两周期供应链中的医药品零售商战略库存策略研究

冉文学 谢艮花

摘  要：随着医药物流的快速发展，很多大规模的医药销售公司都面临着由于库存过多而导致的货物损耗问题。然而由于医药销售公司的运作环境一直在不断地改变，传统的库存理论和方法已经无法有效地解决医药库存控制中存在的诸多问题。因此需要站在新的角度，运用新的理论和方法来进一步地探索医药库存的运作模式。文章构建一个由单一的供应商和零售商组成的两级两周期供应链模型，该模型考虑了药品失效性对零售商库存策略的影响。此外，通过分析供应链的主体们之间的Stackelberg博弈，求出了相应的子博弈完美纳什均衡，进而探索相对于零库存策略下，战略库存策略在不同的供应链下的应用及其对供应链的各主体决策行为所产生的影响;最后通过算例分析验证模型的有效性和实用性。

关键词：供应链;Stackelberg博弈;失效性;战略库存

中图分类号：F253    文献标识码：A

Abstract： With the rapid development of pharmaceutical logistics， many large-scale pharmaceutical sales companies are facing the problem of loss of goods due to excessive inventory. However， because the operating environment of pharmaceutical sales companies has been constantly changing， traditional inventory theories and methods have been unable to effectively solve many problems in pharmaceutical inventory control. Therefore， it is necessary to use new theories and methods to further explore the operation mode of medical inventory from a new perspective. This paper constructs a two-level， two-period supply chain model composed of a single supplier and retailer， which considers the choice of retailer's inventory strategy due to drug failure. In addition， by analyzing the Stackelberg game between supply chain subjects and finding the corresponding sub-game perfect Nash equilibrium， we can study the application of strategic inventory strategy in different types of supply chains and the decision-making behavior of each subject in the supply chain， as opposed to the zero-inventory strategy. In the end， this paper verifies the validity and practicability of the model through an example analysis.

Key words： supply chain; Stackelberg game; failure; strategic inventory

0  引  言

医药库存是指为满足未来的需要而提前储备相关的药品，保证将来的生产经营能够顺利进行。广义的医药库存还包括前期的库存作业流程，比如原料加工以及药品运输活动。医药库存问题现在仍然是各个领域持续关注的焦点，很多医院、相关学者都一直致力于研究医药库存问题。因为药品本身所存在的特殊性，其相对所需要采用的技术要求比较高，要保证药品的安全、质量、有效性具有很大的挑战，并且医药品的品种很多，对保存方面的要求较高。

黄音学者[1]采用定量模型和定性分析相结合的方法，研究分析医药供应链库存控制问题，为医药库存提供有效的决策支持参考。葛婷学者[2]针对特殊性类医药品的库存问题进行了研究，考虑需求确定和需求不确定两种情况下的经济订货批量模型，该学者则增加了特殊类商品的研究方法，对于相关商品的存储管理有很大的借鑒意义，提出了商品存储研究的一些措施，该措施可以作为药品存储策略方面的参考。张新功[3]等学者以供应链上各主体所获得利润为目标，考虑商品变质时带来的损失，引入价格折扣，构建了易腐品库存订货与定价模型，采用直接法和泰勒展开式对模型进行了近似求解，给出了零售商对于易腐商品的采购策略，更好的实现了零售商对于特殊性类产品的利润控制。Nico和Erik[4]在情况真实可行的条件下，构建了联合订货的订货批量和订货批次模型，求解并得到了近似结果和策略，同时还进行了模型的扩展，扩大了模型的适用范围，但存在的缺点是该研究没有考虑到存储容量限制这一假设条件，将EOQ模型应用到不考虑库存容量这一假设条件中，这在实际应用中缺少了一定的假设条件。Gerrero Yeung和Gueret[5]考虑采用马尔科夫链建立了库存模型，考虑该模型的无后效应性能更准确地预测出医药品订单批量和订单批次的趋势变化，给出了近似解库存策略，增加库存研究方法。

在以上研究者的研究基础上，本文借鉴了零库存策略和战略库存策略下的利润函数模型来研究具有失效性的药品库存策略。所谓两周期就是零售商会根据供应商的批发价格以及自己库存量的多少做出两次关于订单量的相应决策，第二周期的订单量往往会受到第一周期订单量的影响，而且第二周期的销售价格也会受到订单量的影响。因此，研究两周期的供应链方法可以得到较为客观的结论。

1  问题描述及模型的建立

1.1  问题描述

医药品失效是导致安全问题的一大重要原因，一旦医药品库存策略不合理的话，那么药品就会出现药效不完全的情况，就会增加零售商的损失，使供应链上各主体的利润受到不好的影响。但从另一方面看，零售商可以通过采购战略库存来提高自己库存系统的稳定性以应对未来原材料不足等危机，如果购买了超出销量的药品会让自己在以后的采购中掌握更多的议价主动权，获得更高的利润，这也使得原来仅有纵向竞争的供应链充满纵向、横向多态竞争。在本文的研究中，首先会研究当零售商选择不存储药品策略时，零售商的采购行为以及供应商的销售行为，并以此为基准，对比研究在两周期两级供应链中战略库存策略的运用对整条供应链的影响，得到在选择存储药品的决策下零售商的采购行为和供应商的销售行为。

