海洋立管非线性耦合振动系统的分段同伦分析*

秦玉鹏,范三妞,璩晶磊

(1.河南工学院 理学部,河南 新乡 453003;2.河南科技学院 文法学院,河南 新乡 453003;3.河南工学院 机械工程学院,河南 新乡 453003)

0 引言

海洋立管是海洋平台等海洋结构物的重要组成部件,由涡激振动产生的海洋立管疲劳损伤破坏已经成为限制海洋石油开发的技术难题之一。国内外学者在海洋立管涡激振动特性及抑振方面进行了深入研究,主要集中在实验[1-3]和计算[4]两个层面。Lie等[2]通过考虑细长柔性立管研究了其在剪切流作用下的涡激振动规律。王海青等[5]对海洋立管涡激振动进行了无比尺模型实验,并研究了其在海洋环境载荷下的振动机理。刘景伟等[6]对深水海洋立管振动的试验流场进行了设计和CFD数值模拟。李朋等[7]开展了海洋立管涡激振动干涉影响实验研究,并基于FBG传感技术对立管涡激振动过程进行了分析[8]。宗智等[9-11]应用虚拟激励法研究了海洋立管的涡激损伤问题。

解析计算方法在求解工程问题中具有重要作用,其中同伦分析方法[12](Homotopy Analysis Method,HAM)是最著名的方法之一。近二十几年来,同伦分析方法已被广泛应用于热传导[13]、经济[14]、水波[15]、振动[16]、喷气流[17]和边界层[18]等非线性问题研究。一般来说,由多项式基底表达的同伦分析解只在较小的区间范围内有效[19],为了克服该问题,文献[20]通过构造各区间上统一的具有任意初值的形式幂级数解,将解析延拓的思想引入同伦分析方法,得到了初值问题的分段解析解,形成了分段同伦分析方法(Piecewise Homotopy Analysis Method,PHAM)。

本文的主要目的是将PHAM应用于描述海洋立管涡激振动问题的非线性振动系统的解析求解。文章结构如下:第1部分将给出海洋立管非线性耦合振动系统的控制方程;第2部分致力于将PHAM应用于求解海洋的立管涡激振动问题;第3部分将对所求解析结果进行分析和讨论;第4部分给出本文的结论。

1 模型与公式

本文考虑如下具有顺流向和横向两个方向自由度的立管振动方程

(1)

这里,k是海洋立管结构的刚度系数,m是单位长度的立管质量,c是海洋立管结构的阻尼系数,x和y分别是立管的顺流向和横向位移,FD和FL分别是立管的顺流向拽力和横向升力。外部流场对海洋立管的作用可用Van der pol振子方程表示。研究振动方程与尾流振子之间的耦合作用,采用了Matteoluca尾流振子模型[3]

(2)

其中,qx和qy分别是顺流向和横向无量纲尾流振子变量,ωs是旋涡脱落频率,εx和εy是非线性项系数,Ax和Ay是液动力系数,D是海洋立管的外径。图1给出了立管振动的示意图。

图1 立管振动示意图

2 分段同伦分析解

对立管振动系统(1)和(2),考虑具有任意初值的初始条件

(3)

其中ai,bi(i=0,1)是任意常数。

构造下列同伦,即零阶形变方程组[12]

(4)

其中,q是嵌入变量且满足0≤q≤1,L是线性算子,Ni(i=1, 2, 3, 4)是一系列非线性算子,hi(i=1, 2, 3, 4)是一系列用来调节和控制级数解收敛区间和收敛速度的收敛控制参数,X0(t),Y0(t),Qx,0(t),Qy,0(t)是相应的初始猜测解。本文选择的线性算子为

(5)

非线性算子为

(6)

初始猜测解为

(7)

通过定义

(8)

则φi(i=1, 2, 3, 4)在q=0处的Taylor展式为

(9)

将方程(6)对q求导k次,整理得下述高阶形变方程

(10)

其中

(11)

接下来,通过使用Maple等符号计算软件,求解线性高阶形变方程(10),依次确定Xi(t),Yi(t),Qx,i(t),Qy,i(t)。最后,若假定所有的收敛控制参数hi(i=1, 2, 3, 4)都恰当选取,使得级数解(8)在q=1时收敛,则下述级数解

(12)

必是初值问题(1)、(2)和(3)的解。

不失一般性,下面将应用(12)的M阶近似解

(13)

确定如下给定初始条件

(14)

的PHAM解。首先选择步长d>0,采用

(15)

作为初值问题(1)、(2)和(3)在区间[0,d]上的近似解析解。然后将tk=kd(k=1,2,…)作为新的初始点,并且满足如下初值

(16)

则可得初值问题(1)、(2)和(3)在区间[kd,(k+1)d]上的近似解析解

(17)

到目前为止,我们已经构造了由式(15)～(17)给出的M阶PHAM解。显然该解是由分段函数表示的。由于式(15)～(17)给出的PHAM解在各区间上具有相同的形式,在操作过程中可以在各区间上选择同样的hi(i=1, 2, 3, 4)。在本文,我们通过考虑区间[0,d]上的近似解析解确定hi(i=1, 2, 3, 4)的值,并将该系列值应用于其余区间[kd, (k+1)d]。

3 结果与讨论

本部分将对所得解析结果式(15)～(17)进行分析和讨论,参数选择如下:m=1,c=1,k=1,FD=2,FL=0.5,εx=1,ωs=1,Ax=1,D=1,εy=1,Ay=1,A0=1,A1=0,B0=1,B1=0,C0=1,C1=0,D0=1,D1=0。另外,步长选为等步长,且d=0.2。

为了确定收敛控制参数hi(i=1, 2, 3, 4)的有效取值范围,可借助由式(15)～(17)给出的5阶PHAM解x[5](d;h1;1,0),y[5](d;h2;1,0),qx[5](d;h1=-1,h3;1,0,1,0)和qy[5](d;h2=-1,h4;1,0,1,0),的hi(i=1, 2, 3, 4)曲线确定,如图2所示,图中曲线的水平部分即为有效区间。图3显示了由式(15)～(17)给出的x,y,qx,qy的5阶PHAM解在hi=-1(i=1, 2, 3, 4)的图像,反映了海洋立管的非线性振动特性和规律。通过与RKF45所得数值解对比,发现低阶的PHAM解已经与其吻合良好,充分显示了PHAM的高效性。与数值解相比,该近似解析解除了给出各区间节点的信息外,还给出了整个区间的连续性质,在海洋立管的研究方面,既有利于定性分析,也有利于定量计算。

图2 hi(i=1, 2, 3, 4)曲线

图3 PHAM解(实线)与数值解(实心正方形)对比曲线

4 结语

本文应用分段同伦分析方法,成功求得了海洋立管非线性耦合振动系统的近似解析解。结果显示该分段解析解与数值解吻合良好,表明分段同伦分析方法在求解海洋立管涡激振动问题时具有高效性。