荷的不确定因素影响,增加了智能配电网网络结构的复杂性，改变了配电网的故障特性[2]，因此，配电网运行状态实时故障分析检测对于负荷预测、故障诊断及隔离保护具有重要意义。文献[3]中的多智能体系统是利用基于知识的推理和基于模型的自动解释系统，结合广域故障录波信息计算相关区域故障的差值电流，但在计算不同条件下的多个设定值来实现自适应检测时，存在计算量大、设定值难以协调的问题；文献[4]利用主成分分析法与多类相关向量机的故障诊断策略进行故障样本信号处理，但此方法需要对复杂故障信号进行较长时间的降维处理，加大了该算法的判定时间；文献[5]利用电压与电流变化速率构建回路阻抗矩阵，对配电网运行状态进行评估，虽然满足智能电网大数据的实时同步性，但存在采样信息种类多且对数据精确度要求高的缺点；文献[6]基于大数据的自适应免疫粒子群算法对智能电网状态远程监测，实现故障冗余信息的筛除和时间序列的同步，但诊断具有一定局限性，即判别规则多基于物理信息且要求种类繁多，因此信息识别的准确率难以得到保证。

本文提出的方法依据高维随机矩阵理论的单环定理与马申科-百思图(Marchenko-Pastur,M-P)定律，以平均谱半径与最大特征值作为相关指标，通过对电网内部特性统计计算，呈现实际数据整体相关性趋势，从而实现电网运行状态分析。该方法不依赖物理模型，采用电气量从数据驱动的角度分析电网运行状态，可以减少采集数据源的种类。

1 随机矩阵理论与大数据实时处理

随机矩阵是指元素都是随机变量的高维矩阵[7]。对于任何具有实数特征值的M×M维随机矩阵A，以下函数为矩阵A的经验谱分布函数( empirical spectral distribution，ESD)：

(1)

1.1 M-P定律

M-P定律可用于来描述大维样本协方差矩阵的特征值分布，具有较强的适用性。设X={xij}为m×n阶非埃尔米特(Hermitian)随机矩阵，矩阵中每个元素满足独立分布。当m,n→∞，且w=m/n∈(0,1]时，X的样本协方差矩阵SN的密度函数f(λSN)中的经验谱分布具有非随机收敛性：

(2)

1.2 单环定理

(3)

由单环定理可知，高维非埃尔米特矩阵Y的特征值λi分布于内环半径(1-w)L/2与外环半径1之间。

1.3 线性特征值统计量

线性特征值统计量可以反映特征值分布情况。平均谱半径(mean spectral radius，MSR)是线性特征值统计量的其中之一，定义为复平面上矩阵所有特征值分布半径的平均值：

i=1,2,…,M

(4)

式中：λi(i=1,2,…,M)为矩阵M个特征值；|λi|为在复平面上的分布半径。

1.4 大数据实时处理方法

故障状态监测的目的是对最新数据进行处理，快速发现异常模式的数据。时间滑动窗口模型是一种有效分解的实时处理方法。统计一个滑动时间窗口长度内配电网运行状态监测数据异常出现时间与数量，设计滑动窗口处理模型，见图1。

图1 电网状态异常检测滑动窗口模型

2 电网系统故障分析监测

应用分析时间序列数据的方法-滑动窗口法，可以实时分析不同时刻随机矩阵系统状态，通过观察特征值的分布规律，检测电网是否出现了由正常状态向故障状态发展。为了监测电网的运行状态，利用随机矩阵理论的单环定理、M-P定律和线性特征值统计量从多角度分析和监测电网的运行状态。配电网正常运行时，每个节点都会展示出其分布符合高维随机矩阵单环定理和M-P定律的特征值点。因此，检测高维时空状态监测矩阵中是否存在不规则特征值，就可以完成对配电网运行状态的监测分析。

2.1 数据预处理

数据预处理包括特征选择、网络关联随机矩阵构造。在保证智能配电网状态监测及时性和准确性的前提下，特征选择就是选择合适的特征监测量，最大限度地保证多种故障类型的可靠识别；而网络相关矩阵是用于定义网络中各节点之间以及各节点与区域之间的相对关系。

2.2 数据融合

数据融合首先需对空间上的单个电气特征量进行一定程度的融合,使这些电气特征量可以在检测工作状态时融合在一起,构成单个时间段内电气特征量的状态监测矩阵；进而在时间序列上进一步拓展数据，最终构造出一个高维时空的状态监测矩阵。

2.3 数据分析与可视化

首先采用滑动窗口方法对高维时空状态监测矩阵进行处理，可以保持各对象相对关系基本不变的前提下，使低维空间呈现出高位数据的状态，然后利用随机矩阵理论对降维后的时空状态监测矩阵进行分析检测，实现电网运行状态的实时判别。