1.2  基本模型描述

本文构建一个两周期两级供应链模型，即研究在该条供应链上只有一个供应商和一个零售商，并且供应商会根据市场情况自主定价，零售商根据定价和市场需求确定自己的采购量。通过研究零售商是否选择存储药品的策略来分析对供应链的影响。

参照相关学者的研究，假设产品在第t周期的需求q同其价格p呈线性相关，那么需求q关于价格p的表达式就可以表示为：

p=a-q                                                （1）

首先建立零售商采取零库存策略时的供应商和零售商的批发价和利润的模型，之后以此为基准，从而更好地了解战略库存的作用及意义。零售商在开始第一周期的药品购买时，供应商设置每单位药品的批发价格k，零售商会根据已有的批发价格

k来对销量q进行决策。此时假设零售商选择不存储药品，即采取零库存策略，所以此时零售商的销售量就是他的实际采购量。

第二周期也是相同的考虑，仍然是供应商来设定药品的采购价格k之后零售商会根据已有信息来对销售量q进行决策，那么零售商所购买的实际数量为q，即零售商在第二周期的銷售量。

本文考虑供应链各主体始终以最大化自身利润为决策目标，并且每次决策总是在考虑远期决策行为后，在已发生的决策行为基础之上进行的。因此本文最开始将依据第二周期的利润函数模型去求解出供应商和零售商的最优相关参数数值，然后再求解出供应链上各主体在第一周期的最优参数数值。

用Z表示i（零售商或者是供应商）在第tt=1，2周期的利润函数模型。所以在该模型中，零售商在第二周期的利润函数模型为：

MaxZ=pq-kq                                             （2）

将逆需求函数代入可得：

MaxZq=-q+a-kq                                         （3）

并且=-2<0，因此该利润函数Z是关于采购数量q的严格凹函数，即存在特定的值q使得利润达到最优。所以，可以求解利润函数Z关于q的一阶导函数，可得=a-2q-k，令该式等于0，可求解出q=，将该q代入以下供应商在第二周期的利润函数模型中，即式（4）中：

MaxZk=kq                                             （4）

即可得式（5）：

MaxZk=-k+k                                         （5）

同理，可以得到第二周期的批发价格k=。

将该结果代入以下零售商在第一周期的利润函数模型中，即式（6）中：

MaxZq=pq-kq+Z                                        （6）

即可得式（7）：

MaxZq=-q+a-kq+                                      （7）

同理可得：q=。

将该结果代入以下供应商在第一周期的决策优化问题，即式（8）中：

MaxZk=kq+Z                                            （8）

即可得式（9）：

MaxZk=-k+k+                                        （9）

同理，易知其存在k使得供應商利润达到最优。所以，通过求Z关于k的一阶导函数并令其为0，可得：k=。

下面我们建立零售商选择存储药品策略时，也即是说零售商会购买超出销量的药品数量，零售商和供应商的最大利润函数模型，其中：零售商会选择战略库存来满足将来的市场需求，即零售商会在第一周期采购比实际销售数量更多的药品，将未销售的药品作为库存药品用来满足第二周期的客户需求。因此，零售商在选择购买超量的药品时就需要承担相应的库存成本，本文假设每单位药品的库存成本为c，其中c>0。因为药品有保质期这一特性，所以引入了药品失效率λ∈0，1，研究分析零售商所采取的库存策略对供应链的整体决策行为的影响，例如：当λ=1时，表示在第一时期销售的药品到第二周期时已全部失效;而当λ=0时，代表在第一时期销售的药品到第二时期时效仍在（即没有过期）。我们假设q是购买量，s是库存量，仍然用Z表示i（零售商或者是供应商）在第tt=1，2周期的最大化利润函数目标。所以建立最大化零售商利润模型，则该模型为：

MaxZq=pq-kq-s+λs                                     （10）

将逆需求函数代入可得：

MaxZq=-q+a-kq+k1-λs                                   （11）

并且=-2<0，可求得Z是关于q的凹函数，求解出采购量q使得零售商利润达到最优。所以，通过求零售商第二周期的利润函数关于q的一阶导函数，可得：=-2q+a-k，并令该式等于0，有q=。

