追根溯源，弄清单位面积图形选取背后的原因

慕若楠

[摘 要]数学是一门逻辑严谨的学科，一些看似平常的概念、定义其实大有深意。尤其是小学数学，涉及许多从生活中抽象而来或者是受生活启示而衍生出来的概念，它们都是有着真实的生活原型的。因此，在平时的教学中，对一些难以理解的概念追根溯源，有助于学生理解概念本质。

[关键词]面积单位;密铺;多边形;内角

教学中，教师普遍将边长为1个单位长度的正方形的面积作为一个标准面积单位，即单位面积。对此，笔者不禁思考：世上的平面图形千千万万，为何独独选择边长为1个单位长度的正方形作为标准？如果选择其他规则、美观、便于计算面积的平面图形作为标准，是否也可以？这种猜想并非离经叛道。笔者认为，带领学生验证这一猜想，可以令学生在理解数学概念的同时，通过溯源式反思来论证单位面积的定义的科学性和合理性，感受数学概念的精确性与严密性。

首先可以明确，无论选择哪种规则的平面图形作为单位面积图形，都必须满足一定的前提和要求。第一，选择的单位面积图形必须能够最大限度地密铺一个平面图形，尽可能做到严丝合缝，用形状、大小一致的图形拼连后，彼此之间不留空隙、不交叠覆盖，刚好将被测平面图形铺满，即能做到密铺。第二，方便测算。这种图形既要常见，又要便于切分和计算面积，不必刻意追求新奇怪异。根据上述两个要求，下文将从不同角度论证把边长为1个单位长度的正方形作为单位面积图形的合理性与科学性。

一、可以做到单层密铺的正多边形

要想实现密铺，首要条件是满足若干个内角恰能围成360°。又因为正多边形的内角公式为[（n-2）× 180°n]（n为正多边形的边数，n大于或等于3且为整数），用正n边形进行单层密铺时，假定有一个聚集点，在这个聚集点处，若干个内角拼接成一个周角，如此循环往复，交互相接，每个正多边形的各边都与其他正多边形的某边重合，才可以实现密铺。也就是当[360°（n-2）× 180°n]=[2nn-2]=2+[4n-2]为整数时，才满足要求。要想使其结果为整数，只有当n-2是4的因数时才能实现。分析可知，只有当n=3、4、6时，才能让原式的结果为整数。也就是说，只有当正多边形的边数为3、4或6时，才能实现对任意平面的密铺。显然，常见的等边三角形、正方形和正六边形才能实现密铺（如图1、图2、图3）。

二、可以实现密铺的其余特例

其實除了上述很容易想到的例子外，还有些不容易想到的特例，那就是利用演绎推理，将正方形推广为一般的凸四边形。正方形的内角和是360°，一般四边形的内角和也是360°，正是由于任意一个凸四边形的内角和也是360°，因此只要是凸四边形，总可以设法将4个内角拼成一个周角。通俗地讲，就是将4个全等的凸四边形的4个不同内角拼接到一起，凑成周角，在外部实现内角的拼合。具体操作时，只要划定一个聚点，然后让4个全等凸四边形的4个不同顶点与聚点重合。除此之外，还要保证相等的对应边两两重合，这就要求在拼摆四边形时要学会翻转。拼接同一个内角可以有正反两面两种摆法，为了对应边能够重合，有时需要翻转拼接，这样才能做到不交叠、不留缝地密铺（如图4）。

观察图4可以发现，任意凸四边形也能做到密铺，只不过密铺后的四边形不再只有一个摆放方向，存在颠倒的情形。在这里特别指出四边形里能实现密铺的另外几种特例，任意平行四边形和长方形也能实现密铺（如图5、图6）。由于任意两个全等三角形可以拼成一个平行四边形，因此任意三角形也可以实现密铺（如图7）。

那么是不是除了这些图形可以密铺，其他图形都不能呢？其实不是，实际上还存在大量可以密铺的不规则图形，虽然它们的内角与内角和无法精确测量和计算，但是各条边线可以完美重合。例如，图8是曲边图形的密铺，图9是不规则多边形的密铺。

通过以上分析不难发现，能够做到密铺的几何图形有很多。笔者将其大致分为三类：一类是根据正多边形内角公式推理出的等边三角形、正方形和正六边形;另一类是根据正方形演绎推理出来的任意凸四边形、任意三角形;还有一类是根据观察和实践可以确证的各种奇形怪状的平面图形。

三、哪些平面图形的大小适合作为面积单位

众所周知，数学是研究空间线性结构和数量关系的学科，同时也是揭示自然规律和解释事物之间数学联系的思维工具。因此，为单位面积挑选平面图形时，方便计算和测量是首先应该考虑的。而考虑到使用的普及性和简易性，还应该选择生活中常见的图形。

那么生活中哪种图形最易被人们接受呢？毫无疑问，最能引起人类的视觉分辨度的无外乎方方正正的形状。例如用边长为1个单位长度的正方形作为单位面积图形来测算地板、墙壁、黑板、乒乓球桌、方桌等的面积，不但能实现密铺，而且可以很直观地看出铺了几行几列，然后利用“列数×行数”很容易就能算出待测平面包含多少个单位面积图形。而用其他图形，例如正三角形或正六边形，抑或其他不规则图形作为单位面积图形，都不能得到整齐划一的水平和竖直都对齐的矩阵，计算其数量变得复杂烦琐。更令人头疼的是，无论怎么拼接这些正三角形、正六边形或其他不规则图形，因为是交错排列的，很难将一般方形铺满，尤其是边缘处，极易留缝（如图10）。这样一来，自然也难计量出待测面包含多少个单位面积。

因此，综合考虑密铺的各种条件，除了矩形外，其他图形都或多或少有一些缺陷，故不作考虑。

四、为何最后选择正方形

如果选择普通长方形作为面积单位，也能做到密铺，同样也可以利用“行数×列数”求出单位面积的总数，但是为何又抛弃了长方形呢？例如选择长宽比是2∶1的长方形为单位面积图形去测量一个长10、宽8的长方形的面积，也可以密铺出8行、5列，那么就可以算出待测面的面积为40个这样的单位面积。而如此一来，作为单位面积图形的长方形，长2、宽1，如图11，待测面的长被测定为10个“长度单位”，而宽却被测定为4个“宽度单位”，即测量一个图形中的长度时出现了“双重标准”，就会使得长度的度量和面积的计算出现混乱，丧失了数学的简练性和精悍性。

综上所述，笔者认为，边长为1个单位长度的正方形是单位面积图形的不二之选，其原因在于正方形不但可以实现密铺，而且在测算时简便明了、便捷易行。文章讨论的命题是人们觉得司空见惯的，也是熟视无睹的，可以看出，对一个看似很不起眼的面积单位的规定进行论证，却彰显了数学精神的精确性与严密性。

（责编 吴美玲）