3 基于随机矩阵理论的电网故障识别方案

3.1 数据预处理

a.特征量选取。三相电压作为配电网基础数据，能够全面反映配电网的运行状态，因此本文选取配电网监测节点的三相电压幅值数据作为特征量元素来构建矩阵。

b.网络关联随机矩阵构建。利用网络关联矩阵来反映配电网的拓扑结构。其构建过程如下：首先对配电网中的各个节点进行编号；然后，对于节点之间的区域进行编号；最后根据网络关联矩阵构建规则建置网络关联矩阵A。

3.2 数据融合

假设电网有n≥1个节点，在任意采样时刻ti所接收的信号可构成一个列向量xs(ti)=(x1,x2,…,xn)T，按照时间序列导入各个采样时刻的数据，构造高维时空状态监测随机矩阵Xs：

(5)

对于传输过程中信道噪声的影响，考虑加高斯白噪声矩阵与原矩阵进行叠加处理。定义检测矩阵模型为：

Xs=Xp+μWs

(6)

式中：Xp为原测量矩阵；μ为噪声幅值；Ws为高斯白噪声矩阵。

依据式(6)要选择合适的噪声幅值保证计算分析的正确性。

3.3 数据分析与可视化

为了能够将配电网历史数据与实时数据进行融合分析，运用滑动窗口法使得高维矩阵降维，定义t时刻监控节点N的电压数据为vNi(t)，则选取滑动窗口长度l为的电压序列vNi(t)为：

vNi(t)=[vNi(t-l+1),vNi(t-l+2),…,

vNi(t)]

(7)

首先采取指数差分方程对电压数据进行处理，并且定义t时刻随机矩阵构建元素为xn(t):

xn(t)=eΔλn(t)=eλn(t)-eλn(t-1)

(8)

式中变量eλn(t)为电压vNi(t)(λ=1,2,…,n)。

在完成数据差分处理后，接着将数据xn(t)按照时间顺序构成时间监测序列xn(t)：

xn(t)=[xn(t-d+1),xn(t-d+2),…,xn(t)]

(9)

然后，按照监测节点号按顺序排列构成t时刻行数为n，列数为d的监测矩阵Xt：

Xt=[X1(t),X2(t),…,Xn(t)]T

(10)

同时根据随机矩阵定义可知，该测控矩阵Xt的维度比w满足：

w=n/d,w∈(0,1]

(11)

(12)

最终得到协方差矩阵St为：

(13)

式中：对角矩阵Wt包含矩阵St的全部特征值λi

(i=1,2,…,n);矩阵Ut为对应的特征向量矩阵。

3.4 基于随机矩阵单环定理与M-P定律的电网运行状态判别方法

具体步骤如下。

a.由式(5)、(6)，将仿真所得的量测数据构造为高维时空监测矩阵Xs。

b.利用滑动窗口法，确定其窗口宽度为d，设定采样初始时刻t0。

c.由式(10)对高维随机矩阵Xs采用滑动窗口法进行降维，得到实时监测矩阵Xt。

f.由式(4)计算的MSR作为电网运行状态监测指标，并与式(11)的行列比进行比较；再由(2)式判断是否特征值分布满足M-P定律。

g.判断若MSR值介于行列比w与1之间则电网运行状态正常，否则为故障状态；若极限特征值满足M-P定律(2)式中的上下限则判定条件，则电网运行状态正常，否则为故障状态。

4 算例分析

为了验证所提方法的正确性和有效性，以IEEE 10机39节点环网标准测试系统的仿真数据和实际电网量测数据作为数据源进行了如下测试。

4.1 仿真模型

故障模拟过程初始量测量数据在电磁暂态分析软件仿真软件PSCAD运行环境下进行故障模拟过程，得到所需的各种故障类型数据，然后运用Matlab算法对仿真数据进行处理，分析各种故障诊断结果。

在PSCAD软件环境中设置总运行时长周期T=5 s，采样步长t=50 μs,形成原始数据来源，后考虑现实环境运行条件，对量测生成数据结果进行高斯白噪声叠加；随机矩阵要求矩阵的行列比为一个合理的定值，这意味着状态量在确定后，必须有足够的采样点来保证定理的合理性。

4.2 基于单环定理的配电网状态实时监测

图2(a)、(b)分别为系统正常与故障运行时单环定理图，其中内环、外环用实线表示，特征值用实点表示；随机矩阵单环定理可定性分析电网发生故障时系统整体运行状况：从两张图的比较可以看出，当系统正常运行时，随机矩阵特的特征值分布于内环和外环之间的环内；当系统发生故障时，特征值分布于内环。为了体现该方法对于异常数据的免疫能力，本文对节点3的电压量测量进行变化处理，在正常运行参数结果的基础上突变20%，系统其余节点测量值不变作为异常数据检测样本进行单环定理判定，见图2(c)，结果显示判定为正常状态，这就大大提高了电网状态监测对于异常数据的免疫能力。