将该结果代入以下供应商在第二周期的最大利润函数模型中，即式（12）中：

MaxZk=kq-s+λs                                        （12）

即可得式（13）：

MaxZk=-++λs-sk                                      （13）

同理可得：

k=+λs-s                                             （14）

将该结果代入以下零售商在第一周期的最大化利润函数模型中，即式（15）中：

MaxZq，s=pq-kq+s-cs+Z                                   （15）

即可得式（16）：

MaxZq，s=-q+a-kq+-+-s+--k-cs+                   （16）

根据上式可知第一周期的零售商利润函数Z是关于第一周期购买数量q，s的函数，分别求Z关于q和s的一阶导函数，并令其为0，可得：

q=                                               （17）

s=                                          （18）

将该结果分别代入以下供应商在第一周期的最大化利潤模型中：

MaxZk=kq+s+Z                                        （19）

即可得式（20）：

k=                                        （20）

根据模型计算，可以得到零售商选择存储药品策略时的最优采购量，在此基础上，会发现需求函数和药品失效率在确定之后，供应商所制定的采购价格是随着库存成本的增大而减少，但当药品失效率过大时，无论库存成本多小，零售商都不会采取战略库存成本。

2  算例分析

为了验证上节模型推导的正确性，本节取相关参数数值进行验证。基于上述模型的设定以及所采用的求解方法，假定逆需求函数为p=5-q，失效率λ=0.1，本文假设模型中的库存成本为变量，选取几组具有差异的成本数值来计算零售商和供应商的订货量和订购价格。

取以下数据计算在需求函数和失效率一定的条件下，不同的库存成本所导致的批发价格和订货量的变化情况，为了让结果更加客观有效，选取8组不同的库存成本数据，即c=0.1、0.2、0.3、0.5、0.6、0.8、0.9、1，如表1所示：

根据表1和图1可以得出随着库存成本增加，零售商的利润不完全是一个固定的变化趋势，所以零售商会根据库存成本的不同选择最优的库存量。从表1和图1可以看出当库存成本在比较小的情况下，零售商会确定最优采购量来实现自己的利润最大化，但当库存成本越来越大时，零售商的利润就会受到库存量的影响，其利润会降低，但当库存成本变为每单位0.5时，零售商的利润增加，当库存成本从0.5到0.9增长时，零售商的利润又开始下降。所以通过计算可以得到这样一个变化的范围，然后在这个范围中去确定选择战略库存的最优库存量。最后发现当库存成本增加到1后，库存量小于0，也就是说此时零售商应该选择零库存策略。

因此在确定需求函数以及药品失效率之后，通过计算不同库存成本下的批发价格、销量、零售商利润等结果，可以判断出零售商应该如何进行决策以将自己的利润最大化，同样，可以重新假定逆需求函数、库存成本，去计算不同失效率条件下的订货量和库存量。在此模型中，改变不同的变量取值可以验证模型。

3  结束语

本文通过研究两周期两级供应链的库存策略，采用逆向求解方法确定了零售商和供应商在各个周期的最优批发价格和购买量。在此模型中的逆需求函数、失效率以及库存成本都是属于变量，在验证时要假定其中两个的取值，当然需求函数可以根据市场的需求来确定。同时，在研究过程中发现如果将医药品供应链中的失效性设置为0，就能得到和不考虑商品失效性供应链中相同的结果。这在一定程度上说明了以往的研究只是产品失效性为零的情况。

由于精力有限及研究内容的侧重点不同，本文仅研究了两周期供应链模型，这会影响零售商在第二周期的销售价格，因为零售商在第二周期销售战略库存时，会有清仓的倾向。如果能够考虑持有战略库存策略的多周期供应链模型，那么也许会得出一些同现实更为贴近的结论。在今后的研究中，可以设定一定的保存条件如冷藏环境来增设成本假定或者引入价格折扣机制策略来考虑库存问题，以完善现在研究的不足。

参考文献：

[1] 黄音. 医药供应链库存控制策略研究[D]. 长沙：中南大学（博士学位论文），2010.

[2] 葛婷. 考虑药性时效流失的生化制剂库存策略研究[D]. 杭州：浙江工商大学（硕士学位论文），2018.

[3] 张新功，莫宁. 基于Weibull函数和价格折扣的易腐品库存订货与定价策略[J]. 重庆师范大学学报（自然科学版），2020，37（4）：1-5.

[4]  Nico D， Erik V P. Global inventory control in an academic hospital[J]. International Journal of Production Economics， 1996，47：277-284.

[5]  Guerrero W J， Yeung T G， Gudret C. Joint-optimization of inventory policies on a multi-product multi-echelon pharmaceutical system with batching and ordering constraints[J]. European Journal of Operational Research， 2013，231（1）：98-108.

[6] 刘竞一. 多周期耐用品供应链中的零售商战略库存策略与系统协调研究[D]. 杭州：浙江工商大学（硕士学位论文），2020.

[7] 黄音，李夏苗，魏波. 时变需求下医药供应链多药品联合补货策略研究[J]. 铁道科学与工程学报，2011，8（1）：118-122.

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[10]  Stecca G， Baffo I， Kaihara T. Design and operation of atrategic inventory control system for drug delivery in healthcare industry[J]. IFAC-Papers Online， 2016，49（12）：904-909.