(3+1)维Boussinesq方程的多怪波解

郑彭丹，席小忠

(1.中南林业科技大学涉外学院，湖南 长沙 410211；2.宜春学院数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000)

非线性可积方程的孤子解对于理解非线性可积方程所描述的传输特性和动力学机制具有重要意义。怪波解是一类有理函数形式的孤子解，它在空间的各个方向上都是局部的。近年来，高维非线性可积方程的怪波解越来越受到人们的关注[1-5]。

本文要研究的是如下(3+1)维Boussinesq方程[6]

utt+3(u2)xx+uxxxx-uxx-uyy-uzz=0

(1)

其中u=u(x,y,z,t)。它描述了重力波在水面上的传播。Gai[6]得到了方程(1)的多孤子解，同时讨论了孤子的传播特性。Wu[7]等人Riemann函数讨论了方程(1)的多周期波解。Xu[8]利用贝尔多项式得到了方程(1)的双线性形式，双线性Bäcklund变换以及lump解。本文打算利用以下符号计算方法讨论方程(1)的多怪波解。

1 基本概念与方法

最近扎其劳教授[9]提出了一个符号计算方法来求解非线性可积方程的多怪波解，该方法简单直接有效。主要步骤如下：

首先将一个行波变换υ=x+κz-ωt代入下列非线性可积方程

Y(u,ux,uy,uz,ut,uxx,uyy,uzz,…)=0

(2)

其中κ和ω是实常数，此时方程(2)将变成一个关于υ和t的(1+1)维的非线性可积方程：

Y(u,uυ,uy,uυy,uυυ,…)=0

(3)

为了获得方程(3)的多怪波解，我们做如下变换

(4)

将方程(4)代入方程(3)平衡最高阶导数项和非线性项的系数可得m。假设I(υ,y)满足如下式子

I(υ,y)=Fn+1(υ,y)+2νyPn(υ,y)+2μυQn(υ,y)+(μ2+ν2)Fn-1(υ,y)

(5)

其中

其中F0=1,F-1=P0=Q0=0。其他常数都是待定的实常数。将方程(4)和方程(5)代入方程(3)可得原方程的多怪波解。

2 主要结果

按照以上符号计算方法的步骤，我们将行波变换υ=x+κz-ωt代入原方程(1)中可得

(6)

其中u=u(υ,y)。假设方程(6)有如下形式的解

u(υ,y)=2∂υ,υ[LogI(υ,y)]

(7)

将方程(7)代入方程(6)可得

(8)

为了获得方程(1)的1-怪波解，我们做出如下假设

I(υ,y)=(υ-μ)2+ϑ1(y-ν)2+ϑ0

(9)

将方程(9)代入方程(8)可得

(10)

将方程(9)和(10)代入方程(7)，我们得到了方程(1)的1-怪波解

u(υ,y)=

(11)

怪波解(11)的动力学性质见图1。

图1 κ=-2,ω=1,μ=ν=0,(a) 三维图形；(b) 等高线图形

为了获得方程(1)的3-怪波解，我们假设

I(υ,y)=υ6+ϑ10υ4+ϑ11υ4y2+(ϑ12+ϑ13y2+ϑ14y4)υ2+ϑ15y2+ϑ16y4+ϑ17y6+ϑ18+2νy(ϑ19+ϑ20y2+ϑ21υ2)+2μυ(ϑ22+ϑ23y2+ϑ24υ2)+ν2+μ2

(12)

其中ϑi(i=10,11,…,24)、μ和ν都是实常数。将方程(12)代入方程(8)中，可得

ϑ11=3(1+κ2-ω2),ϑ14=3(1+κ2-ω2)2,ϑ13=90,

(13)

其中ϑ21和ϑ24可以任意取值。将方程(12)和(13)代入方程(7)，我们得到了方程(1)的3-怪波解

(14)

I满足条件(12)和(13)。怪波解(14)的动力学性质见图2～图4。

图2 κ=-2,ω=ϑ21=ϑ24=1,μ=ν=0,(a) 三维图形；(b) 等高线图形

图3 κ=-2,ω=ϑ21=ϑ24=1,μ=0,ν=100,(a) 三维图形；(b) 等高线图形

图4 κ=-2,ω=ϑ21=ϑ24=1,μ=ν=100,(a) 三维图形；(b) 等高线图形

为了获得方程(1)的6-怪波解，我们假设

(15)

其中ϑi(i=25,26,…,69)是实常数。将方程(15)代入方程(8)中，可得

ϑ26=6(1+κ2-ω2),ϑ29=15(1+κ2-ω2)2,ϑ28=690

ϑ50=(1+κ2-ω2)6,ϑ49=58(1+κ2-ω2)4,ϑ48=4335(1+κ2-ω2)2

ϑ69=-9(1+κ2-ω2),ϑ65=

(16)

将方程(15)和(16)代入方程(7)，我们得到了方程(1)的6-怪波解

(17)

I满足条件(15)和(16)。怪波解(17)的动力学性质见图5。

(a) 三维图形

(b) 等高线图形

3 总结

本文利用符号计算方法，获得了(3+1)维Boussinesq方程的多怪波解，其中包括1-怪波解，3-怪波解和6-怪波解。通过选取参数不同的值，这些被获得的怪波解的动力学性质被展示在图1～图5。