图2 单环定理特征值分布实验对比图

下面就不同类型故障发生于同一时间、同一地点时，电网运行状态的影响进行分析。并用本文介绍的滑动时间窗口法分别计算随机矩阵的MSR以及最大特征值分析电网运行整体状态，利用可视化图像显示出不同故障对电网运行的影响程度。

图3分别展示出了系统发生单相接地短路、两相短路和三相短路故障情况时的单环定理图。各个故障均发生于线路母线18位处，故障发生时间于仿真开始2.0 s后，故障持续时间为0.5 s。

图3 系统各种类型的故障特征值分布

图4为18号母线分别发生单相短路接地、两相短路，三相短路故障的电压仿真结果。

图4 18号母线发生多种故障形式的电压仿真结果

图5显示了当系统中出现不同故障时，MSR与时间之间对应关系的计算结果。同时由于考虑滑动时间窗口宽度为d=200，故平均谱半径有效值从采样初始时刻t0=0.01 s分析。图5中虚线是内环的半径。根据随机矩阵理论，当系统不能正常运行，MSR值小于内环半径。从图5可以直观地观察到，对电力系统稳定状态影响力从小到大排序依次为单相短路接地、两相短路，而破坏性最大的是三相短路故障，这也与电力系统暂态运行实际运行结果相对应。

图5 滑动窗口法下的MSR值变化

4.3 基于M-P定律的配电网运行状态分析

图6(a)、(b)、(c)依次分别展示了电网处于正常运行状态、发生单相短路接地故障以及三相短路故障时的样本协方差谱分布图像。经图像对比可以明显看出：当电网处于正常运行状态时M-P定律曲线陡度较小，且特征值协方差分布集中分布在一定范围之内，与M-P定律曲线相符合；但电网发生故障时，M-P定律曲线陡度变大，样本协方差矩阵谱分布直方图变窄而长，而且除了大部分分布直方图满足M-P定律曲线分布外，可以从图6(b)、(c)中看到，特征值出现了较大的数值，即最大特征值超出M-P定律定义域范围，这就说明当电网正常运行时，样本协方差谱分布满足M-P定律，当电网发生故障时则不满足M-P定律。

图6 M-P定律样本协方差谱分布实验对比图

4.4 现场实测数据验证

本文以某电网中实际事故数据进行仿真验证。发生故障类型为该电网中某母线发生B相单相接地短路，故障发生于20190317T05:29:52:0.0，并于同日05:29:52: 39.3恢复到正常运行状态。通过从现场故障录波器采集的电网三相电压时间序列幅值波动过程，可以发现该故障发生时段B相幅值降低为0，且三相零序电压迅速增大。本文选取该电网故障发生前10 ms直至故障结束后10 ms,也就是选取05:29:51:990至 05:29:52:49.3时间段数据进行分析，数据采样间隔为100 μs，采集该电网23个节点的三相电压作为数据源对该电网运行状态进行分析检测，构成69×600的时空源数据矩阵。采用滑动窗口法对数据进行分析，滑动距离为1，窗口大小69×100，对数据进行标准化和去相关性处理。实际电网运行状态检测结果见图7。

由图7(a)中20190317T05:29:52:0.1时刻的单环定理计算结果可以发现所有特征值位于内环之中，即可正确判定该时刻为故障状态；且从图7(b)可以看出MSR的变化过程也与正常运行状态变化到故障状态的时间相对应；从图7(c)样本协方差矩阵的分布可以看出，最大特征值超出预设范围，经式(2)计算为0.028 67～3.351 00，不满足M-P定律的正常分布，即可判定该时刻电网处于故障状态。

图7 实际电网运行状态检测结果

5 结论

本文基于随机矩阵相关理论，提出配电网运行状态进行实时故障分析的方法，结论如下：

a.高维随机矩阵理论不依赖于配电网具体拓扑结构，可以实现配电网各个节点不同电气量的数据融合；

b.从数据应用角度，分别基于单环定理与M-P定律对配电网运行状态进行实时检测分析；

c.利用指数差方程对电压数据进行处理，实现高维随机矩阵构建数据降噪；

d.采用滑动窗口法，充分利用历史数据并降低了高维随机矩阵的维度，相比较于传统配电网运行状态识别方法，大大提高了计算速度；

e.仿真算例和现场实测数据验证了该方法的有效性。