若干delta势的薛定谔方程的傅里叶变换求解

熊路淋，谭 鑫，罗 光

(重庆师范大学 物理与电子工程学院,重庆 401331)

delta函数是一类重要函数，该函数描述的势在量子力学中也是一个非常重要的势.delta函数对应薛定谔方程的求解方法的讨论和研究也一直是学界的热门，而且求解一般仅涉及由于涉及单或者双delta势[1-3]，讨论多delta势问题则相对较少.delta势约束下的薛定谔方程由于涉及分段问题以及相应的衔接条件，求解过程并不简单.特别是势的个数多时，薛定谔方程的求解过程更加繁琐[4-6].

针对量子力学中的傅里叶变换的讨论，一般在涉及坐标空间表象和动量空间表象中的关系时才给出.实际上傅里叶变换本身是一种比较有效的求解薛定谔方程的方法.但是由于傅里叶变换的条件较为苛刻，通过查阅傅里叶变换表[7-9]可知满足傅里叶变换的函数不多，因此在量子力学中用傅里叶变换法求解的实例不多，甚至并未真正提出这样一个求解方法[10-13].对于涉及双delta势阱、三delta势阱甚至n个delta势阱(即梳状delta势阱)的薛定谔方程，如果采用傅里叶变换法来求解，则求解过程将会变得相当简便.

本文研究基于傅里叶变换法求解若干delta势阱作用下定态薛定谔方程.

1 单delta势阱约束下傅里叶变换法求解

势V(x)约束下的定态薛定谔方程[3]为

(1)

当V(x)为delta势时，有

V(x)=-γδ(x)

(2)

这种情况下，薛定谔方程的常规求解一般需要从x≠0和x=0两种情况出发，得出对应的通解形式，然后利用|x|→∞时的边界条件以及x=0处的衔接条件，以确定相关的常数，最后得出特解和能级形式.但是如果采用傅里叶变换法求解，上述繁琐过程就可以大大简化.

(3)

(4)

对式(4)作傅里叶逆变换，可以从以下3种情况进行分析

1)E>0：对式(4)两边作傅里叶逆变换，有

(5)

由于奇偶函数的傅里叶变换将保持函数的奇偶性的特点[14]，式(5)得出的把函数也应该满足奇偶性，即φ(-x)=φ(x)，故当x>0时

(6)

当x<0时

(7)

因此傅里叶逆变换结果为

(8)

进而得φ(0)=0，与前文矛盾，因此需舍去.

2)E=0：式(4)傅里叶逆变换表达式为

(9)

两边对x求导得

(10)

(11)

进而得

(12)

所以依然需要考虑保持被变换函数的偶函数性质φ(-x)=φ(x)，因此

(13)

由于φ(x)有限要求φ(0)=0，与前文矛盾，因此需舍去.综合1)和2)，下文就不再讨论E≥0，仅仅讨论E<0的情况.

3)E<0：式(4)傅里叶逆变换结果为[9]

(14)

图1 单delta势约束下的波函数示意图

2 双delta势阱约束下傅里叶变换法求解

当V(x)为双delta势时，有

V(x)=-γ1δ(x+a1)-γ2δ(x-a2)

(15)

(16)

(17)

仅考虑E<0，对上式作傅里叶逆变换，结果为[9]

(18)

由于双delta势关于纵轴对称，方程(1)的解一般是具有宇称性.

(19)

(20)

这样波函数可以最终确定出来，示意图如图2(a)所示.

图2 双delta势约束下的波函数示意图

(21)

这样波函数可以最终确定出来，示意图如图2(b)所示.

3 三delta势阱约束下傅里叶变换法求解

当V(x)为三delta势时，有

V(x)=-γδ(x+a)-γδ(x)-γδ(x-a)

(22)

对相应的薛定谔方程做傅里叶变换可得

(23)

仅考虑φ(-a)eiwa+φ(0)+φ(a)e-iwa≠0且E<0，有

(24)

对上式作傅里叶逆变换，结果为[9]

(25)

利用波函数在x=-a、0、a处的取值以及归一化条件可以确定系数φ(-a)、φ(0)、φ(a)及E的取值.由式(25)，也可以画出具有奇偶宇称性的波函数的示意图如图3所示.

图3 三delta势约束下的波函数示意图

4 奇数(2n+1)个delta势约束下方程的求解

当V(x)为delta势时

(26)

对三delta势阱约束下的薛定谔方程作傅里叶变换，得

(27)

(28)

依然考虑E<0的情况，作傅里叶逆变换，结果为[9]

(29)

利用x=ja处波函数特殊性及归一化条件：

(i=-n,-n+1,…,n)

(30)

(31)

可以定出能量E和φ(ja)，最终可以确定出波函数.由(式29)，也可以画出具有奇偶宇称性的波函数(这里选择n=3时)的示意图如图4所示.

图4 7个delta势约束下的波函数示意图

5 偶数(2n)个delta势约束下方程求解

当V(x)为delta势时，有

(32)

对三delta势阱约束下的薛定谔方程作傅里叶变换，得

(33)

(34)

依然考虑E<0的情况，作傅里叶逆变换，结果为[9]

(35)

(36)

(37)

图5 8个delta势约束下的波函数示意图

5 结论

虽然基于傅里叶变换法的薛定谔方程的求解在量子力学中不多见，但这的确是一种简捷有效的方法.从本文讨论的具有若干delta势阱约束下的薛定谔方程的傅里叶变换法求解过程可以看出这一点.