Fermat型二阶混合偏微分方程的整函数解

谢利兵，陈裕先，廖秋根

(新余学院数学与计算机学院，江西 新余 338004)

1 引言与主要结果

本文假设读者已经熟悉亚纯函数值分布理论及其相关的符号[1].在1939年，Iyer[2]研究了Fermat型函数方程f2(z)+g2(z)=1的解并证明了该方程的整函数解只有f(z)=cosa(z)，g(z)=sina(z)，其中a(z)为整函数.之后，有许多的研究者对其进行了进一步的研究，考虑将其中的f(z)，g(z)换成微分或者差分的形式，讨论其解的存在性以及解的形式，见[3-10]。

2015年，Liu-Dong[7]研究了下列形式的微分方程，得到下列结果：

定理A[7]方程

[f(z)+f′(z)]2+[f(z)+f″(z)]2=1

没有超越亚纯函数解.

2020年，Xu-Cao[4]得到了两个变量的Fermat型一阶偏微分方程的结果，如下：

定理B[4]Fermat型偏微分方程

的任意有穷级的超越整函数解的形式为f(z1，z2)=sin(z1+g(z2))，其中g(z2)是关于变量z2的一个多项式。

此外，Xu-Meng-Liu[5]对Xu-Cao[4]的结果进一步一般化，讨论了将其中的f(z1，z2)换成差分的形式f(z1+c1，z2+c2)，f(z1，z2)的一阶偏导换成二阶偏导的情形。在本文中根据以上的作者的结论，我们主要得到了如下结果：

定理1.1令a1，a2，a3，a4∈C是四个非零常数，令f(z1，z2)是偏微分方程

(1)

的一个有穷级的超越整函数解，则

其中

根据定理1.1，当a1=a2=a3=a4=1时，可以得到如下推论

推论1.2令f(z1，z2)是偏微分方程

的一个有穷级的超越整函数解，则

下面给出两个例子来说明方程(1)的有穷级整函数解的存在：

例1.3令a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，η1=2，η2=3，B=1且

其中

那么ρ(f)=ρ(g)=1为有穷级且f(z1，z2)，g(z1，z2)为方程(1)的整函数解。

例1.4令a1=a2=a3=a4=1，η1=2，η2=3，B=1且

那么ρ(f)=ρ(g)=1为有穷级且f(z1，z2)，g(z1，z2)为方程(1)的整函数解。

2 引理

在证明主要结果之前，需要以下两个引理

引理2.1[12]对于Cn上的一个整函数F，满足F(0)≠0且ρ(nF)=ρ<∞;那么存在正则函数fF和函数gF∈Cn使得F(z)=fF(z)egF(z).当n=1时，fF为Weierstrass典型积。

引理2.2[13]如果g，h是复平面C上的整函数，且g(h)是有穷级的整函数，那么只有下列两种情况：

(a) 整函数h是一个多项式且整函数g是有穷级的；

(b) 整函数h既不是一个多项式也不是有穷级的，且整函数g是零级的。

3 定理1.1的证明

由(2)与(3)得

(2)，(3)分别关于z2，z1求偏导，得

(5)

(6)

(7)

对(7)两边关于z1求偏导，得

再根据(4)，得a3K1=a1K2，即可得

设(7)的特征方程为

将上式代入(2)，(3)得

即得

即有

(8)

(9)

根据(8)式与(9)式，则有

(10)

(11)

(12)

即

We2p(z)=M

(13)

其中

(13)

(14)

由(13)，(14)可得

(15)

(16)

即

α1a2a3-α2a1a4=0

(17)

另一面，根据(11)有

上式的特征方程为

通过初始条件：z1=0，z2=s以及f:=f(0，s):=φ0(s)，其中s为参数，则z1=a2a3t，z2=-a1a4t+s以及

由(17)，得

将其代入(8)和(9)，则可得

解得

根据以上讨论的两种情形，定理即可得证。