数控机床直线同步电动机磁悬浮系统反馈线性化控制的研究 *

孙云鹏 蓝益鹏 徐泽来 雷 城

(沈阳工业大学电气工程学院,辽宁 沈阳 110870)

驱动数控机床进给系统的磁悬浮直线同步电动机,因为导轨与进给工作台之间无摩擦，具有速度和精度高，使用寿命长等优势，被广泛用于高速高精数控机床等领域[1]。然而由于可控励磁直线磁悬浮同步电动机的气隙磁场受励磁电流与电枢电流之间的影响，存在着很强的电磁耦合，故对CELMSSM控制系统将产生不利影响。因此，如何提高磁悬浮系统控制系统的解耦效果和控制精度的分析与研究具有重要意义。

为了抑制耦合干扰，提高解耦效果，国内外学者对解耦控制系统进行了大量的研究[2-3],并在该领域取得了一定的成果。文献[4]在传统比例积分(proportional integral，PI)控制的基础上，引入动态PI交叉解耦控制器，使系统对参数变化的敏感度降低，但由于多个控制器之前存在相互影响，将会增加控制器参数设计的难度。文献[5-6]电流反馈解耦控制(current feedback decoupling control, CFDC)策略以及文献[7-8]引入电流偏差解耦控制(current deviation decoupling control, CDDC)策略，即通过反馈电流和转速对耦合部分进行计算并对交直轴电压进行前馈补偿，有利于提高系统的动态特性。但由于受参数变化的影响较大，因此该方法的稳定性还有待提高[9]。

反馈线性化控制(feedback linearization control, FLC)是一种非线性系统控制方法，在具有反馈线性化的仿射非线性系统得到应用[10]。该方法以微分几何为基础，通过求解解耦坐标变换矩阵和状态反馈矩阵，使被控对象的非线性系统数学模型转化为输入量与输出量之间呈线性关系的线性系统模型，从而实现非线性系统的解耦控制[11]。随着FLC理论的不断及发展，该控制方法迅速应用于异步电机混合励磁同步电机等交流伺服系统中[12-13]。

为此，本文以CELMSSM传统电流控制系统为基础，根据非线性系统反馈线性化理论，得出了基于反馈线性化的电流解耦控制器，利用Matlab/Simulink平台进行仿真，验证了所提控制策略的可行性和有效性。

1 可控励磁磁悬浮直线同步电动机的数学模型

可控励磁直线磁悬浮同步电动机由动子和定子两部分组成。动子由铁心和三相交流绕组组成，定子由定子铁心和直流励磁绕组组成。CELMSSM结构如图1所示。

假设满足以下条件：

(1)假设电机铁心材料不饱和，不考虑涡流和磁滞带来的影响。

(2)电枢绕组与励磁绕组所产生的气隙磁场正弦分布，忽略高次谐波影响。

(3)通入的电枢电流为三相对称。

则在d-q坐标系下，可控励磁直线同步电动机的数学模型由磁链方程，电压方程等组成[14]。其中磁链方程为：

(1)

式中:ψd、ψq分别为电枢绕组直、交轴磁链，ψf为励磁磁链；Ld为直轴电感，Ld=Lmd+Lσ；Lmd为直轴电枢反应电感；Lq为交轴电感，Lq=Lmq+Lσ；Lmq为交轴电枢反应电感，Lσ为电枢绕组漏感；Lf为励磁绕组自感，Lf=Lmd+Lfσ；Lfσ为励磁绕组漏感；id为电枢绕组直轴电流，iq为电枢绕组交轴电流，if为励磁绕组电流。电压方程为：

(2)

式中：ud、uq分别为电枢绕组直轴、交轴电压，uf为励磁绕组电压；Rs为电枢绕组电阻，Rf为励磁绕组电阻；v为直线电动机运行速度；为电机动子极距；f为电源供电频率，v=2f。

电磁推力方程为：

(3)

式中：第二项(Ld-Lq)idiq是由凸极效应造成的磁阻变化在电枢反应磁场作用下产生的电磁推力。

悬浮力方程为：

(4)

水平方向运动方程：

(5)

垂直方向的运动方程：

(6)

式中：m是电动机的相数；N是电枢绕组每项串联的匝数；kw1是电枢绕组的基波系数；bE是动子铁心的有效宽度；p是极对数；δ为悬浮高度；Kc为卡特系数；Kd、Kq为直轴和交轴电枢反应系数，Kd=2.55×10-5，Kq=1.9×10-5；M为动子及负载质量；F1为水平方向上的负载阻力；Fdx为水平方向上齿槽效应、端部效应等不确定性扰动力的合力；Fdy为悬浮方向上的不确定性绕动力。

式(4)中，磁悬浮力产生很复杂，一是励磁磁场对动子铁心的吸引力。二是在垂直方向，由于通入直流和三相电后，两个磁场会相互作用。三是电枢反应对定子磁轭的吸引力。

2 仿射非线性系统

考虑输入多输出系统(MIMO)中输入输出维数相等的系统，其一般表达式为：

(5)

式中：状态变量x·Rn；输入向量函数u·Rm；输出向量函数y·Rm；f为n维充分光滑向量场，列向量gi(i=1，…，m)为Rn中光滑向量场；hi(i=1,…，m)是充分光滑的标量函数。

将单输入单输出系统(SISO)写成仿射非线性的形式，有：

(6)

式中：x·Rn，u·R和y·R分别是系统的输入和输出，f(x)、g(x)是Rn上充分光滑的向量场。

对式(6)的系统输出方程进行求导，表达式如式(7)所示：

(7)

