注重变式 用活例题

文／孙伟刚

“平均变化率问题”是应用题中的热门题型。现以教材例题为载体，进行变式训练，旨在帮助同学们掌握处理这类问题的思路与方法，并能在以后的学习和考试中运用自如。

原题呈现（苏科版数学教材九年级上册第25 页问题2）某商店6 月份的利润是2500 元，要使8 月份的利润达到3600 元，平均每月利润增长的百分率是多少？

【解析】设平均每月利润增长的百分率是x，则7 月份的利润是2500（1+x）元，8 月份的利润是2500（1+x）（1+x）元，即2500（1+x）2元，由题意可得2500（1+x）2=3600。解这个方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）。答：平均每月利润增长的百分率是20%。

【小结】本题是“平均变化率问题”中求增长率的典型模型。在求解这类问题时，应着重分析问题中的各类数量间的关系，并用代数式表示这些量，从而找出解决问题的方法。增长率的问题情境及解题思路的一般模式如下：若增长前的基数为a（起始量），平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a（1+x）；第二次增长是以a（1+x）为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a（1+x）2。若已知第二次增长后的数量达到b（终止量），则可列出如下方程：a（1+x）2=b。有了这个一般模式的解题思路，同学们对增长率问题的认识就会更清晰了。

变式1（2018·辽宁沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400 万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361万元。假设该公司2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同。

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本。

【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，则2月份的生产成本是400（1-x）万元，3月份的生产成本是［400（1-x）］（1-x）万元，即400（1-x）2万元，由题意可得400（1-x）2=361。解这个方程，得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）。答：每个月生产成本的下降率是5%。

（2）361×（1-5%）=342.95（万元）。

答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95万元。

【小结】本题是“平均变化率问题”中求降低率的典型模型。在求解这类问题时，完全可类比增长率问题的解决思路与方法。事实上，我们可将降低率视为负增长率，从而转化为增长率问题来处理。降低率的问题情境及解题思路的一般模式如下：若降低前的基数为a（起始量），平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a（1-x）；第二次降低是以a（1-x）为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a（1-x）2，若已知第二次降低后的数量变为b（终止量），则可列出如下方程：a（1-x）2=b。归纳了降低率问题的一般模式及解题思路，期待同学们对平均变化率问题有较为全面、完整和深刻的认识。

变式2（2020·湖北鄂州）目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展。某市2019 年底有5G 用户2 万户，计划到2021 年底全市5G 用户数累计达到8.72 万户。设全市5G 用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）。

A.20% B.30% C.40% D.50%

【解析】选C。理由：设全市5G 用户数年平均增长率为x。根据题意，得

2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，

解这个方程，得x1=0.4=40%，x2=-3.4（不合题意，舍去）。

∴x的值为40%。故选C。

【小结】本题虽然考查的还是增长率问题，但较例题有所变化，主要体现在“终止量b”的含义不同。因此，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键。先用含x的代数式表示出2020 年底、2021 年底5G 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和等于8.72 万户得到关于x的方程，最后解方程即得答案。

变式3中国股市正碰上多年难遇的牛市，股指一路上扬。某股票分析师根据近几天的股指的变化绘制了如下的图：

（1）如果假设这几天的增长率相同，试预测星期四的股指是多少？

（2）但股市毕竟风险很大，有一个每股20 元的股票经过几次跌停板（即每一次下跌前一股价的10%）变为16.2元/股，求：

①这个股票经历了几次跌停板？

②是否经过相同次数的涨停板（即每一次上涨前一股价的10%）又回到原股价呢？

【解析】（1）设这几天的增长率均为x。根据题意，得3000（1+x）2=3307.5。解这个方程，得x1=0.05，x2=-2.05（不合题意，舍去），∴x=0.05=5%。

则星期四的股指是3307.5×（1+5%）=3472.875。

（2）①设这个股票经历了n次跌停板。根据题意，得20（1-10%）n=16.2，整理得0.9n=0.81=0.92，解得n=2，∴这个股票经历了2 次跌停板。

②16.2×（1+10%）2=19.602，

∵19.602＜20，

∴经过相同次数的涨停板不能回到原股价。

【小结】本题集增长率、降低率于一体，综合性强，能很好地考查同学们对“平均变化率问题”的理解水平和处理能力。在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：利用公式建立方程。平均增长率公式：a（1+x）n=b（a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a（1-x）n=b（a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。请同学们仔细品味公式中每个量的含义，在感悟中提升分析问题、解决问题的能力。