子系统相对阶的求解公式如式(8)所示：

(8)

当相对阶r等于系统阶数n时，可以进行精确线性化，有式(9)所示的坐标变换：

(9)

对式(9)的每一项求导，有：

(10)

引入虚拟输入量v，并令：

(11)

因此，原非线性系统可以线性化为式(12)所示的积分串联的形式：

(12)

引入的虚拟输入量v可以按照线性系统理论进行设计，由式(10)可解得系统的反馈控制律如式(13)所示。

(13)

3 数控机床直线同步电动机磁悬浮系统反馈线性化

由式(1)～(6)可得出CELMSSM数学模型的状态方程为：

(14)

其中Ld=Lq，因此可将式(14)简化为

(15)

(16)

其中，

由f(X)的表达式可以看出动态数学模型中各参数之间存在耦合，这是造成系统非线性的主要原因。

由于该系统为三输入三输出系统，求该系统的相对阶需要对id，v以及δ这3个输出量分别进行求导。首先对id求导：

(17)

由于式中存在输入量ud、uf，因此求导结束，相对阶数r1=1。

对v进行求导，

(18)

由于式(18)不存才输入量，因此需对v再次求导，可得

(19)

由于式中存在输入量uq、uf，求导结束，相对阶数r2=2。

同理对δ进行连续求导可得，

(20)

(21)

由于式中存在输入量uq、uf，求导结束，相对阶数r3=3。

其中，

因此系统总的相对阶r=r1+r2+r3=6，系统的相对阶等于系统的阶数。因此，系统可实现状态反馈线性化。

根据反馈线性化理论，寻找系统的标准型，对该系统进行坐标变换，选取新的状态变量：

(22)

引入新的输入变量：

(23)

取输入为：

(24)

原非线性系统变为：

(25)

状态空间方程形式可表示为：

(26)

(27)

(28)

由式(26)～(28)可知，此时，输出量与输入量为线性2关系，原非线性动态解耦成直轴电流子系统、水平速度子系统以及悬浮高度子系统的3个独立线性子系统，输入c1、c2、c3分别独立控制直轴电流id、水平速度v以及悬浮高度δ，系统变为线性能控系统。

4 基于最优极点配置的控制器设计

将式(24)代入式(16),有

(29)

再根据最优极点配置法设计c1、c2、c3。按照极点配置法c1、c2、c3是自定的反馈增益，为了使系统跟随给定id*、v*、δ*，设e1=id*-id、e2=v*-v、e3=δ*-δ,选择的反馈增益必须使得系统在原点稳定。

因而选取：

(30)

q1、q2、q3、q4、q5、q6为配置的反馈极点。当q1、q2、q3、q4、q5、q6均大于零时,将式(30)代入式(29)有

(31)

显然可以根据劳斯判据验证系统稳定。由公式可以看出，输出id、v、δ受到给定id*、v*、δ*和e1、e2、e3的控制。

可控励磁磁悬浮直线同步电动反馈线性化解耦控制框图如图2所示。

5仿真结果与分析

利用Matlab/Simulink建立CELMSSM仿真模型，对CELMSSM反馈线性化控制系统进行仿真研究，电机参数见表1。

表1 电机参数

速度给定初始幅值为0 m/s，0.5 s发生阶跃，阶跃幅值为1 m/s；悬浮高度初始幅值为3 mm，给定值2.5 mm；给定d轴电流为0 A，空载启动。当系统以1 m/s的速度稳定运行1.5 s时，在水平方向突加100 N的负载扰动，2.5～3 s时垂直方向突加40 N的负载扰动。由第4章式(29)、式(30)、式(31)和相关理论，再由经验以及试凑法可得到极点配置参数[q1q2q3q4q5q6]=[4 10 24 18 62 192]。传统PI控制系统与输入输出反馈线性化控制系统仿真结果如图3～5所示。

由图3可知，输入输出线性化控制与传统PI控制相比在启动时，直轴电流震荡较小，当施加负载扰动时电流波动较小。由图4可知，水平方向上，输入输出线性化控制在启动时，水平速度无超调，水平推力峰值较小，无震荡，当施加负载扰动时速度和水平推力的变化较小，恢复时间更短。由图5可知，在垂直方向上，输入输出线性化控制在启动时，悬浮高度变化较小，当对系统突加负载扰动时，幅值变化小，悬浮力变化小。与传统PI控制相比，当施加水平负载扰动时，悬浮高度变化更小；当施加垂直负载扰动时，速度变化更小，因此反馈线性化控制能够减小系统耦合，提高系统控制性能。

仿真是对电机在实际运行过程的模拟，例如，当系统以1 m/s的速度稳定运行，在1.5 s时在水平方向突加100 N的负载扰动，类似机床加工过程的进给过程，随着进刀量的变化负载由0跃变到100 N。 垂直方向在2.5～3 s时突加40 N的负载扰动，用于模拟悬浮方向负载的变化过程。

6 结语

为了提高CELMSSM控制性能，保证系统的稳定性，对直轴电流id、水平速度v以及悬浮高度δ进行线性化，将原有的系统分成独立的3个线性子系统，实现系统的反馈线性化。基于最优极点配置设计电流、速度和悬浮高度控制器。通过仿真实验得出，在加入反馈线性化解耦控制器后，各输出分量的抖动减小，灵敏性提高，系统的动、静态性能得到显著改善，仿真结果验证了控制策略的有效性。